1) Si une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l'intervalle [a ;b ],
alors pour tout intervalle [c ;d ] inclus à [a ;b ], nous avons
Dans cet exercice, X est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [1 ; 9].
D'où
Par conséquent, la réponse correcte est la réponse
2) Un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95% est de la forme où f est la fréquence observée sur un échantillon de taille n.
Dans cet exercice, l'amplitude de l'intervalle doit être égale à 0,01.
Or l'amplitude de cet intervalle se calcule par
Les données de l'énoncé se traduisent donc par :
Par conséquent, la réponse correcte est la réponse
3. Résoudre l'équation
Par conséquent, la réponse correcte est la réponse
4. D'après le tableau de variations de la fonction g sur l'intervalle [-5 ; 3], 2 g (x ) 4.
Par conséquent, la réponse correcte est la réponse
6 points
exercice 2 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS
Partie A
1) a)
b) Puisque la fonction exponentielle est strictement positive pour tout x réel, le signe de la dérivée f' est celui de (-0,4x + 4)
Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [-20 ; 20] :
La valeur exacte du maximum de f est 10e-1.
2) a) Sur l'intervalle [-20 ; 10], la fonction f est continue et strictement croissante et le minimum de f est f (-20) = 70e-7 0,06 > 0.
D'où pour tout x dans l'intervalle [-20 ; 10], f (x ) f (-20) > 0.
Par conséquent, l'équation f (x ) = -2 n'admet aucune solution sur l'intervalle [-20 ; 10].
Sur l'intervalle [10 ; 20], la fonction f est continue et strictement décroissante. f (10) = 10e-1 3,7 > -2. f (20) = -10e1 -27,2 < -2.
Nous observons que -2 est compris entre f (10) et f (20).
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = -2 admet une solution unique sur l'intervalle [10 ; 20].
Par conséquent, l'équation f (x ) = -2 admet une solution unique sur l'intervalle [-20 ; 20].
b) Par la calculatrice, nous obtenons f (15,8) -1,88 > -2 et f (15,9) -2,15 < -2.
D'où 15,8 < < 15,9.
3) a) La première ligne du tableau montre que si F est une fonction définie sur [-20 ; 20] par F (x ) = (-10x + 200)e0,2x -3, alors F' (x ) = f (x ).
D'où la fonction F est une primitive de f .
Nous obtenons alors :
b) En utilisant les deux derniers résultats fournis par le logiciel, nous en déduisons que
La fonction f est deux fois dérivable sur l'intervalle [-20 ; 20].
La courbe possède un point d'inflexion M si et seulement si la dérivée seconde de f s'annule en changeant de signe en l'abscisse du point M .
Or .
Puisque la fonction exponentielle est strictement positive pour tout x réel, le signe de la dérivée seconde f" est celui de (-0,08x + 0,4)
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de la dérivée seconde f'' et la convexité de la fonction f.
Par conséquent, la fonction f est convexe sur l'intervalle [-20 ; 5].
La courbe admet un point d'inflexion dont l'abscisse est x = 5.
Partie B
1) Le dénivelé de cette nouvelle piste se calcule par la différence f (10) - f (0).
Par conséquent, le dénivelé de cette nouvelle piste est d'environ 2,185 km.
2) Etudions les variations des coefficients directeurs des tangentes à la courbe sur l'intervalle [0 ; 10].
Ces coefficients directeurs sont donnés par la dérivée première f' (x ).
Etudions donc les variations de la dérivée f' sur l'intervalle [0 ; 10].
L'étude du signe de la dérivée seconde sur l'intervalle [-20 ; 20] a déjà été réalisée dans la question 3b) de la partie A.
Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la dérivée f' :
D'où sur l'intervalle [0 ; 10], la dérivée f' possède un maximum égal à environ 0,27.
Cela signifie que la pente maximale de la piste est environ égale à 27%.
