Fiche de mathématiques
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Les suites géométriques

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1. Définition

Définition :
Une suite (un) est géométrique si il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, un+1 = q un.
q est appelé raison de la suite.

ce qui peut se dire :

Tout terme se déduit du précédent par multiplication par une constante appelée raison (ici q).



  Teste-toi ! (Exercice 1)


  Teste-toi ! (Exercice 2)


2. Calcul du terme général un


C'est ce qu'on appelle également la forme explicite de un.
Théorème :
Si (un) est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, alors pour tous les entiers naturels n et p :
un = u0 qn et un = up qn-p

Démonstration :

Remarques :
la première formule n'est qu'un cas particulier de la seconde;
si un = b an, alors (un) est une suite géométrique de raison a et de premier terme u0 = b.
si le premier terme est u1, on obtient donc un = u1 qn-1

3. Variations

a) cas q<0
Deux termes successifs d'une telle suite sont de signes contraires : la suite n'est pas monotone.

--> Exemple : u_1 = 7 et q = -2
les premiers termes de cette suite géométrique sont 7 ; -14 ; 28 ; -56 ; 112 : -224, etc. : alternativement positifs et négatifs.

b) cas q>0
Etablissons la différence entre 2 termes consécutifs d'une suite géométrique u_n de premier terme u_0 de raison q positive et non nulle :
u_{n+1} - u_n = (u_0 \times q^{n+1}) - (u_0 \times q^{n}) = u_0 \times q^{n} (q - 1)
On constate que le signe de u_{n+1} - u_n dépend de celui du premier terme u_0 (ou u_1 , selon) et de la valeur de q.
Le tableau suivant résume les différents cas :
Tout sur les suites géométriques : image 1


Exemples :
Tout sur les suites géométriques : image 2


  Teste-toi ! (Exercice 3)


  Teste-toi ! (Exercice 4)


4. Somme des n premiers termes

Cas particulier :
La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q (q \neq 1) et de premier terme 1 est égale à 1 + q + ... + q^{n-1} = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}

Démonstration :
Soit S la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q (q \neq 1), S = 1 + q + q² + ... + qn-3 + qn-2 + qn-1.
Donc : qS = q + q² + q3 + ... + qn-2 + qn-1 + qn
Donc : qS = S - 1 + qn
Donc : (1 - q)S = 1 - qn
Or, q \neq 1, donc 1 - q \neq 0.
Donc : S = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}
Théorème :
Si (un) est une suite géométrique de raison q (q \neq 1) et de premier terme u0,
alors alors pour tout entier n : S = u0 + u1 + ... + un-1 = u_0 \dfrac{1 - q^n}{1 - q}
S est appelée la somme des n premiers termes de la suite (un).

Démonstration :
Les n premiers termes de la suite géométrique (un) sont u0; u1 = qu0; u2 = q²u0; ...; un-3 = qn-3u0; un-2 = n-2u0 et un-1 = n-1u0. Donc :
S = u0 + u1 + u2 + ... + un-3 + un-2 + un-1
S = u0 + qu0 + q²u0 + ... + qn-3u0 + qn-2u0 + qn-1u0
S = u0(1 + q + q² + ... + qn-3 + qn-2 + qn-1)
Or, on a vu que 1 + q + q² + ... + qn-3 + qn-2 + qn-1 = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}. Donc :
S = u_0 \dfrac{1 - q^n}{1 - q}

Remarque : Dans le cas où q = 1, la suite géométrique (un) est constante : elle est toujours égale à u0.
On a alors : S = u0 + u1 + ... + un-2 + un-1 = n u0

  Teste-toi (Exercice 5)
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