Tu es invité(e) à apporter des réponses aux préoccupations de Annie en résolvant les deux problèmes suivants:
probleme 1
1-a) Puisque
représente le montant de la cotisation versée le premier mois, et que
.
Donc:
b) Le montant de la cotisation versée le deuxième mois correspond à
.
Et on a:
D'où:
2) Pour tout entier naturel
De plus, on a:
On conclut alors que:
3-a) Le résultat de la question
2) permet d'écrire
en fonction de
b) Puisque pour tout
On en tire que:
4-a) On a
On obtient donc:
b) On a vu que la suite
admet une limite
finie , donc elle converge vers
.
Alors si on montre que la suite
est décroissante, on peut en déduire qu'elle est minorée par
.
On conclut alors que:
probleme 2
5) La prime d'assurance versée à l'assuré au bout de 5 ans correspond à
Calcul:
6) La fonction
est définie sur
La fonction
est dérivable sur
car elle est une fonction de second degré, donc pour tout
Le signe de f'(x) est celui du polynôme de premier degré
, résolvons alors l'équation
Traçons le tableau de signe de
(et donc celui de
) :
On en tire que:
Tableau de variations de
Calculons
Et on dresse le tableau de variations:
7) D'après la question précédente, la fonction
admet une valeur maximale en
qui est
.
Ce qui se traduit par:
8) Chercher le nombre d'années
au bout duquel la prime est nulle revient à résoudre l'équation
Calculons le discriminent
L'équation admet deux solutions réelles:
On ne retient que
car il s'agit de nombre d'années.
On en tire qu'un assuré ne percevra plus de prime après
. Or, l'assuré en question a souscrit à l'assurance-vie à
.
Donc: