Théorèmes de croissance comparée

La comparaison des croissances respectives des fonctions e^x, xⁿ et ln x peuvent permettre de lever certaines indéterminations se présentant lors du calcul des limites de fonctions.

Nous avons (pour n appartient

^*) :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Exemple d'application 1

Calculer $\text{[math]}$

Nous allons nous ramener à une formule du cours :
$\text{[math]}$

Appliquons les théorèmes de croissance comparée :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$

Conclusion :
Nous avons donc $\text{[math]}$

Exemple d'application 2

Démontrer que $\text{[math]}$

Nous pouvons nous ramener à une formule du cours, afin d'appliquer les théorèmes de croissance comparée.
Pour cela, mettons en facteur le terme dominant :
$\text{[math]}$
Nous savons que $\text{[math]}$ .
Et que $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$

Conclusion :
$\text{[math]}$ .
On a bien : $\text{[math]}$

Exemple d'application 3

Déterminer $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
Posons $\text{[math]}$ . Ce changement de variable nous permet d'utiliser le fait que :
$\text{[math]}$ pour déduire que :
$\text{[math]}$

F.A.Q.

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