Fiche de mathématiques
> >

Premiers exercices sur la fonction exponentielle

Partager :


exercice 1

Simplifier les écritures suivantes : \dfrac{\text e ^5}{\text e ^2}\quad , \quad \text e ^3 \text e ^{-1} \quad ,\quad \dfrac{\left(\text e ^{-2}\right)^2}{\text e} \quad .



exercice 2

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
1. exp ( e ) = 1
2. exp (xy)=exp(x)exp(y)
3. exp (x) > 0 equivaut x > 0



exercice 3

Montrer que pour tout  x \neq 0\quad , \quad\dfrac{\text e ^x + 1 }{\text e ^x - 1}=\dfrac{1+\text e ^ {-x}}{1-\text e ^ {-x}}



exercice 4

Résoudre dans R les équations ou inéquations suivantes :
1. \text e^{x-1}=1
2. \text e^{-x+2}=\text e^{2+x^2}
3. \text e ^x = \dfrac{2}{\text e ^{-x}}
4. \text e ^{-2} < -1
5. \text e ^{(x-1)^2}\ge 1



exercice 5

Soit la fonction f définie sur R par f(x)=\dfrac{\text e ^x}{(\text e^x+1)^2}
Etudier la parité de la fonction f et en déduire un élément de symétrie pour la courbe représentative de f dans un repère du plan.





exercice 1

\dfrac{\text e ^5}{\text e ^2}=\text e ^{5-2}=\text e ^3

\text e ^3 \text e ^{-1}=\text e ^{3+(-1)}=\text e ^2

\dfrac{\left(\text e ^{-2}\right)^2}{\text e}=\dfrac { \text e ^{-4}}{\text e ^1}  = \text e ^{-4-1}=\text e ^{-5}



exercice 2

1. exp ( e ) = 1 FAUX. En effet, 1= e^0 et ne peut donc pas être égal à exp ( e ) qui est l'écriture de \text e ^{\text e } .

2. exp (xy)=exp(x)exp(y) FAUX
Prenons un contre exemple : choisissons x=y=1 ;
xy=1 donc exp (xy)=exp (1)= e
et exp(x)exp(y)=exp(1)exp(1)=emultipliee = e2 ; or edifferente2 donc la proposition est fausse.

3. exp (x) > 0 equivaut x > 0 FAUX
Prenons un contre exemple pour le démontrer. Soit x= -3. exp(-3) > 0 car la fonction exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives. Il n'est donc pas nécessaire que x soit positif.



exercice 3

Soit x \neq 0\quad , \quad \dfrac{\text e ^x + 1 }{\text e ^x - 1}= \dfrac{\text e^x (1 + \text e ^{-x}) }{\text e^x (1- \text e ^{-x})}  = \dfrac{1 + \text e ^{-x} }{1- \text e ^{-x}}



exercice 4

Résoudre dans R
1. \text e^{x-1}=1

\text e^{x-1}=\text e ^0

x-1=0

x=1

S=\begin{Bmatrix} 1 \end{Bmatrix}

2. \text e^{-x+2}=\text e^{2+x^2}

-x+2=2+x^2

x^2-x=0

x(x-1)=0

x=0 \text{ ou } x=1

S=\begin{Bmatrix} \;0 &, &1\; \end{Bmatrix}

3. \text e ^x = \dfrac{2}{\text e ^{-x}}

\text e ^x \text e ^{-x}= 2

\text e ^0 = 2 ce qui est impossible

S= \varnothing

4. \text e ^{-2} < -1

Une exponentielle étant toujours strictement positive, cette inéquation n'admet pas de solution.

S= \varnothing

5. \text e ^{(x-1)^2}\ge 1

\text e ^{(x-1)^2}\ge \text e ^0

(x-1)^2 \ge 0 Un carré étant toujours positif ou nul, tout réel est solution de cette inéquation.

S=\textbf R



exercice 5

Soit la fonction f définie sur R par f(x)=\dfrac{\text e ^x}{(\text e^x+1)^2}
Cette fonction est définie sur R, ensemble symétrique par rapport à 0.

f(-x)=\dfrac{\text e ^{-x}}{(\text e^{-x}+1)^2}  =\dfrac{\text e ^{2x}\text e ^{-x}}{\text e ^{2x}(\text e^{-x}+1)^2}   =\dfrac{\text e ^x}{\left(\text e ^x(\text e^{-x}+1)\right)^2}   = \dfrac{\text e ^x}{\left(1+\text e^{x}\right)^2} = f(x)

En conclusion, pour tout x de R, f(-x)=f(x)
La fonction f est paire et sa courbe représentative dans un repère du plan est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
malou Webmaster
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1454 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !