Fiche de mathématiques

Théorèmes de croissance comparée

La comparaison des croissances respectives des fonctions $e^{x}$ , $x^{n}$ et $\ln x$ peuvent permettre de lever certaines indéterminations se présentant lors du calcul des limites de fonctions.

Nous avons (pour n $\in \mathbb{N}^{*}$ ) :
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$

$\displaystyle \lim_{x\to 0} x^n \ln x = 0$

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} x^n e^x = 0$

Exemple d'application 1

Calculer $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{3 \times e^x}{x^6 \ln x}$

Nous allons nous ramener à une formule du cours :
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{3 \times e^x}{x^6 \ln x} = \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \left(\frac{3 \times e^x}{x^7}\frac{x}{\ln x}\right)$

Appliquons les théorèmes de croissance comparée :
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{3 \times e^x}{x^7} = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0^+$
donc $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{x}{\ln x} = +\infty$

Conclusion :
Nous avons donc $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{3 \times e^x}{x^6 \ln x} = +\infty$

Exemple d'application 2

Démontrer que $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(x^5-x^4\ln x) = +\infty$

Nous pouvons nous ramener à une formule du cours, afin d'appliquer les théorèmes de croissance comparée.
Pour cela, mettons en facteur le terme dominant :
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(x^5-x^4\ln x) = \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left[x^5\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)\right]$
Nous savons que $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x^5 = +\infty$ .
Et que $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0$ d'où $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)=1$

Conclusion :
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x^5(1-\frac{\ln x}{x}) = +\infty$ .
On a bien : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(x^5-x^4\ln x) = +\infty$

Exemple d'application 3

Déterminer $\displaystyle \lim_{x\to {2^{^{_-}}}}\left(\frac{e^{\frac{1}{x-2}}}{x-2}\right)$
$\displaystyle \lim_{x\to {2^{^{_-}}}}(x-2) = 0^-$ donc $\displaystyle \lim_{x\to {2^{^{_-}}}}(\frac{1}{x-2}) = -\infty$
Posons $X = \frac{1}{x-2}$ . Ce changement de variable nous permet d'utiliser le fait que :
$\displaystyle \lim_{X\to -\infty} X e^X = 0$ pour déduire que :
$\displaystyle \lim_{x\to {2^{^{_-}}}}\left(\frac{e^{\frac{1}{x-2}}}{x-2}\right) = 0$

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