Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Antilles Guyane - Session Juin 2008
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Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Deux feuilles de papier millimétré seront distribuées aux candidats.
Un formulaire de mathématiques sera distribué au candidat.
4 points
exercice 1
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm).
On considère trois points A, B et C d'affixes respectives :
; ; .
1. Montrer que et écrire sous forme algébrique.
2. Déterminer la forme trigonométrique de .
3. Placer les points A, B et C sur une figure.
4.Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation. Quelle est la nature du triangle ABC ?
5 points
exercice 2
On considère deux urnes notées respectivement U et V.
L'urne U contient trois boules marquées respectivement : 0, 1 et 2.
L'urne V contient quatre boules marquées respectivement : 0, 1, 2 et 3.
Ces boules sont indiscernables au toucher.
Une expérience aléatoire consiste à tirer au hasard une boule de l'urne U puis une boule de l'urne V.
On considère que tous les tirages de ces deux boules sont équiprobables.
1. a) Représenter tous les tirages possibles dans un tableau à double entrée.
b) Montrer que la probabilité d'obtenir deux boules portant le même nombre est égale à .
2. Un jeu consiste à tirer au hasard une boule de l'urne U, puis une boule de l'urne V.
Le joueur doit miser 1 €.
L'organisateur du jeu remet alors au joueur un montant (en €) égal au produit des deux nombres figurant sur les deux boules tirées (ce montant peut être nul).
On appelle la variable aléatoire qui, à chaque jeu, associe le gain algébrique (c'est-à-dire positif, nul ou négatif) du joueur.
Par exemple, si le joueur tire 2 dans l'urne U, puis 3 dans l'urne V, le gain algébrique du joueur est alors 5 ; si le joueur tire 0 dans l'urne U, puis 2 dans l'urne V, le gain algébrique du joueur est alors -1.
a) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire .
b) Présenter dans un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire .
c) Calculer la probabilité que le gain du joueur soit strictement supérieur à 2.
d) On note E() l'espérance mathématique de la variable aléatoire . Calculer E().
On dit qu'un jeu est équitable si l'espérance de gain est nulle. Ce jeu est-il équitable ?
11 points
probleme
On considère la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par
On note la courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthonormal (unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses, 1 cm sur l'axe des ordonnées).
Partie I
1. Déterminer la limite de la fonction en .
2. a) Vérifier que, pour tout nombre réel , .
b) Déterminer la limite de la fonction en . En déduire que la courbe admet pour asymptote une droite . Donner une équation de cette droite .
c) Calculer . Que peut-on en déduire pour la courbe ?
3. On note la fonction dérivée de la fonction .
a) Montrer que pour tout nombre réel , .
b) Étudier le signe de suivant les valeurs de .
4. Établir le tableau de variations de la fonction . On reportera dans ce tableau les limites et la valeur du maximum.
5. On note la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
Donner le coefficient directeur de la droite .
6. Construire la tangente et la courbe .
Partie II
1. On note la fonction définie sur par
.
On note la fonction dérivée de la fonction .
Calculer .
Que peut-on en déduire pour la fonction ?
2. On note le domaine limité par la courbe , l'axe des abscisses, les droites d'équations respectives et .
a) Hachurer sur le graphique représentant la tangente et la courbe .
b) Calculer l'aire , exprimée en unités d'aire, du domaine . En donner la valeur arrondie au centième.
Construction de la figure :
Le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 6, son ordonnée est 3 ; son abscisse est positive.
Le point C appartient au cercle de centre O et de rayon 10, son ordonnée est -6, et son abscisse est positive.
Le point B a pour affixe -4i.
EXERCICE 2
1-a. Tableau à double entrée :
b. Le nombres d'issues possibles de cette expérience est de :
Les couples de boules aux numéros identiques sont , soit 3 issues possibles sur les 12, donc :
2-a. Valeurs prises par la variable aléatoire
On peut reprendre le tableau précédent, en remplaçant le couple obtenu lors du tirage par le gain.
Une organisation avec un arbre était également réalisable.
b. Loi de probabilité de la variable aléatoire
Nous avons :
c.
d.
L'espérance mathématique n'est pas nulle.
PROBLEME
Partie I
1. Limite de en
2-a.
b. Limite de en
La limite de est égale à quand tend vers , l'axe des abscisses est donc asymptote à la courbe.
c.
3-a. La fonction est dérivable sur comme produit et composée de fonctions dérivables sur .
b.
a donc le même signe que .
4. Tableau de variations
5.
Le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse est donné par le nombre dérivé , donc :
6. Représentation graphique
Partie II
1.
2-a. Représentation graphique du domaine
b. Pour ne prend que des valeurs positives, l'aire demandée est donc égale à :
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)
(unité graphique : 1 cm).