Puisque au moins une portion de la piste a une pente strictement comprise entre 25 % et 40 % (et aucune portion n'a une pente supérieure ou égale à 40 %), cette nouvelle piste sera classée rouge.
5 points
exercice 3 - Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la serie L
1) Une diminution de 10% correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,10 = 0,9.
D'où diminuer de 10% la superficie de 2017 et augmenter le résultat de 4 m² revient au calcul : 0,9 120 + 4 = 112.
Par conséquent, la superficie de terrain envahi par cette plante au 1er janvier 2018 sera de 112 m².
2) Algorithme
L1 U prend la valeur 120
L2 N prend la valeur 0
L3 Tant que U > 60
L4 U prend la valeur 0,9 U + 4
L5 N prend la valeur N + 1
L6 Fin Tant que
L7 Afficher 2017 + N
3)
a. Montrons que la suite (vn ) est une suite géométrique.
D'où la suite (vn ) est une suite géométrique de raison 0,9 et dont le premier terme est
b. Pour tout entier naturel n,
4) a) Résoudre dans l'inéquation 80 0,9n + 40 60.
Puisque n est un nombre naturel, les solutions de l'inéquation proposée sont les nombres naturels supérieurs ou égaux à 14.
b) En utilisant la solution de l'exercice 4) a), nous déduisons que n 14.
D'où 2017 + n 2017 + 14, soit 2017 + n 2031.
Par conséquent, la superficie envahie par la plante sera réduite au moins de moitié par rapport au 1er janvier de l'année 2017 à partir de l'année 2031.
5) Nous avons montré que
Nous savons que
D'où
A long terme, si l'évolution perdure, la superficie envahie par cette plante sera alors de 40 m².
Par conséquent, le jardinier ne parviendra pas à faire disparaître complètement la plante de son terrain.
5 points
exercice 3 - Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
1) a) Les données de l'énoncé nous permettent de traduire la situation par le graphe probabiliste suivant :
b) Nous pouvons alors déterminer la matrice M de transition suivante (les sommets étant rangés selon l'ordre alphabétique) :
2) Nous savons que
3) La matrice M de transition ne comporte pas de 0.
L'état probabiliste Pn à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial P0.
Cet état P est l'état probabiliste stable du système et vérifie la relation PM = P.
Soit
Alors
b) Résoudre le système
D'où l'état probabiliste stable est
Nous pouvons interpréter ce résultat en indiquant qu'à long terme, à chaque mois, 37,5% des adhérents voteront pour le candidat A et 62,5% des adhérents voteront pour le candidat B.
5 points
exercice 4 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS
Partie A
1) La situation peut être traduite par l'arbre pondéré suivant :
3) Selon la formule des probabilités totales, nous obtenons :
4) Nous devons déterminer
Par conséquent, sachant que l'embarcation a été louée pendant 2 heures, la probabilité que ce soit un bateau électrique est environ égale à 0,32.
5) Soit Y la variable aléatoire correspondant au tarif de location d'une embarcation.
Cette variable aléatoire Y peut prendre les valeurs 10, 15, 16, 25, 35, 60.
Nous obtenons ainsi :
D'où la loi de probabilité de la variable Y est donnée par le tableau suivant :
Nous en déduisons que l'espérance de la variable Y est
La recette journalière se calcule par 200 23,605 = 4721.
Par conséquent, la recette journalière que peut espérer la base nautique est égale à 4721 euros.
Partie B
1. Par la calculatrice, nous obtenons :
D'où
2. Puisque 8 heures représentent 8 60 minutes, soit 480 minutes, nous devons calculer p (X < 480).
Nous savons que = 500.
Dès lors,
Par conséquent, la probabilité que la batterie d'un bateau soit déchargée avant la fin de la journée est environ égale à 0,023.
3. p(X < a ) 0,01.
Par la calculatrice, nous obtenons a 476,737.
Interprétation : La probabilité que la batterie d'un bateau soit déchargée avant 477 minutes de fonctionnement est environ égale à 0,01.
Publié par malou/Panter
le
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