Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Santé et du Social
Nouvelle Calédonie - Session Novembre 2011

Durée de l'épreuve : 2 heures Coefficient : 3
L'utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse, qu'il aura développée.
Par ailleurs, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

6 points

exercice 1

Un laboratoire propose un test de dépistage d'une certaine maladie. Ce test présente les caractéristiques suivantes :
    la probabilité qu'une personne atteinte de cette maladie ait un test positif est de 0,97 ;
    la probabilité qu'une personne non atteinte de cette maladie ait un test négatif est de 0,99.
On souhaite procéder à un dépistage systématique dans une population donnée, au sein de laquelle s'est déclenchée une épidémie.
On admet que la proportion de personnes atteintes de la maladie dans cette population est 4%. On choisit une personne au hasard et on note :
    $M$ l'évènement : «la personne choisie est atteinte de la maladie» ;
    $T$ l'évènement : «la personne choisie a un test positif» ;
    $\overline{M}$ et $\overline{T}$ les évènements contraires respectifs des évènements $M$ et $T$ .

1. Dans cette question, aucune justification n'est demandée.
Donner les valeurs respectives des probabilités $P(M)$ , $P_{M}(T)$ et $P_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right)$ , puis recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.

bac Sciences et Technologie de la Santé et du Social, Nouvelle Calédonie Novembre 2011 - terminale : image 1

2. Définir par une phrase l'évènement $M \cap T$ , puis calculer sa probabilité.

3. On admet que le résultat du test est correct s'il est conforme à l'état de santé de la personne soumise au dépistage.
Justifier soigneusement l'affirmation suivante : «la probabilité que le résultat du test soit correct est égale à 0,9892».

4. Dans cette question, on arrondira le résultat à 10^-4 près.
On appelle valeur prédictive d'un test de dépistage la probabilité qu'une personne présentant un test positif soit atteinte de la maladie.
a) Calculer $p(T)$ .
b) En déduire la valeur prédictive de ce test.

7 points

exercice 2

Une maladie est apparue dans un pays au cours de l'année 2007 ; 397 cas ont été enregistrés au cours de cette année-là.

On a reproduit ci-dessous une feuille de calcul, réalisée sur un tableur, dans laquelle figurent des informations sur l'évolution du nombre de nouveaux cas diagnostiqués pour la période 2007-2010.

	A	B	C	D	E
1	Année	2007	2008	2009	2010
2	Nombre de nouveaux cas	397	429	463	500
3	Taux d'évolution annuel (à 0,01% près)		8,06%	7,93%	7,99%

Les cellules de la ligne 3 sont au format pourcentage.

1. Combien de nouveaux cas a-t-on recensés entre le 1^er janvier 2007 et le 31 décembre 2010 ?

2. Quelle formule, entrée en C3 puis recopiée vers la droite jusqu'en E3, a permis d'obtenir les valeurs figurant dans la ligne 3 du tableau ?
Dans la suite, on considère que, dans l'attente d'un traitement ou d'un vaccin, le nombre de nouveaux cas va continuer à augmenter de 8% par an. On note $u_{0}$ le nombre de nouveaux cas en 2010, $n$ le nombre d'années écoulées depuis 2010 et $u_{n}$ le nombre de nouveaux cas au cours de l'année $(2010 + n)$ .

3. Préciser la nature, le premier terme et la raison de la suite $\left(u_{n}\right)$ , puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

4. Quelle estimation du nombre (arrondi à l'unité) de nouveaux cas peut-on faire pour l'année 2020 si la progression se poursuit au même rythme ?

5. a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $1,08^x \ge 3$ .
b) En quelle année peut-on estimer que le nombre de nouveaux cas dépassera 1 500 ?

Toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

6. a) Calculer $\displaystyle \sum_{n=1}^{11} u_{n} = u_{1} + u_{2} + \cdots + u_{11}$ (voir formulaire ci-après).
b) En déduire une estimation du nombre total (arrondi à l'unité) de personnes qui auront contracté la maladie au cours des quinze années suivant son apparition (c'est-à-dire des années 2007 à 2021).

Formulaire :

La somme de $p$ termes consécutifs d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ , de raison $q$ différente de 1, se calcule de la manière suivante : $\sum_{n=1}^{p} u_{n} = u_{1} + u_{2} + \cdots + u_{p} = u_{1}\times \dfrac{1 - q^p}{1 - q}$

7 points

exercice 3

Dans un milieu de culture, une population bactérienne évolue en fonction du temps.
Au début de l'étude, il y a 10 000 bactéries dans la culture. Au bout de 3 heures, on y introduit un puissant antibiotique.
Dans tout l'exercice, $t$ désigne le temps (exprimé en heures) écoulé depuis le début de l'étude.
Le graphique ci-dessous donne l'évolution du nombre de bactéries (exprimé en dizaines de milliers) en fonction de $t$ .

bac Sciences et Technologie de la Santé et du Social, Nouvelle Calédonie Novembre 2011 - terminale : image 2

Partie A : étude de la première phase - avant introduction de l'antibiotique

Au cours de la première phase, le nombre de bactéries (exprimé en dizaines de milliers), est donné en fonction de $t$ par : $f(t) = 1,2^t$ .

1. Donner, en justifiant, le sens de variation de $f$ sur l'intervalle [0 ; 3].

2. Déterminer par le calcul le nombre de bactéries présentes dans la culture au bout d'une heure et demie, puis au bout de trois heures.
Les résultats seront arrondis à 10^-3 près.

Partie B : étude de la seconde phase - après introduction de l'antibiotique

Après introduction de l'antibiotique, et tant qu'il reste des bactéries dans la culture, le nombre de celles-ci (exprimé en dizaines de milliers), est donné en fonction de $t$ par : $g(t) = -0,1536t^2 + 1,2288t - 0,576$ .

1. Calculer l'image de 7,5 par la fonction $g$ puis interpréter le résultat obtenu.

2. Calculer $g^{\prime}(t)$ pour $t$ appartenant à [3 ; 7,5], où $g^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de $g$ .

3. Résoudre l'inéquation $g^{\prime}(t) \ge 0$ dans l'intervalle [3 ; 7,5].
En déduire les variations de $g$ sur [3 ; 7,5].

4. Que se passe-t-il au cours de la première heure suivant l'introduction de l'antibiotique ?
Et au cours des trois heures et demie suivantes ?

5. L'introduction de l'antibiotique a-t-elle permis d'éviter que le nombre de bactéries n'atteigne 20 000 ? Justifier.

Publié par TP/ le 30-11--0001

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