logo

Fiche de mathématiques





La comparaison des croissances respectives des fonctions e^{x}, x^{n} et \ln x peuvent permettre de lever certaines indéterminations se présentant lors du calcul des limites de fonctions.

Nous avons (pour n\in \mathbb{N}^{*}) :
\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0

\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty

\displaystyle \lim_{x\to 0} x^n \ln x = 0

\displaystyle \lim_{x\to -\infty} x^n e^x = 0




Exemple d'application 1

Calculer \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{3 \times e^x}{x^6 \ln x}
* Nous allons nous ramener à une formule du cours :
\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{3 \times e^x}{x^6 \ln x} = \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \left(\frac{3 \times e^x}{x^7}\frac{x}{\ln x}\right)
* Appliquons les théorèmes de croissance comparée :
\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{3 \times e^x}{x^7} = +\infty et \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0^+
donc \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{x}{\ln x} = +\infty
* Conclusion :
Nous avons donc\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{3 \times e^x}{x^6 \ln x} = +\infty


Exemple d'application 2

Démontrer que \displaystyle \lim_{x\to +\infty}(x^5-x^4\ln x) = +\infty
* Nous pouvons nous ramener à une formule du cours, afin d'appliquer les théorèmes de croissance comparée.
Pour cela, mettons en facteur le terme dominant :
\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(x^5-x^4\ln x) = \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left[x^5\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)\right]
Nous savons que \displaystyle \lim_{x\to +\infty}x^5 = +\infty.
Et que \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0 d'où \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)=1
* Conclusion :
\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x^5(1-\frac{\ln x}{x}) = +\infty.
On a bien : \displaystyle \lim_{x\to +\infty}(x^5-x^4\ln x) = +\infty


Exemple d'application 3

Déterminer \displaystyle \lim_{x\to {2^{^{_-}}}}\left(\frac{e^{\frac{1}{x-2}}}{x-2}\right)
\displaystyle \lim_{x\to {2^{^{_-}}}}(x-2) = 0^- donc \displaystyle \lim_{x\to {2^{^{_-}}}}(\frac{1}{x-2}) = -\infty
Posons X = \frac{1}{x-2}. Ce changement de variable nous permet d'utiliser le fait que :
\displaystyle \lim_{X\to -\infty} X e^X = 0 pour déduire que :
\displaystyle \lim_{x\to {2^{^{_-}}}}\left(\frac{e^{\frac{1}{x-2}}}{x-2}\right) = 0






cours de maths terminale - exercices de maths terminale - prof de maths - cours particuliers haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilemaths l'île des mathématiques
© Tom_Pascal & Océane 2014