Fiche de mathématiques
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Croissance comparée des fonctions exponentielles, puissances entières et logarithme.

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Cours de maths niveau Terminale sur les théorêmes de croissance comparée des fonctions exponentielles

Cette fiche est conforme au programme en vigueur en France depuis 2011-2012 dont le contenu est le suivant :

\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0

\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty

Dont on déduit : \displaystyle \lim_{x\to -\infty} x e^x = 0
À travers des exemples, on étendra ces règles au cas des polynômes, comme pour la fonction x\mapsto \dfrac{e^x}{1+x^2}
On aboutira aux règles opératoires : « à l'infini, l'exponentielle de x l'emporte sur toute puissance de x » et « les puissances de  x l'emportent sur le logarithme de x ».



Ces règles opératoires s'écrivent :
\text{Pour } n\in \mathbb{N}^{*} , \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 , \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty

\text{dont on déduit : } \text{pour } n\in \mathbb{N}^{*}\displaystyle \lim_{x\to -\infty} x^n e^x = 0


Exemple d'application 1


Soit à déterminer, si elle existe, la limite en +\infty de f(x)=2x-\ln x
Lorsque x tend vers +\infty, 2x tend vers +\infty ainsi que \ln x.
On a donc une forme indéterminée, qu'on va lever en utilisant les croissances comparées établies en cours.
Pour ce faire, transformons l'écriture de f(x).
\text{Pour } x \neq 0\,, f(x)=x\left(2-\dfrac{\ln x}{x}\right)
Or \displaystyle \lim_{x\to +\infty}x=+\infty , \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0 donc \displaystyle \lim_{x\to +\infty}2-\dfrac{\ln x}{x} = 2
Conclusion : \text{ Par produit on obtient : } \displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty


Exemple d'application 2


Soit à déterminer, si elle existe, la limite en +\infty de f(x) = \dfrac{\text{e} ^x}{x^2 + 1}
Numérateur comme dénominateur tendent tous deux vers +\infty, on va donc lever l'indétermination.
Pour cela, transformons l'écriture de f(x).
\text{Pour }x\neq 0\,, f(x)= \dfrac{e^x}{x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}}\right)}=\dfrac{e^x}{x^2}\times\dfrac{1}{1+\frac{1}{x^2}}

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x^2}=+\infty \text{ et } \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{x^2}}\right)=1
Conclusion : par produit, \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty


Exemple d'application 3


Soit à déterminer, si elle existe, la limite en +\infty de f(x)= \dfrac{3 \times e^x}{x^6 \ln x}
Nous avons bien une forme indéterminée.
Transformons l'écriture de f(x).

f(x)= 3\times \dfrac{ e^x}{x^6 \ln x} =  3 \times\dfrac{ e^x}{x^7}\times \dfrac{x}{\ln x}
Appliquons les théorèmes de croissance comparée :
\displaystyle \lim_{x\to +\infty} 3 \times\dfrac{ e^x}{x^7} = +\infty et \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0^+ donc en prenant l'inverse \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{x}{\ln x} = +\infty
Conclusion :
Nous avons donc par produit : \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{3 \times e^x}{x^6 \ln x} = +\infty


Exemple d'application 4


Soit à déterminer, si elle existe, la limite en +\infty de f(x)=x^5-x^4\ln x
Après avoir vérifié que nous avons bien une forme indéterminée, transformons l'écriture de f(x) .
Pour cela, mettons en facteur le terme de plus haut degré.
\text{Pour }x\neq 0\,,f(x)=x^5-x^4\ln x =x^5\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)
Nous savons que \displaystyle \lim_{x\to +\infty}x^5 = +\infty.
Et que \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0 d'où \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)=1
Conclusion :
\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x^5(1-\dfrac{\ln x}{x}) = +\infty d'où \displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty.


Exemple d'application 5

Soit à déterminer, si elle existe, la limite de f(x) = \dfrac{e^{\frac{1}{x-2}}}{x-2} lorsque x \text{tend vers } 2 \text{ par valeurs inférieures à } 2
\displaystyle \lim_{x\to {2^{^{-}}}}(x-2) = 0^- donc \displaystyle \lim_{x\to {2^{^{-}}}}(\frac{1}{x-2}) = -\infty
Posons X = \frac{1}{x-2}. Ce changement de variable nous permet d'écrire :

\dfrac{e^{\frac{1}{x-2}}}{x-2}=\dfrac{1}{x-2}\times e^{\frac{1}{x-2}}= Xe^X
Or dire que x tend vers 2^{-} revient à dire que X tend vers -\infty

Donc \displaystyle \lim_{x\to {2^{^{-}}}}\left(\frac{e^{\frac{1}{x-2}}}{x-2}\right) = \displaystyle \lim_{X\to -\infty} X e^X = 0
Conclusion : \displaystyle \lim_{x\to {2^{^{-}}}}f(x)=0

Merci à malou pour la rédaction de cette fiche
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