Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Techniques de la Musique et de la Danse
France - Session Juin 2006

6 points

exercice 1

Pour chacune des questions 1 à 6, trois affirmations vous sont proposées dont une seule est exacte.
Indiquer sur la copie, pour chaque question, la bonne réponse.
On ne demande pas de justification.

Toute réponse bonne donne 1 point ; toute mauvaise réponse enlève 0,5 point ; une absence de réponse ne donne aucun point et n'en enlève aucun.
S'il est négatif, le total de l'exercice est ramené à 0.

Les six questions font référence à la gamme de tempérament égal.
On rappelle que, dans cette gamme :
    l'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes ; cela se traduit mathématiquement par le fait que la suite des fréquences des notes est géométrique de raison $q$ , où $q$ est un nombre réel strictement positif tel que $q^{12} = 2$ ;
    une quinte juste contient sept demi-tons ;
    une quarte juste contient cinq demi-tons.

1. En partant de LA et en augmentant d'une quarte on obtient la note RÉ. Sachant que la fréquence du LA $_{3}$ est de 440 Hz, la fréquence du RÉ $_{4}$ est environ de :

a) 660,0 Hz

b) 587,3 Hz

c) 586,7 Hz

2. Dans cette gamme, le rapport des fréquences correspondant à une quinte juste ascendante est égal à :

a) $\dfrac{3}{2}$

b) $\sqrt[7]{2^{12}}$

c) $2^{\frac{7}{12}}$

3. Sachant que le rapport des fréquences de deux notes vaut environ 1,4983 le nombre de demi-tons entre les deux notes est de :

a) 6

b) 7

c) 8

4. On considère la bande passante 20 à 20 000 Hz d'un appareil sonore.
Sachant que la fréquence du DO $_{3}$ est d'environ 262 Hz, le nombre de DO d'octaves différentes pouvant passer dans cet appareil est de :

a) 4

b) 7

c) 10

5. Si l'on additionne une fonction sinusoïdale de fréquence 110 Hz à une fonction sinusoïdale de fréquence 220 Hz, la fonction somme est :

a) Non périodique

b) Périodique de fréquence 330 Hz

c) Périodique de fréquence 110 Hz

6. En partant de RÉ et en augmentant de $n$ quartes on obtient la note MI.
L'entier $n$ est tel que :

a) $5n \equiv 2\quad (\text{modulo}~ 12)$

b) $2n \equiv 12 \quad (\text{modulo}~ 5)$

c) $\log (5n) = \log 2+k \log 12$ , où $k$ est un entier relatif

Rappels :
$\log$ désigne le logarithme décimal.
Si $a,~ b$ et $c$ sont des entiers non nuls, « $a$ congru à $b$ ·modulo $c$ » s'écrit : $a \equiv b (\text{modulo}~ c)$ .

7 points

exercice 2

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[-1~;~4]$ par $f(x) = \dfrac{x^2}{\text{e}^x}$ .
On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ , d'unités graphiques 3 cm sur l'axe des abscisses et 6 cm sur l'axe des ordonnées.

1. On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$
    a) Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $[-1~;~4],~f'(x) = \dfrac{x(2 - x)}{\text{e}^x}$ .
    b) Étudier le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle $[-1~;~4]$ .
    c) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ .

2. a) Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point A d'abscisse 1.
    b) Prouver que la droite $\mathcal{D}$ est confondue avec la droite (OA).

3. Calculer une valeur décimale approchée à 10^-2 près de $f(x)$ pour les valeurs de $x$ suivantes : -1 ; -0,5 ; - 0,25 ; 0 ; 0,25 ; 0,5 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4.
4. Construire, dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ , la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $\mathcal{D}$ .

7 points

exercice 3 (au choix) Enseignement obligatoire

Une classe de terminale TMD comporte un pianiste, trois violonistes et deux flûtistes ayant tous des noms différents.
On met les noms de ces six musiciens dans un chapeau et on tire, successivement et sans remise, deux noms au hasard. On s'intéresse à l'instrument dont joue chacun des musiciens tirés au sort.
On donnera les probabilités sous la forme de fractions irréductibles.

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant en remplaçant les points d'interrogation par les probabilités correspondantes.

Bac TMD Métropole Juin 2006 - terminale : image 1

2. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :
    A : « Les deux musiciens tirés au sort sont des violonistes ».
    B : « Les deux musiciens tirés au sort peuvent interpréter un duo violon-flûte ».
    C : « Les deux musiciens tirés au sort jouent du même instrument ».
    D : « Le deuxième musicien tiré au sort joue du violon ».

