Durée : 3 heures
Coefficient : 7
L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.
3,5 points
exercice 1
Soit la suite numérique définie par :
1. Calculer .
2.a. Montrer par récurrence que pour tout
2.b. Montrer que pour tout .
2.c. En déduire que est une suite décroissante .
2.d.Déduire de ce qui précède que la suite est convergente .
3. On pose pour tout
3.a. Calculer .
3.b. Montrer que est une suite géométrique de raison .
3.c. Donner en fonction de .
4.a. Montrer que pour tout .
4.b. Calculer .
7,5 points
exercice 2
On considère la fonction numérique de la variable réelle définie sur
et soit sa courbe représentative dans un repère orthonormé .
1.a. Calculer (Remarquer que ) .
et donner une interprétation géométrique du résultat .
1.b. Calculer .(Remarquer que )
1.c. Calculer
et donner une interprétation géométrique du résultat .
2.a. Montrer que .
2.b. Montrer que .
2.c. Dresser le tableau de variations de .
3.a. Montrer que : (Remarquer que )
3.b. Etudier le signe de et montrer que admet un point d'inflexion d'abscisse .
3.c. Montrer que l'équation de la tangente à au point d'inflexion est : .
4. Dans la figure ci-dessous est la courbe représentative de et la droite d'équation dans un repère orthonormé .
4.a. A l'aide d'une intégration par parties , montrer que .
4.b. En déduire l'aire de la partie hachurée .
3 points
exercice 3
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation .
2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct , on considère les points et d'affixes respectives .
2.a. Montrer que .
2.b. Soit un point du plan d'affixe où est un nombre réel différent de .
Montrer que le triangle est isocèle en .
3. Soit le point d'affixe le nombre réel .
3.a. Montrer que .
3.b. Déterminer un argument du nombre complexe .
3.c.En déduire que le triangle est équilatéral .
3 points
exercice 4
L'espace est rapporté à un repère .
On considère les points .
1.a. Montrer que .
1.b. En déduire que les points ne sont pas coplanaires .
2. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan est : .
3.a. Vérifier que .
3.b. Déterminer sans calcul l'intersection de la droite et du plan .
3 points
exercice 5
(Tous les résultats seront données sous forme de fraction)
Une urne contient une boule rouge, deux boules vertes et cinq boules jaunes . .
(Toutes les boules sont indiscernables au toucher) .
On tire simultanément et sans remise deux boules de l'urne .
On considère les événements suivants :
A: " Les deux boules tirées sont vertes" B: "La première boule tirée est jaune" C: "Les deux boules tirées sont de couleurs différentes"
1. Montrer que .
2.a. Calculer .
2.b. Montrer que et en déduire ( est l'évènement contraire à l'évènement )
3. Soit la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules vertes tirées .
3.a. Copier et remplir le tableau ci-contre en justifiant les réponses .
3.b. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire .
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