La fonction exponentielle est l'unique fonction, dérivable sur R, vérifiant
et
La méthode dite d'Euler permet, à l'aide d'un tableur, de trouver des approximations successives
de la courbe de cette fonction.
Puisque f est dérivable sur R, et que pour tout x de R, on a : , on peut
écrire :
Pour tout a de R et pour tout h proche de 0, .
Sur l'exemple des tracés ci-après, on a choisi a=0 et h=0,1. Ce qui donne : Et on réitère le procédé en choisissant a=h , on obtient On peut montrer alors pour tout n entier naturel, et
les termes sont les termes d'une suite géométrique de raison (1+h).
En voici un exemple pour des valeurs sur [0 ; 2].
puis sur [0 ; 4,5]
Définition
Cette unique fonction est appelée fonction exponentielle et se note exp.
On obtient donc :
Définition
On appelle fonction exponentielle, notée exp, l'unique fonction dérivable
sur R vérifiant : On note e le nombre exp(1).
On peut obtenir une valeur approchée de e par divers moyens. On trouve e 2,72.
Propriétés algébriques de la fonction exp
Pour tous réels x et y , exp(x + y) = exp(x) exp(y)
exp(x) exp(-x) = 1
Il est alors facile d'en déduire les propriétés suivantes qui en découlent directement :
Conséquences
Pour tout réel x, exp(x) > 0
Pour tout réel x, Pour tous réels x et y, Pour tout réel x et tout n de Z,
Nouvelle notation
De la dernière conséquence ci-dessus, on en déduit une nouvelle notation, qui sera la
notation définitive.
Prenons x=1. Cela donne : pour tout n de Z, Mais .
Et on obtient : pour tout n de Z,
On étend cette écriture aux réels, et on note : pour tout x de R ;
On retiendra alors :
Pour tous réels x et y, Pour tout réel x, Pour tous réels x et y , Pour tout x réel et n dans Z,
Variation et courbe
On sait que pour tout x réel, exp'(x)=ex > 0
La fonction exponentielle est donc une fonction dérivable strictement croissante sur R.
On peut démontrer (admis ici), que le tableau de variation de la fonction exponentielle est :
On obtient la représentation graphique suivante, sur laquelle on peut ajouter
la tangente au point de coordonnées (0;1) puisque le nombre dérivé en 0 a même valeur
que la valeur de la fonction en ce point c'est-à-dire 1.
On parle de croissance ou de décroissance exponentielle (démographie, placement d'argent,
phénomènes biologiques ou physiques).
Quelques exemples de courbes :
Publié par malou
le
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=f(x))
, on peut
écrire :
=(1+h)f(a))
.
=1+h)
=(1+h)f(h)=(1+h)^2)
=(1+h)^n)
et
les termes )
sont les termes d'une suite géométrique de raison (1+h).
En voici un exemple pour des valeurs sur [0 ; 2].
2,72.
=(\text{exp}(1))^n)
= \text{ e})
.
=\text{e}^n)
=\text{e}^x})
^n=\text e ^{nx})
} & & + & & \\ \hline {\text{variation de exp}} & {_0} & \nearrow &{^{+\infty} }& \\ \hline \end{array})
et
=1)
= \text{ exp}(x)\\ & \text{ exp } (0)= 1 \end{cases})
=\dfrac{1}{\text{exp}(x)})
=\dfrac{\text{exp}(x)}{\text{exp}(y)})
=(\text{exp}(x))^n)
