Fiche de mathématiques
> >

La fonction exponentielle

Partager :


Introduction


Définition
La fonction exponentielle est l'unique fonction, dérivable sur R, vérifiant
f' = f\;\; et
f(0)=1


La méthode dite d'Euler permet, à l'aide d'un tableur, de trouver des approximations successives de la courbe de cette fonction.

Puisque f est dérivable sur R, et que pour tout x de R, on a : f'(x)=f(x) , on peut écrire :
Pour tout a de R et pour tout h proche de 0, f(a+h)=(1+h)f(a).
Sur l'exemple des tracés ci-après, on a choisi a=0 et h=0,1. Ce qui donne : f(h)=1+h
Et on réitère le procédé en choisissant a=h , on obtient f(2h)=(1+h)f(h)=(1+h)^2
On peut montrer alors pour tout n entier naturel, f(nh)=(1+h)^n et les termes f(nh) sont les termes d'une suite géométrique de raison (1+h). En voici un exemple pour des valeurs sur [0 ; 2].

La fonction exponentielle : image 1


puis sur [0 ; 4,5]
La fonction exponentielle : image 4


Définition
Cette unique fonction est appelée fonction exponentielle et se note exp.

On obtient donc :
Définition
On appelle fonction exponentielle, notée exp, l'unique fonction dérivable sur R vérifiant : \begin{cases} & \text{ pour tout } x \text{ de R , exp'}(x)= \text{ exp}(x)\\ & \text{ exp } (0)= 1 \end{cases}
On note e le nombre exp(1).

On peut obtenir une valeur approchée de e par divers moyens. On trouve e environegal 2,72.
Propriétés algébriques de la fonction exp
Pour tous réels x et y , exp(x + y) = exp(x) exp(y)
exp(x) exp(-x) = 1

Il est alors facile d'en déduire les propriétés suivantes qui en découlent directement :
Conséquences
Pour tout réel x, exp(x) > 0
Pour tout réel x, \text{exp}(-x)=\dfrac{1}{\text{exp}(x)}
Pour tous réels x et y, \text{exp}(x-y)=\dfrac{\text{exp}(x)}{\text{exp}(y)}
Pour tout réel x et tout n de Z, \text{exp}(nx)=(\text{exp}(x))^n

Nouvelle notation


De la dernière conséquence ci-dessus, on en déduit une nouvelle notation, qui sera la notation définitive.
Prenons x=1. Cela donne : pour tout n de Z, \text{exp}(n)=(\text{exp}(1))^n
Mais \text{exp}(1)= \text{ e}.
Et on obtient : pour tout n de Z, \text{exp}(n)=\text{e}^n

On étend cette écriture aux réels, et on note : pour tout x de R ; \boxed{\text{exp}(x)=\text{e}^x}

On retiendra alors :
\text e ^0 = 1
\text e ^1 = \text e
Pour tous réels x et y, \text e ^{x+y}=\text e ^x \text e ^y
Pour tout réel x, \text e ^{-x}=\dfrac{1}{\text e ^x}
Pour tous réels x et y , \text e ^{x-y}=\dfrac{\text e ^x}{\tex e ^y}
Pour tout x réel et n dans Z, \left(\text e ^x\right)^n=\text e ^{nx}

Variation et courbe


On sait que pour tout x réel, exp'(x)=ex > 0
La fonction exponentielle est donc une fonction dérivable strictement croissante sur R.
On peut démontrer (admis ici), que le tableau de variation de la fonction exponentielle est :

\begin{array} {|c|cccc|} \hline x & -\infty & & +\infty & \\ \hline {\text{signe de exp}'(x)} & & + & & \\ \hline {\text{variation de exp}} & {_0} & \nearrow &{^{+\infty} }& \\ \hline \end{array}


On obtient la représentation graphique suivante, sur laquelle on peut ajouter la tangente au point de coordonnées (0;1) puisque le nombre dérivé en 0 a même valeur que la valeur de la fonction en ce point c'est-à-dire 1.

La fonction exponentielle : image 2


On parle de croissance ou de décroissance exponentielle (démographie, placement d'argent, phénomènes biologiques ou physiques).

Quelques exemples de courbes :

La fonction exponentielle : image 3
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
malou Webmaster
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1446 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !