Fiche de mathématiques
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Fonctions composées et leurs ensembles de définition

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I. Généralités

Lorsqu'on a deux fonctions f et g, la fonction g o f (lire "g rond f") est la fonction définie par g o f(x) = g[f(x)].


Exemple :
On prend :
f(x) = x + 3
g(x) = 2x - 5
Donc :
g o f (x) = g [ f(x) ] = g(x + 3) = 2(x + 3) - 5 = 2x + 6 - 5 = 2x + 1
g o f (1) = g [ f(1) ] = g(4) = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3

Attention : f o g est très souvent différent de g o f


II. Ensembles de définition

Dans une fonction composée, une des "sous fonctions" peut être définie dans un ensemble différent de \mathbb{R}, dans ce cas, cela se répercute sur toute la fonction composée, il faut donc faire très attention...


Exemple :
f(x) = x² \longrightarrow Df = \mathbb{R}
g(x) = 2x - 1 \longrightarrow Dg = \mathbb{R}
h(x) = 1 / x \longrightarrow Dh = \mathbb{R}^{*} = \mathbb{R}-\lbrace0\rbrace

Pour h o f o g (x) :
Métaphore à l'aide d'un aéroport pour un voyage en deux escales...
Au départ du voyage (la composée), tous les voyageurs (\mathbb{R}) se présentent à l'aéroport g et tous sont acceptés (car Dg = \mathbb{R}), à l'aéroport f, tout le monde embarque, mais à l'aéroport h le voyageur 0 est refusé…
Seulement au début de la composée, donc à g, le 0 de l'aéroport h, n'était pas 0 au départ de la composée car entre temps il a été changé par les voyages précédents (par les autres fonctions), donc pour trouver la véritable valeur à exclure de l'ensemble de définition de la composée, il faut remonter la composée à partir de h avec la valeur 0.
Si il y a 0 à h, cela veut dire qu'il a été fabriqué à partir de la fonction f et d'une valeur de départ, pour la trouver, puis ensuite faire de même avec la fonction g :
f(x) = x² \longrightarrow x² = 0 \longrightarrow x = 0 donc au départ de f, c'est la valeur 0 qui a donné le 0 de h.
g(x) = 2x - 1 \longrightarrow 2x - 1 = 0 \longrightarrow x = 1/2 donc au départ de la composée, c'est la valeur 1/2 qu'il faut directement exclure pour ne pas tomber sur une valeur interdite pendant le "voyage".
Donc l'ensemble de définition de la composée est : Dhofog = \mathbb{R}-\left\lbrace\dfrac{1}{2}\right\rbrace.
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