; 
; 
.
et écrire 
sous forme algébrique.
.
.
la variable aléatoire qui, à chaque jeu, associe le gain algébrique (c'est-à-dire positif, nul ou négatif) du joueur.
définie sur l'ensemble 
des nombres réels par
 = \left(- x + \dfrac{7}{4} \right)\text{e}^{2x})
la courbe représentative de la fonction )
(unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses, 1 cm sur l'axe des ordonnées).
.
,  = \left(- x\text{e}^x + \dfrac{7}{4}\text{e}^x\right)\text{e}^x)
.
. En déduire que la courbe 
. Donner une équation de cette droite )
. Que peut-on en déduire pour la courbe 
la fonction dérivée de la fonction  = \left(- 2x + \dfrac{5}{2}\right)\text{e}^{2x})
.
)
suivant les valeurs de 
la tangente à la courbe 
la fonction définie sur  = \left(- \dfrac{x}{2} + \dfrac{9}{8}\right)\text{e}^{2x})
.
la fonction dérivée de la fonction )
.
et 
.
, exprimée en unités d'aire, du domaine 
=6\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2} \right)=3\sqrt{3}+3i)
![z_B=4\text{e}^{-i\frac{\pi}{2}}=4\left[ \cos\left(- \dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left( -\dfrac{\pi}{2}\right)\right] =4\left(0-i \right)=-4i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z_B=4\text{e}^{-i\frac{\pi}{2}}=4\left[ \cos\left(- \dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left( -\dfrac{\pi}{2}\right)\right] =4\left(0-i \right)=-4i)
=10\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2}\right)=10\left(\cos\frac{-\pi}{6} +i\sin\frac{-\pi}{6} \right))
}}})
)
^2+\left(-7 \right)^2}=\sqrt{27+49}=\sqrt{76}=2\sqrt{19} \\\\ AC=\mid5\sqrt{3}-5i-3\sqrt{3}-3i\mid=\mid 2\sqrt{3}-8i\mid=\sqrt{\left(2\sqrt{3} \right)^2+\left(-8 \right)^2}=\sqrt{12+64}=\sqrt{76}=2\sqrt{19} \\\\ BC=\mid5\sqrt{3}-5i+4i\mid=\mid 5\sqrt{3}-i\mid = \sqrt{\left(5\sqrt{3} \right)^2+\left(-1 \right)^2}=\sqrt{75+1}=\sqrt{76}=2\sqrt{19})
, donc :
 & \color{blue} (0,1) & \color{blue} (0,2) & \color{blue} (0,3) \\ \hline 1 & \color{blue} (1,0) & \color{blue} (1,1) & \color{blue} (1,2) & \color{blue} (1,3) \\ \hline 2 & \color{blue} (2,0) & \color{blue} (2,1) & \color{blue} (2,2)& \color{blue} (2,3) \\ \hline \end{tabular})
;(1,1);(2,2))
, soit 3 issues possibles sur les 12, donc :
=6\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2} \\\\ p\left(X=0 \right)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12} \\\\ p\left(X=1 \right)=2\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{6} \\\\ p\left(X=2 \right)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12} \\\\ p\left(X=3 \right)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12} \\\\ p\left(X=5 \right)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12})
& \color{blue} 6/12 & \color{blue} 1/12 & \color{blue} 2/12 & \color{blue} 1/12 & \color{blue} 1/12 & \color{blue} 1/12 \\ \hline \end{tabular})
=p\left(X=3 \right)+p\left(X=5 \right)=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6})
=\dfrac{1}{6}}}}})
=\sum p_i\times x_i=-1\times \dfrac{6}{12}+0\times \dfrac{1}{12}+1\times \dfrac{2}{12}+2\times \dfrac{1}{12}+3\times \dfrac{1}{12}+5\times \dfrac{1}{12}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2})
=\dfrac{1}{2}}}}})
}.}}})
=\left(-x+\dfrac{7}{4} \right)\text{e}^{2x})
=\underset{x\to +\infty}{\lim}(\underbrace{-x+\dfrac{7}{4} }_{\to -\infty})\underbrace{\text{e}^{2x}}_{\to +\infty}=-\infty)
=-\infty}}})
=(-x+\dfrac{7}{4} )\text{e}^{2x}=(-x+\dfrac{7}{4} )\text{e}^{x}\times\text{e}^{x}=(-x\text{e}^{x}+\dfrac{7}{4}\text{e}^{x} )\times\text{e}^{x})
=(-x\text{e}^{x}+\dfrac{7}{4}\text{e}^{x} )\text{e}^{x}}}})
=\underset{x\to -\infty}{\lim}(-x+\dfrac{7}{4})\text{e}^{2x}=\underset{x\to -\infty}{\lim}(-x\text{e}^{2x}+\dfrac{7}{4}\text{e}^{2x} )=\underbrace{\underset{X\to +\infty}{\lim}\left(X\text{e}^{-2X}+\dfrac{7}{4}\text{e}^{-2X} \right)}_{\text{En posant }X=-x}=\underset{X\to +\infty}{\lim}\left(\dfrac{X}{\text{e}^{2X}}+\dfrac{7}{4\text{e}^{2X}} \right)=0 \\\\ \text{ car }\forall x\in\mathbb{R}\text{, }\underset{x\to +\infty}{\lim}\left( \dfrac{x}{\text{e}^{x}}\right)=0)
=0}}})
quand 
=-\dfrac{7}{4}\text{e}^{\frac{7}{2}}+\dfrac{7}{4}\text{e}^{\frac{7}{2}} =0)
=0\text{, la courbe de }f\text{ coupe donc l'axe des abscisses en }x=\dfrac{7}{4}.}}})
=-\text{e}^{2x}+\left( -x+\dfrac{7}{4}\right)\times 2\text{e}^{2x}=\text{e}^{2x}\left(-1-2x+\dfrac{7}{2} \right)= \left( -2x+\dfrac{5}{2}\right)\text{e}^{2x})
= \left( -2x+\dfrac{5}{2}\right)\text{e}^{2x}}}})
)
.