3. Sachant que le deuxième musicien tiré au sort joue du violon, déterminer la probabilité pour que le premier musicien tiré au sort joue également du violon.

7 points

exercice 4 (au choix) Enseignement renforcé

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{u},\vec{v})$ où l'unité graphique est de 4 cm. On considère le point M₁ d'affixe $z_{1} = 1 + \text{i}$ et le point M₂ d'affixe $z_{2} =\sqrt{3} -\text{i}$ .

1. Calculer le nombre complexe $z_{1}\times z_{2}$ sous forme algébrique.

2. a) Placer le point M₁ dans le repère $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .
    b) Vérifier que $\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1 + \text{i}$ .
    c) Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_{1}$ .

3. a) Vérifier que $2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i}\right)= \sqrt{3} - \text{i}$ .
    b) Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_{2}$ .
    c) Construire le point M₂ dans le repère $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .
On laissera apparents les traits de construction.

4. a) À l'aide des résultats établis dans les questions 2. c) et 3. b), déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_{1}\times z_{2}$ .
    b) En déduire que la forme algébrique du nombre complexe $z_{1}\times z_{2}$ est : $2\sqrt{2}\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) + 2\text{i}\sqrt{2} \sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ .     c) Déterminer alors la valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ .

Voir la correction

exercice 1

Préambule : La suite des fréquences des notes est géométrique de raison $q$ strictement positive avec :
$q^{12}=2 \text{ soit } q=2^{\frac{1}{12}}.$
1. La réponse correcte est b)
Entre le LA₃ et le RE₄, on a une quarte soit 5 demi-tons. La fréquence du RE₄ est donc égale à :
$440\times\left(2^{\frac{1}{12}}\right)^5=440\times 2^{\frac{5}{12}}\approx587,3\text{ Hz}$
2. La réponse correcte est c)
Une quinte juste contient sept demi-tons, donc le rapport des fréquences est égal à :
$\left(2^{\frac{1}{12}}\right)^7=2^{\frac{7}{12}}$
3. La réponse correcte est b)
Soit n le nombre de demi-tons entre les deux notes ; on cherche donc à résoudre l'équation :
$\left(2^{\frac{1}{12}}\right)^n\approx1,4983$ soit $n\log\left(2^{\frac{1}{12}}\right)\approx\log 1,4983$
ce qui donne : $n\approx\dfrac{\log 1,4983}{\frac{1}{12}\log 2}\text{ soit }n\approx 7$

4. La réponse correcte est c)
Soit p le nombre d'octaves entières plus graves que le DO₃. La bande passante doit rester supérieure à 20 Hz, on cherche donc le plus grand entier p tel que :

$20\le \dfrac{262}{2^p}\text{ soit } 2^p\le \dfrac{262}{20}\text{ soit } 2^p\le 13,1 \text{ ce qui donne }p=3.$

De même soit q le nombre d'octaves entières plus aigües que le DO₃. La bande passante doit rester inférieure à 20000 Hz, on cherche donc le plus grand entier q tel que :
$262\times 2^q \le 20000 \text{ soit } 2^q \le \dfrac{20000}{262}\text{ soit } 2^q \le 76 \text{ ce qui donne } q=6.$
On obtient donc au total 9 octaves complètes du DO₀ au DO₉, et donc 10 notes DO.

5. Réponse correcte est c)
Le son fondamental à 110 Hz est enrichi de sa deuxième harmonique à 220 Hz. Mais c'est toujours un son de fréquence 110 Hz (qui n'est plus sinusoïdal).

6. La réponse correcte est a)
Augmenter de 1 quarte, c'est multiplier la fréquence par $q^5$ ; augmenter de $n$ quartes, c'est multiplier la fréquence par $q^{5n}$ .
D'autre part, passer d'un ré à un mi (seconde majeure), c'est augmenter de deux demi-tons, soit multiplier la fréquence par $q^2$ . Enfin, quel que soit l'intervalle considéré, on augmente de $x$ octaves justes ( $x$ entier) en multipliant la fréquence par $2^x$ soit $q^{12x}$ , d'où la relation : $q^{5n}=q^2\times q^{12x} \text{ soit } 5n = 2+12x \text{ ou encore } 5n_\equiv 2 (12)$

exercice 2

1. a) Pour tout $x$ appartenant à $[-1,4]\text{ : } f'(x)=\dfrac{2xe^x-x^2e^x}{e^{2x}}=\dfrac{xe^x(2-x)}{e^{2x}}=\boxed{\dfrac{x(2-x)}{e^x}}$

