Fiche de mathématiques
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Compléments sur les fonctions

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exercice 1

Pour les fonctions suivantes :
Donner le domaine de définition
Écrire f comme composée de fonctions de référence.
Dresser le tableau de variations de f
Tracer la courbe représentative de f dans un plan muni d'un repère orthogonal

1. f(x) = x^2 + 1

2. f(x) = x^2 + 2x

3. f(x) = \dfrac{-1}{x+1}

4. f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}

5. f(x) = \dfrac{1}{(x-1)^2}




exercice 2

1. Soient u et v les fonctions définies sur ]2;+\infty[ respectivement par :
u(x) = x^2+x et v(x) = \dfrac{x}{x-2}
    a) Montrer que, pour tout x de ]2;+\infty[, x^2 + x > 2.
    b) On pose f = v \circ u. Expliciter f(x).

2. Soit g la fonction définie sur ]2;+\infty[ par : g(x) = \dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x}
Résoudre, dans ]2;+\infty[, l'inéquation g(x) \le 1.

3. a) Déterminer la fonction f + g.
    b) Démontrer que, pour tout nombre réel x : 6x^3 + 13x^2 - 3x - 10 = (x + 2) (6x^2 + x - 5).
    c) Résoudre dans ]2;+\infty[,l'équation (f + g)(x) = 0.



exercice 1

1. f(x) = x^2 + 1
Domaine de définition : \mathbb{R}
En posant g(x) = x^2 et h(x) = x + 1 on a f(x) = h \circ g(x)
On sait que quand deux fonctions ont même sens de variation, leur composée est croissante, et quand elles sont de sens opposé, leur composée est décroissante.
La fonction h est toujours croissante. Sur l'intervalle ]-\infty;0[ la fonction g est décroissante, donc h \circ g est décroissante. Sur l'intervalle ]0;+\infty[ la fonction g est croissante, donc la fonction h \circ g est croissante.
\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -\infty &  & 0 & & +\infty \\ \hline f(x)= x^2+1 & \niveau{2}{2} +\infty & \decroit & \niveau{1}{2} +1 & \croit & \niveau{2}{2} +\infty \\ \hline \end{tabvar}


deux exercices sur la composition de fonctions - première : image 7


2. f(x) = x^2 + 2x
Domaine de définition : \mathbb{R}
Je mets x^2 + 2x sous forme canonique : f(x) = (x + 1)^2 - 1
En posant g(x) = x^2, h(x) = x + 1 et j(x) = x - 1, on a f(x) = j \circ g \circ h(x)
Les fonctions h et j sont toujours croissantes. Sur l'intervalle ]-\infty;-1[ la fonction g est décroissante, donc j \circ g \circ h est décroissante. Sur l'intervalle ]-1;+\infty[ la fonction g est croissante, donc la fonction j \circ g \circ h est croissante.
\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -\infty &  & -1 & & +\infty \\ \hline f(x)= x^2+2x & \niveau{2}{2} +\infty & \decroit & \niveau{1}{2} -1 & \croit & \niveau{2}{2} +\infty \\ \hline \end{tabvar}


deux exercices sur la composition de fonctions - première : image 8


3. f(x) = \dfrac{-1}{x+1}
Domaine de définition : \mathbb{R}-\lbrace -1 \rbrace
En posant g(x) = -x -1 et i(x) = \dfrac{1}{x} on a f(x) = i \circ g(x)
Les fonctions g et i sont toujours décroissantes. Donc sur l'intervalle ]-\infty;-1[ la fonction i o g est décroissante et sur l'intervalle ]-1;+\infty[ la fonction i o g est également décroissante.
\begin{tabvar}{|c|CCCCCCC|} \hline x & -\infty &  & & -1 & & & +\infty \\ \hline f(x)= \dfrac{-1}{x+1} & \niveau{1}{2} 0^{+} & \croit & \niveau{2}{2} +\infty & \dbarre & \niveau{1}{2} -\infty & \croit & \niveau{2}{2} 0^{-} \\ \hline \end{tabvar}


deux exercices sur la composition de fonctions - première : image 9


4. f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}
Domaine de définition : \mathbb{R}
En posant g(x) = x^2, h(x) = x + 1 et i(x) = \dfrac{1}{x} on a f(x) = i \circ h \circ g(x)
La fonction h est toujours croissante, et la fonction i est toujours décroissante. La fonction g est décroissante sur l'intervalle ]-\infty;0[ donc la fonction i \circ h \circ g sera croissante sur cet intervalle. La fonction g est croissante sur l'intervalle ]0;+\infty[ donc la fonction i \circ h \circ g sera décroissante sur cet intervalle.
\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -\infty &  & 0 & & +\infty \\ \hline f(x)= \dfrac{1}{x^2+1} & \niveau{1}{2} 0^{+} & \croit & \niveau{2}{2} +1 & \decroit & \niveau{1}{2} 0^{+} \\ \hline \end{tabvar}


