La variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne = 12 et d'écart-type = 2.
Nous savons que , soit que
Nous savons également que
En utilisant la symétrie de la courbe de densité par rapport à la droite d'équation y = , nous déduisons que
(Remarque : Nous pouvions également obtenir la valeur de P(12 X 14) à l'aide de la calculatrice).
Dès lors,
Par conséquent, la réponse A est correcte.
Déterminons un intervalle de confiance I400 au seuil de 95 % de la proportion d'électeurs votant pour le candidat aux élections municipales, dans un échantillon aléatoire de 400 électeurs.
Les conditions d'utilisation de l'intervalle de confiance sont remplies.
En effet,
Donc un intervalle de confiance I400 au seuil de 95% est :
Par conséquent, la réponse A est correcte.
Soit (Vn ) une suite géométrique de raison q = 1,2 et de premier terme V1= 6.
Le terme général de cette suite est
D'où
Par conséquent, la réponse C est correcte.
Première méthode :
En exécutant l'algorithme à la calculatrice, nous obtenons les premières valeurs de n et de V reprises dans ce tableau :
D'où la valeur de n à la fin de cet algorithme est 11.
Par conséquent, la réponse C est correcte.
Deuxième méthode :
Déterminons le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation Vn 31.
Puisque n est un nombre entier naturel, la plus petite valeur de n vérifiant l'inéquation est n = 11.
D'où la valeur de n à la fin de cet algorithme est 11.
Par conséquent, la réponse C est correcte.
Soit (Un ) la suite arithmétique de raison r = 3 et tell que U4 = 81.
Nous pouvons déterminer la valeur de U0 pas à pas.
Par conséquent, la réponse C est correcte.
Nous aurions également pu trouver la valeur de U0 en donnant une expression du terme général de la suite (Un ).
Par conséquent, la réponse C est correcte.
5 points
exercice 2
Partie A
1) L'atelier A fabrique 60% des stylos.
D'où
Parmi les stylos fabriqué dans l'atelier A, 5% possèdent un défaut de fabrication.
Donc
De plus, 1% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
Donc
2) Arbre pondéré décrivant la situation à ce stade de l'énoncé :
2) a) La probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication est notée
Par conséquent, la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication est égale à 0,03.
2) b) La probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est notée P (D ).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
D'où la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est égale à 0,04.
3) Nous devons déterminer PB (D ).
Par conséquent, sachant que le stylo provient de l'atelier B, la probabilité qu'il possède un défaut est égale à 0,025.
Partie B
1) La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n = 25 et p = 0,04.
2) Calculons la probabilité qu'aucun stylo ne soit défectueux et observons si cette probabilité est inférieure ou supérieure à 0,5.
Puisque la probabilité demandée est inférieure à 0,5, le directeur de l'entreprise n'a pas raison.
6 points
exercice 3
Partie A : Lectures graphiques
1) Par lecture graphique, nous obtenons : Cm (7) 500.
2) Graphiquement, il semble que la fonction Cm est décroissante sur l'intervalle [1 ; 5] et croissante sur l'intervalle [5 ; 10].
Tableau de variations de la fonction Cm sur [1 ; 10] (par lecture graphique) :
3) Par le tableau de variation de la fonction Cm , nous en déduisons que le coût moyen sera minimal pour une fabrication quotidienne de 5 kilomètres de tissus.
Partie B : étude du bénéfice
1) Le prix de vente d'un kilomètre de tissu est de 680 euros.
L'entreprise vend x kilomètres de tissu.
D'où la recette R (x ) se calcule par la relation :
2) Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût de production.
4) a) Etude du signe du trinôme -45x ² + 240x + 180.
Le discriminant = 2402 - 4 (-45) 180 = 576 000 + 32 400 = 90 000 > 0.
Puisque le discriminant du trinôme est strictement positif, ce trinôme admet deux racines distinctes :
Le signe du coefficient de x² étant négatif, le polynôme du second degré est négatif à l'extérieur des racines et positif entre les racines.
D'où le tableau de signes de :
4) b) A l'aide du tableau de signes de , nous déduisons le signe de la dérivée B'sur l'intervalle [1 ; 10] :
B' (x ) > 0 pour tout x dans l'intervalle [1 ; 6[ B' (6) = 0 B' (x ) < 0 pour tout x dans l'intervalle ]6 ; 10].
5) Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction B sur l'intervalle [1 ; 10].
6) A l'aide de la question précédente, nous déduisons que le bénéfice de l'entreprise sera maximal pour une production et une vente de 6 kilomètres de tissu par jour.
Ce bénéfice maximal sera alors égal à 1410 euros.
4 points
exercice 4
Tableau donnant le chiffre d'affaires mondial d'une entreprise entre 2010 et 2016 en millions d'euros.
Partie A : étude d'un premier modèle
1) Nuage de points Mi(xi ; yi) pour i variant de 0 à 6.
Le nuage de points est représenté par les sept points bleus du graphique ci-dessous.
2) a) L'équation réduite de la droite (d ) d'ajustement affine de y en x est de la forme y = ax + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a = 2,42 et b = 18,14. Donc l'équation réduite de la droite d'ajustement affine de y en x est y = 2,42x + 18,14.
Dans la suite, nous choisirons la droite d d'équation y = 2,4x + 18,1 comme ajustement affine du nuage de points.
2) b) Représentation graphique de la droite d (et du nuage de points de la question 1).
3) 2020 = 2010 + 10.
En 2020, le rang de l'année est alors égal à 10.
Graphiquement, nous observons que le point de la droite d dont l'abscisse est 10 possède une ordonnée égale à environ 42.
Nous pouvons également trouver cette ordonnée en remplaçant x par 10 dans l'équation de la droite d . y = 2,4 10 + 18,1 = 42,1 42.
Par conséquent, selon ce premier modèle, nous pouvons estimer que le chiffre d'affaires de cette entreprise en 2020 s'élèvera à environ 42 millions d'euros (arrondi au million près).
Partie B : étude d'un second modèle
1) Le taux d'évolution global en pourcentage du chiffre d'affaires de l'entreprise entre 2010 et 2016 est donné par le calcul suivant :
Donc le taux d'évolution global en pourcentage du chiffre d'affaires de l'entreprise entre 2010 et 2016 est environ de 77,05 % (valeur arrondie à 0,01 % près).
2) En utilisant la réponse de l'exercice 1, nous déduisons que le coefficient multiplicateur globalCg pour la période allant de l'année 2010 à l'année 2016 est Cg = 1 + 0,7705 = 1,7705.
Puisque 6 années se sont écoulées entre 2010 et 2016, le coefficient multiplicateur annuel moyen est (valeur arrondie au dix-millième).
Le taux d'évolution annuel moyen est égal à (valeur arrondie au dix-millième).
Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen (en pourcentage) du chiffre d'affaires de l'entreprise entre 2010 et 2016 est égal à 0,0999 100 = 9,99 %, soit environ 10 % (arrondi à l'entier le plus proche).
3) Nous supposons que le taux d'évolution annuel sera de 10% entre 2016 et 2020.
D'où le chiffre d'affaires de l'entreprise en 2020 peut être estimé à 32,4 1,104 millions d'euros, soit environ 47 millions d'euros.
Publié par malou
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