1. b) $e^x$ étant strictement positif sur $\mathbb{R}$ , donc bien évidemment sur $[-1,4]$ , le signe de $f'(x)$ est donc celui de $x(2-x)$ qu'on peut exposer sous forme d'une tableau de signes :
$\begin{array}{|c|ccccccc|}x &-1&&0&&2&&4 \\x& &-&0&+&&+& \\-x+2& &+&&+&0&-& \\f'(x)& &-&0&+&0&-&\end{array}$
1. c) D'après le signe de la dérivée, on obtient le tableau de variation suivant :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCCCC|} \hline x & -1 & &0 & & 2 & & 4 \\ \hline f'(x) & & - &\barre{0} & + & \barre{0} & - & \\ \hline \niveau{2}{3} f & & \decroit & 0 & \croit & \dfrac{4}{e^2} & \decroit & \\ \hline \end{tabvar}$
Avec : $f(0)=\dfrac{0}{1}=0 \text{ et } f(2)=\dfrac{2^2}{e^2}=\dfrac{4}{e^2}$
2. a) La tangente $\mathcal{D}$ au point d'abscisse 1 admet pour équation : $y= f'(1)(x-1)+f(1)$
Or, $f(1)=\dfrac{1}{e} \text{ et } f'(1)=\dfrac{1\times 1}{e}=\dfrac{1}{e}$

Donc : $\mathcal{D}: y=\dfrac{1}{e}(x-1)+\dfrac{1}{e}\text{ soit }\boxed{\mathcal{D}:y=\dfrac{1}{e}x}$

2. b) Cette équation est une équation de droite qui passe par l'origine du repère ; de plus, on sait qu'elle passe par A.
Donc : $\boxed{\mathcal{D}=(OA)}$

3.

$x$	-1	-0,5	-0,25	0	0,25	0,5	1	2	3	4
$f(x)$	2,72	0,41	0,08	0	0,05	0,15	0,37	0,54	0,45	0,29

Bac TMD Métropole Juin 2006 - terminale : image 5

exercice 3 (au choix) Enseignement obligatoire

1. Arbre pondéré :

Bac TMD Métropole Juin 2006 - terminale : image 4

2. $P(A)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{5}=\boxed{\dfrac{1}{5}}$
$P(B)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}=\boxed{\dfrac{2}{5}}$
$P(C)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{15}=\dfrac{3}{15}+\dfrac{1}{15}=\boxed{\dfrac{4}{15}}$
$P(D)=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{10}+\dfrac{2}{10}=\dfrac{5}{10}=\boxed{\dfrac{1}{2}}$

3. $P_D(\text{le premier joue du violon })=\dfrac{P(A)}{p(D)}=\dfrac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{5}$

exercice 4 (au choix) Enseignement renforcé

1.On a : $z_1\times z_2=(1+i)(\sqrt{3}-i)=\sqrt{3}-i+\sqrt{3}i+1=\sqrt{3}+1+\sqrt{3}i-i=\boxed{(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)i}$

2. a) Voir figure 3. c)

2. b) $\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) =\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2}{2}+\text{i}\dfrac{2}{2}=\boxed{1+i}$

2. c) On a directement : $z_1=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\text{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$
On en déduit que : $\boxed{|z_1|=\sqrt{2} \text{ et } \arg(z_1)=\dfrac{\pi}{4}}$

3. a) $2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i}\right)=\dfrac{2\sqrt{3}}{2} - \dfrac{2}{2}\text{i}= \boxed{\sqrt{3} - \text{i}}$

3. b) On a directement : $z_2=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i}\right)=2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+\text{i}\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$
On en déduit que : $\boxed{|z_2|=2 \text{ et } \arg(z_2)=-\dfrac{\pi}{6}}$

3. c)

Bac TMD Métropole Juin 2006 - terminale : image 2

4. a) Module : $|z_1z_2|=|z_1||z_2|=\boxed{2\sqrt{2}}$
Argument : $\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{12}-\dfrac{2\pi}{12}=\boxed{\dfrac{\pi}{12}}$

4. b) Puisqu'on a le module et l'argument du nombre complexe $z_1z_2$ , on peut l'écrire sous sa forme trigonométrique:
$z_1z_2=2\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\right)=\boxed{2\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+2\sqrt{2}i\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)}$

4. c) Il suffit de factoriser par $2\sqrt{2}$ dans l'expression trouvée dans 1.
$z_1z_2=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)i=2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}i\right)$
D'où : $\boxed{\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$

Publié par TP/dandave le 14-12-2013

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