Fiche de mathématiques

Bac 2008

Bac Scientifique
Amérique du Nord - Session 2008

Enseignement Obligatoire :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Enseignement de Spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices. Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O \, ; \, \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v})$ ; unité graphique : 4 cm.
On considère le point A d'affixe z_A = 2 + i et le cercle $(\Gamm)$ de centre A et de rayon $\sqrt{2}$ .

1. Faire une figure qui sera complétée tout au long de l'exercice.

2. a) Déterminer les affixes des points d'intersection de $(\Gamma)$ et de l'axe $(O \, ; \, \overrightarrow{u})$ .
b) On désigne par B et C les points d'affixes respectives z_B = 1 et z_C = 3.
Déterminer l'affixe z_D du point D diamétralement opposé au point B sur le cercle $(\Gamma)$ .

3. Soit M le point d'affixe $\frac35 + \frac65 \text{i}$ .
a) Calculer le nombre complexe $\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{M}}}{z_{\text{B}} - z_{\text{M}}}$ .
b) Interpréter géométriquement un argument du nombre $\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{M}}}{z_{\text{B}} - z_{\text{M}}}$ ; en déduire que le point M appartient au cercle $(\Gamma)$ .

4. On note $(\Gamma')$ le cercle de diamètre [AB].
La droite (BM) recoupe le cercle $(\Gamma')$ en un point N.
a) Montrer que les droites (DM) et (AN) sont parallèles.
b) Déterminer l'affixe du point N.

5. On désigne par M' l'image du point M par la rotation de centre B et d'angle $-\frac{\pi}{2}$ .
a) Déterminer l'affixe du point M'.
b) Montrer que le point M' appartient au cercle $(\Gamma')$ . 5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

On considère deux points A et D de l'espace et on désigne par I le milieu du segment [AD].

1. Démontrer que, pour tout point M de l'espace, $\overrightarrow{\text{MD}} \cdot \overrightarrow{\text{MA}} = \text{MI}^2 - \text{IA}^2$

2. En déduire l'ensemble (E) des points M de l'espace tels que $\overrightarrow{\text{MD}} \cdot \overrightarrow{\text{MA}} = 0$

Partie B

Dans l'espace rapporté au repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j} \, , \, \overrightarrow{k})$ , les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 6 ; 0), C(0 ; 0 ; 4) et D(-5 ; 0 ; 1).

1. a) Vérifier que le vecteur $\overrightarrow{n} \left(\begin{array}{l} 4 \\ 2\\ 3 \end{array}\right)$ est normal au plan (ABC).
b) Déterminer une équation du plan (ABC).

2. a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ , orthogonale au plan (ABC) passant par D.
b) En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).
c) Calculer la distance du point D au plan (ABC).
d) Démontrer que le point H appartient à l'ensemble (E) défini dans la partie A. 5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

L'espace est rapporté au repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j} \, , \, \overrightarrow{k})$ .
On nomme (S) la surface d'équation $x^2 + y^2 - z^2 = 1$ .

1. Montrer que la surface (S) est symétrique par rapport au plan $(xOy)$ .

2. On nomme A et B les points de coordonnées respectives (3 ; 1 ; -3) et (-1 ; 1 ; 1).
a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par les points A et B.
b) Démontrer que la droite (D) est incluse dans la surface (S).

3. Déterminer la nature de la section de la surface (S) par un plan parallèle au plan $(xOy)$ .

4. a) On considère la courbe (C), intersection de la surface (S) et du plan d'équation $z = 68$ . Préciser les éléments caractéristiques de cette courbe.
b) M étant un point de (C), on désigne par a son abscisse et par b son ordonnée.
On se propose de montrer qu'il existe un seul point M de (C) tel que a et b soient des entiers naturels vérifiant a < b et ppcm(a ; b) = 440, c'est-à-dire tel que (a , b) soit solution du système (1) : $\left \lbrace \begin{array}{l} a < b \\ a^2 + b^2 = 4625 \\ \text{ppcm}(a ; b) = 440 \end{array} \right.$
Montrer que si (a , b) est solution de (1) alors pgcd(a ; b) est égal à 1 ou 5.
Conclure.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. 6 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle ]1 ; + $\infty$ [ par $f(x) = \ln x - \displaystyle \frac{1}{\ln x}$ .
On nomme (C) la courbe représentative de $f$ et $\Gamma$ la courbe d'équation $y = \ln x$ dans un repère orthogonal $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j})$ .

1. Etudier les variations de la fonction $f$ et préciser les limites en 1 et en + $\infty$ .

2. a) Déterminer $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \: \left[f(x) - \ln x\right]$ . Interpréter graphiquement cette limite.
b) Préciser les positions relatives de (C) et de $\Gamma$ .

3. On se propose de chercher les tangentes à la courbes (C) passant par le point O.
a) Soit a un réel appartenant à l'intervalle ]1 : + $\infty$ [.
Démontrer que la tangente T_a à (C) au point d'abscisse a passe par l'origine du repère si et seulement si $f(a) - a f'(a) = 0$ .
Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]1 ; + $\infty$ [ par $g(x) = f(x) - x f' (x)$ .
b) Montrer que sur ]1 ; + $\infty$ [, les équations $g(x) = 0 \text{ et } \left(\ln x\right)^3 - \left(\ln x\right)^2 - \ln x - 1 = 0$ ont les mêmes solutions.
c) Après avoir étudié les variations de la fonction u définie sur $\mathbb{R}$ par $u(t) = t^3 - t^2 - t - 1$ , montrer que la fonction u s'annule une fois et une seule sur $\mathbb{R}$ .
d) En déduire l'existence d'une tangente unique à la courbe (C) passant par le point O.
La courbe (C) et la courbe $\Gamma$ sont données en annexe ci-dessous.
Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure.

4. On considère un réel m et l'équation $f(x) = mx$ d'inconnue $x$ .
Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l'intervalle ]1 ; 10].

Représentations graphiques obtenues à l'aide d'un tableur :
sujet du bac scientifique Amérique du Nord 2008 - terminale : image 1

sujet du bac scientifique Amérique du Nord 2008 - terminale : image 1

4 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

On considère les suites $(x_n) \text{ et } (y_n)$ déinies pour tout entier naturel n non nul par : $x_n = \displaystyle \int_0^1 t^n \cos t \text{d}t$ et $\displaystyle y_n = \int_0^1 t^n \sin t \text{d}t$ .

1. a) Montrer que la suite $(x_n)$ est à termes positifs.
b) Etudier les variations de la suite $(x_n)$ .
c) Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite $(x_n)$ ?

2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, $x_n \leq \frac{1}{n+1}$ .
b) En déduire la limite de la suite $(x_n)$ .

3. a) A l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, $x_{n+1} = -(n+1)y_n + \sin(1)$ .
b) En déduire que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} y_n = 0$ .

4. On admet que, pour tout entier naturel n non nul $y_{n+1} = (n+1)x_n - \cos(1)$ .
Déterminer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} nx_n$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n y_n$ .

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