Croissance comparée des fonctions
exponentielles, puissances
entières et logarithme.
Cette fiche est
conforme au programme en vigueur en France depuis 2011-2012 dont le contenu est le suivant :
Dont on déduit :
À travers des exemples, on étendra
ces règles au cas des polynômes,
comme pour la fonction
On aboutira aux règles opératoires : « à l'infini,
l'exponentielle de
l'emporte sur toute
puissance de
» et « les puissances de
l'emportent sur le logarithme de
».
Ces règles opératoires s'écrivent :
,
,
Exemple d'application 1
Soit à déterminer, si elle existe, la limite en
de
Lorsque
tend vers
,
tend vers
ainsi que
.
On a donc une forme indéterminée, qu'on va lever en utilisant les croissances comparées établies en cours.
Pour ce faire, transformons l'écriture de
.
Or
,
donc
Conclusion :
Exemple d'application 2
Soit à déterminer, si elle existe, la limite en
de
Numérateur comme dénominateur tendent tous deux vers
, on va donc lever l'indétermination.
Pour cela, transformons l'écriture de
.
Conclusion : par produit,
Exemple d'application 3
Soit à déterminer, si elle existe, la limite en
de
Nous avons bien une forme indéterminée.
Transformons l'écriture de
.
Appliquons les théorèmes de croissance comparée :
et
donc en prenant l'inverse
Conclusion :
Nous avons donc par produit :
Exemple d'application 4
Soit à déterminer, si elle existe, la limite en
de
Après avoir vérifié que nous avons bien une forme indéterminée, transformons l'écriture de
.
Pour cela, mettons en facteur le terme de plus haut degré.
Nous savons que
.
Et que
d'où
Conclusion :
d'où
.
Exemple d'application 5
Soit à déterminer, si elle existe, la limite de
lorsque
donc
Posons
. Ce changement de variable nous permet d'écrire :
Or dire que
tend vers
revient à dire que
tend vers
Donc
Conclusion :