Pour les fonctions suivantes :
Donner le domaine de définition
Écrire comme composée de fonctions de référence.
Dresser le tableau de variations de Tracer la courbe représentative de dans un plan muni d'un repère orthogonal
1.
2.
3.
4.
5.
exercice 2
1. Soient et les fonctions définies sur ]2;+[ respectivement par :
et a) Montrer que, pour tout de ]2;+[, .
b) On pose . Expliciter .
2. Soit la fonction définie sur ]2;+[ par : Résoudre, dans ]2;+[, l'inéquation .
3. a) Déterminer la fonction .
b) Démontrer que, pour tout nombre réel : .
c) Résoudre dans ]2;+[,l'équation .
1. Domaine de définition : En posant et on a On sait que quand deux fonctions ont même sens de variation, leur composée est croissante, et quand elles sont de sens opposé, leur composée est décroissante.
La fonction est toujours croissante. Sur l'intervalle ]-;0[ la fonction est décroissante, donc est décroissante. Sur l'intervalle ]0;+[ la fonction est croissante, donc la fonction est croissante.
2. Domaine de définition : Je mets sous forme canonique : En posant , et , on a Les fonctions et sont toujours croissantes. Sur l'intervalle ]-;-1[ la fonction est décroissante, donc est décroissante. Sur l'intervalle ]-1;+[ la fonction est croissante, donc la fonction est croissante.
3. Domaine de définition : En posant et on a Les fonctions et sont toujours décroissantes. Donc sur l'intervalle ]-;-1[ la fonction est décroissante et sur l'intervalle ]-1;+[ la fonction est également décroissante.
4. Domaine de définition : En posant , et on a La fonction est toujours croissante, et la fonction est toujours décroissante. La fonction est décroissante sur l'intervalle ]-;0[ donc la fonction sera croissante sur cet intervalle. La fonction est croissante sur l'intervalle ]0;+[ donc la fonction sera décroissante sur cet intervalle.
5. Domaine de définition : En posant , et on a La fonction est toujours croissante, et la fonction est toujours décroissante. La fonction est décroissante sur l'intervalle ]-;+1[ donc la fonction sera croissante sur cet intervalle. La fonction est croissante sur l'intervalle ]+1;+[ donc la fonction sera décroissante sur cet intervalle.
exercice 2
1. a) Je montre que, pour tout x de ]2;+[, .
Je cherche les racines du polynôme par la méthode du discriminant.
= 9 il y a donc deux racines = -2 et = 1
Le polynôme sera du signe de c'est à dire > 0 à l'extérieur des racines.
Donc pour tout x de ]2;+[, et donc .
1. b) On pose et donc
2. Soit la fonction définie sur ]2;+[ par : Je résous, dans ]2;+[, l'inéquation Je fais un tableau pour étudier le signe de
Je constate que pour .
En conséquence donc dans ]2;+[, l'inéquation n'a pas de solution.
3. a) Je détermine la fonction et Avec les deux racines obtenues plus haut, je factorise en
3. b) Je montre que pour tout réel : Je développe l'expression
3. c) Je résous dans ]2;+[ l'équation J'utilise le résultat de b) pour factoriser Je factorise en cherchant les racines par la méthode du discriminant :
il y a deux racines et Je factorise en donc a pour solutions dans avec et Par contre, dans l'intervalle ]2;+[ l'équation n'a pas de solution.
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comme composée de fonctions de référence.
 = x^2 + 1)
 = x^2 + 2x)
 = \dfrac{-1}{x+1})
 = \dfrac{1}{x^2+1})
 = \dfrac{1}{(x-1)^2})
et 
les fonctions définies sur ]2;+
[ respectivement par :
 = x^2+x)
et  = \dfrac{x}{x-2})
de ]2;+
.
. Expliciter )
.
la fonction définie sur ]2;+ = \dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x})
 \le 1)
.
.
 (6x^2 + x - 5))
.
(x) = 0)
.
 = x^2)
et  = x + 1)
on a  = h \circ g(x))
est toujours croissante. Sur l'intervalle ]-
est décroissante. Sur l'intervalle ]0;+= x^2+1 & \niveau{2}{2} +\infty & \decroit & \niveau{1}{2} +1 & \croit & \niveau{2}{2} +\infty \\ \hline \end{tabvar})
sous forme canonique :  = (x + 1)^2 - 1)
 = x - 1)
, on a  = j \circ g \circ h(x))
sont toujours croissantes. Sur l'intervalle ]-
est décroissante. Sur l'intervalle ]-1;+= x^2+2x & \niveau{2}{2} +\infty & \decroit & \niveau{1}{2} -1 & \croit & \niveau{2}{2} +\infty \\ \hline \end{tabvar})
 = -x -1)
et  = \dfrac{1}{x})
on a  = i \circ g(x))
sont toujours décroissantes. Donc sur l'intervalle ]-
est décroissante et sur l'intervalle ]-1;+= \dfrac{-1}{x+1} & \niveau{1}{2} 0^{+} & \croit & \niveau{2}{2} +\infty & \dbarre & \niveau{1}{2} -\infty & \croit & \niveau{2}{2} 0^{-} \\ \hline \end{tabvar})
 = i \circ h \circ g(x))
sera croissante sur cet intervalle. La fonction = \dfrac{1}{x^2+1} & \niveau{1}{2} 0^{+} & \croit & \niveau{2}{2} +1 & \decroit & \niveau{1}{2} 0^{+} \\ \hline \end{tabvar})
 = x - 1)
,  = i \circ g \circ h(x))
= \dfrac{-1}{x+1} & \niveau{1}{2} 0^{+} & \croit & \niveau{2}{2} +\infty & \dbarre & \niveau{2}{2} +\infty & \decroit & \niveau{1}{2} 0^{+} \\ \hline \end{tabvar})
.
par la méthode du discriminant.
= 9 il y a donc deux racines 
= -2 et 
= 1
c'est à dire > 0 à l'extérieur des racines.
et donc  = v \circ u(x) = v(x^2+x) = \dfrac{x^2+x}{x^2+x-2})
} \le 0)
})
 = \dfrac{7x+10}{3x(x+2)} & &-&\dbarre&+&0&-&\dbarre&+& \\ \hline\end{array})
} \le 0)
pour ![x \in \left]-\infty;-2\right[\cup\left[\dfrac{-10}{7};0\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \in \left]-\infty;-2\right[\cup\left[\dfrac{-10}{7};0\right[)
.
 = \dfrac{x^2+x}{x^2+x-2})
et (x+2))
(x) = \dfrac{x^2+x}{(x-1)(x+2)} + \dfrac{3x^2+13x+10}{3x(x+2)} = \dfrac{3x(x^2+x)+(x-1)(3x^2+13x+10)}{3x(x+2)(x-1)} = \dfrac{6x^3+13x^2-3x-10}{3x(x+2)(x-1)})
(6x^2 + x - 5))
(6x^2 + x - 5) = 6x^3 + x^2 - 5x + 12x^2 + 2x - 10 = 6x^3 + 13x^2 - 3x - 10)
(x-1)} = \dfrac{(x+2)(6x^2+x-5)}{3x(x+2)(x-1)})
en cherchant les racines par la méthode du discriminant :
il y a deux racines 
et 
\left(x + 1\right))
(x) = \dfrac{6(x+2)(x-\frac{5}{6})(x+1)}{3x(x+2)(x-1)} = \dfrac{2(x-\frac{5}{6})(x+1)}{x(x-1)})
avec 
et 
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