Fiche de mathématiques

Bac 2008

Bac Scientifique
Antilles-Guyane - Session Septembre 2008

Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

Partie A :

On définit :

la suite $\left(u_{n}\right)$ par : $u_{0} = 13$ et, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{5}u_{n} +\dfrac{4}{5}$ .

la suite $\left(S_{n}\right)$ par : pour tout entier naturel $n,~ S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} +u_{1} +u_{2} + \cdots + u_{n}$ .

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, u_{n} = 1 + \dfrac{12}{5^n}$ .
En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ .

2. a) Déterminer le sens de variation de la suite $\left(S_{n}\right)$ .
b) Calculer $S_{n}$ en fonction de $n$ .
c) Déterminer la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$ .

Partie B :

Etant donné une suite $\left(x_{n}\right)$ , de nombres réels, définie pour tout entier naturel $n$ , on considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie par $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n x_{k}$ .
Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse.
Justifier dans chaque cas.

Proposition 1: si la suite $\left(x_{n}\right)$ est convergente, alors la suite $\left(S_{n}\right)$ l'est aussi.

Proposition 2 : les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(S_{n}\right)$ ont le même sens de variation.

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A :

On considère le système de congruences : $(S) \left\lbrace \begin{array}{l c l r} n & \equiv & 2 &(\text{modulo}~ 3) \\ n & \equiv & 1& (\text{modulo}~ 5) \end{array}\right.$ , où $n$ désigne un entier relatif.
1. Montrer que $11$ est solution de $(S)$ .
2. Montrer que si $n$ est solution de $(S)$ alors $n -11$ est divisible par $3$ .
3. Montrer que les solutions de $(S)$ sont tous les entiers de la forme $11 + 15k$ , où $k$ désigne un entier relatif.

Partie B :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .
On considère l'application $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'$ et $g$ celle qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z''$ définies par : $z' = \dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3}}{2}z \quad \text{et}\quad z'' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{5}}z.$

1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications $f$ et $g$ .

2. On considère les points $A_{0}$ et $B_{0}$ d'affixes respectives $a_{0} = 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $b_{0} = 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{5}}$ .
Soient $\left(A_{n}\right)$ et $\left(B_{n}\right)$ les suites de points définies par les relations de récurrences : $A_{n+1} = f\left(A_{n}\right) \quad \text{et} \quad B_{n+1} = g\left(B_{n}\right).$ On note $a_{n}$ et $b_{n}$ les affixes respectives de $A_{n}$ et $B_{n}$ .
    a) Quelle est la nature de chacun des triangles O $A_{n}A_{n+1}$ ?
    b) En déduire la nature du polygone $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ .

3. a) Montrer que les points $B_{n}$ sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
    b) Indiquer une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{O}B_{n}},~\overrightarrow{\text{O}B_{n+2}}\right)$ .
    c) En déduire la nature du polygone $B_{0}B_{2}B_{4}B_{6}B_{8}$ .

4. a) Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$ .
    b) Montrer que les entiers $n$ pour lesquels les points $A_{n}$ et $B_{n}$ sont simultanément sur l'axe des réels sont les solutions du système $(S)$ de la PARTIE A.

7 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x + 2 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}$ . On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unité graphique 2 cm.

1. a) Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ .
    b) Démontrer que la droite $\mathcal{D}_{1}$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ .
    c) Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}_{1}$ .

2. a) On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ . Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout réel $x$ , on a : $f'(x) = \left(\dfrac{\text{e}^x - 3}{\text{e}^x + 3}\right)^2$
    b) Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ .

3. a) Que peut-on dire de la tangente $\mathcal{D}_{2}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point I d'abscisse $\ln 3$ ?
    b) En utilisant les variations de la fonction $f$ , étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}_{2}$ .

4. a) Montrer que la tangente $\mathcal{D}_{3}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation : $y = \dfrac{1}{4} x + 1$ .
    b) Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente $\mathcal{D}_{3}$ sur l'intervalle $]-\infty~;~ \ln 3]$ .
On pourra utiliser la dérivée seconde de $f$ notée $f^{''}$ définie pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ par : $f^{''}(x) = \dfrac{12\text{e}^x \left(\text{e}^x - 3\right)}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^3}$ .

5. On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$ .
Tracer la courbe $\mathcal{C}$ , les tangentes $\mathcal{D}_{3}, ~\mathcal{D}_{3}$ et les asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$ . On rappelle que l'unité graphique choisie est 2 cm.

6. a) Déterminer une primitive de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}$ .
    b) Soit $\lambda$ un réel strictement négatif.
On note $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par $\mathcal{D}_{1},~\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = \lambda$ et $x = 0$ .
Montrer que $\mathcal{A}(\lambda) = 4 \ln 4 - 4\ln \left(\text{e}^{\lambda} + 3\right)$ .
    c) Calculer $\displaystyle\lim_{\lambda \to - \infty} \mathcal{A}(\lambda)$ .

4 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ .
L'urne $U_{1}$ contient 2 billes vertes et 8 billes rouges toutes indiscernables au toucher.
L'urne $U_{2}$ contient 3 billes vertes et 7 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une bille de l'urne $U_{1}$ , noter sa couleur et remettre la bille dans l'urne $U_{1}$ puis de tirer au hasard une bille de l'ume $U_{2}$ , noter sa couleur et remettre la bille dans l'urne $U_{2}$ .
À la fin de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes il gagne un lecteur MP3. S'il a tiré une bille verte, il gagne un ours en peluche. Sinon il ne gagne rien.
On note

$V_{1}$ l'évènement : « le joueur tire une boule verte dans $U_{1}$ »

$V_{2}$ l'évènement : « le joueur tire une boule verte dans $U_{2}$ ».
Les évènements $V_{1}$ et $V_{2}$ sont indépendants.

1. Montrer, à l'aide d'un arbre pondéré, que la probabilité de gagner un lecteur MP3 est $p = 0,06$ .

2. Quelle est la probabilité de gagner un ours en peluche ?

3. Vingt personnes jouent chacune une partie. Déterminer la probabilité que deux d'entre elles exactement gagnent un lecteur MP3.
On justifiera la réponse et on donnera une valeur approchée du résultat à $10^{-4}$ près.

4. On appelle $n$ le nombre de personnes participant à la loterie un jour donné et jouant une seule fois.
On note $p_{n}$ la probabilité que l'une au moins de ces personnes gagne un lecteur MP3.
Déterminer la plus petite valeur de $n$ vérifiant $p_{n} \geqslant 0,99$ .

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