>0\text{ et pour }x>\dfrac{5}{4}\text{, }f'(x)<0.}}})
=\left( -\dfrac{5}{4}+\dfrac{7}{4}\right)\text{e}^{\frac{5}{2}}=\frac{1}{2}\text{e}^{\frac{5}{2}}\approx 6,1)
 & & + & 0 & - & & \\ \hline \niveau{1}{2} f & 0 & \croit & \frac{1}{2}\text{e}^{\frac{5}{2}} &\decroit & -\infty & \\ \hline \end{tabvar})
est donné par le nombre dérivé )
, donc :
= \left(-2\times 0+\dfrac{5}{2} \right)\text{e}^{2\times 0}=\dfrac{5}{2})
=\left(-\dfrac{x}{2}+\dfrac{9}{8} \right)\text{e}^{2x})
![F'(x)=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}+\left(-\dfrac{x}{2}+\dfrac{9}{8} \right)\times 2\text{e}^{2x}=\text{e}^{2x}\left[-\dfrac{1}{2}+2\left( -\dfrac{x}{2}+\dfrac{9}{8}\right) \right]=\text{e}^{2x}\left[-\dfrac{1}{2}-x+\dfrac{9}{4}\right]=\left(-x+\dfrac{7}{4}\right)\text{e}^{2x}=f(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F'(x)=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}+\left(-\dfrac{x}{2}+\dfrac{9}{8} \right)\times 2\text{e}^{2x}=\text{e}^{2x}\left[-\dfrac{1}{2}+2\left( -\dfrac{x}{2}+\dfrac{9}{8}\right) \right]=\text{e}^{2x}\left[-\dfrac{1}{2}-x+\dfrac{9}{4}\right]=\left(-x+\dfrac{7}{4}\right)\text{e}^{2x}=f(x))
=f(x)\text{, }F\text{ est donc une primitive de la fonction }f\text{ sur }\mathbb{R}.}}})
![x\in \left[0\,;\dfrac{7}{4}\right]\;, f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in \left[0\,;\dfrac{7}{4}\right]\;, f)
ne prend que des valeurs positives, l'aire demandée est donc égale à :
![\mathcal{A}=\displaystyle {\int_{0}^{\frac{7}{4}}f(x)\text{d}x=\left[F(x) \right]_{0}^{\frac{7}{4}}=F\left( \dfrac{7}{4}\right)-F\left(0 \right)=\left(-\dfrac{\frac{7}{4}}{2}+\dfrac{9}{8} \right)\text{e}^{2\times\frac{7}{4}}-\left(0+\dfrac{9}{8} \right)\text{e}^{2\times 0}=\dfrac{1}{4}\text{e}^{\frac{7}{2}}-\dfrac{9}{8}\approx 7,15](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{A}=\displaystyle {\int_{0}^{\frac{7}{4}}f(x)\text{d}x=\left[F(x) \right]_{0}^{\frac{7}{4}}=F\left( \dfrac{7}{4}\right)-F\left(0 \right)=\left(-\dfrac{\frac{7}{4}}{2}+\dfrac{9}{8} \right)\text{e}^{2\times\frac{7}{4}}-\left(0+\dfrac{9}{8} \right)\text{e}^{2\times 0}=\dfrac{1}{4}\text{e}^{\frac{7}{2}}-\dfrac{9}{8}\approx 7,15)
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