deux exercices sur la composition de fonctions - première : image 10



5. f(x) = \dfrac{1}{(x-1)^2}
Domaine de définition : \mathbb{R}-\lbrace 1 \rbrace
En posant h(x) = x - 1, g(x) = x^2 et i(x) = \dfrac{1}{x} on a f(x) = i \circ g \circ h(x)
La fonction h est toujours croissante, et la fonction i est toujours décroissante. La fonction g est décroissante sur l'intervalle ]-\infty;+1[ donc la fonction i \circ h \circ g sera croissante sur cet intervalle. La fonction g est croissante sur l'intervalle ]+1;+\infty[ donc la fonction i \circ h \circ g sera décroissante sur cet intervalle.
\begin{tabvar}{|c|CCCCCCC|} \hline x & -\infty &  & & +1 & & & +\infty \\ \hline f(x)= \dfrac{-1}{x+1} & \niveau{1}{2} 0^{+} & \croit & \niveau{2}{2} +\infty & \dbarre & \niveau{2}{2} +\infty & \decroit & \niveau{1}{2} 0^{+} \\ \hline \end{tabvar}


deux exercices sur la composition de fonctions - première : image 11





exercice 2

1. a) Je montre que, pour tout x de ]2;+\infty[, x^2+x > 2.
x^2 + x > 2 \Longleftrightarrow  x^2 + x - 2 > 0
Je cherche les racines du polynôme x^2 + x - 2 par la méthode du discriminant.
\Delta = 9 il y a donc deux racines x_1 = -2 et x_2 = 1
Le polynôme x^2 + x - 2 sera du signe de a c'est à dire > 0 à l'extérieur des racines.
Donc pour tout x de ]2;+\infty[, x^2 + x - 2 > 0 et donc x^2 + x > 2.

1. b) On pose f = v \circ u
u(x) = x^2+x et v(x) = \dfrac{x}{x-2} donc f(x) = v \circ u(x) = v(x^2+x) = \dfrac{x^2+x}{x^2+x-2}

2. Soit g la fonction définie sur ]2;+\infty[ par : g(x) = \dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x}
Je résous, dans ]2;+\infty[, l'inéquation g(x) \le 1
\dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x} \le 1 \Longleftrightarrow \dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x} - 1 \le 0
\dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x} - \dfrac{3x^2+6x}{3x^2+6x} \le 0
\dfrac{7x+10}{3x^2+6x} \le 0 \Longleftrightarrow \dfrac{7x+10}{3x(x+2)} \le 0
Je fais un tableau pour étudier le signe de \dfrac{7x+10}{3x(x+2)}
\rm\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline{x}&-\infty& &-2& & \dfrac{-10}{7}& &0&  &+\infty \\ \hline 7x+10& &-& &-&0&+& &+&\\ \hline x& &-& &-& &-&0&+&\\ \hline x+2& &-&0&+& &+& &+&\\ \hline f(x) = \dfrac{7x+10}{3x(x+2)} & &-&\dbarre&+&0&-&\dbarre&+& \\ \hline\end{array}

Je constate que \dfrac{7x+10}{3x(x+2)} \le 0 pour x \in \left]-\infty;-2\right[\cup\left[\dfrac{-10}{7};0\right[.
En conséquence donc dans ]2;+\infty[, l'inéquation g(x) \le 1 n'a pas de solution.

3. a) Je détermine la fonction f + g
f(x) = \dfrac{x^2+x}{x^2+x-2} et g(x) = \dfrac{3x^2+13x+10}{3x^2+6x}
Avec les deux racines obtenues plus haut, je factorise x^2 + x - 2 en (x-1)(x+2)
(f + g)(x) =  \dfrac{x^2+x}{(x-1)(x+2)} + \dfrac{3x^2+13x+10}{3x(x+2)} = \dfrac{3x(x^2+x)+(x-1)(3x^2+13x+10)}{3x(x+2)(x-1)} = \dfrac{6x^3+13x^2-3x-10}{3x(x+2)(x-1)}

3. b) Je montre que pour tout réel x : 6x^3 + 13x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(6x^2 + x - 5)
Je développe l'expression (x + 2)(6x^2 + x - 5) = 6x^3 + x^2 - 5x + 12x^2 + 2x - 10 = 6x^3 + 13x^2 - 3x - 10

3. c) Je résous dans ]2;+\infty[ l'équation (f + g)(x) = 0
J'utilise le résultat de b) pour factoriser \dfrac{6x^3+12x^2-3x-10}{3x(x+2)(x-1)} = \dfrac{(x+2)(6x^2+x-5)}{3x(x+2)(x-1)}
Je factorise 6x^2 + x - 5 en cherchant les racines par la méthode du discriminant :
\Delta = 121 il y a deux racines x_1 = \dfrac{5}{6} et x_2 = -1
Je factorise 6x^2 + x - 5 en 6\left(x - \dfrac{5}{6}\right)\left(x + 1\right)
donc (f + g)(x) = \dfrac{6(x+2)(x-\frac{5}{6})(x+1)}{3x(x+2)(x-1)} = \dfrac{2(x-\frac{5}{6})(x+1)}{x(x-1)}
(f + g)(x) = 0 a pour solutions dans \mathbb{R} x=\left\lbrace -1 ; \dfrac{5}{6} \right\rbrace avec x \ne 0 et x \ne 1
Par contre, dans l'intervalle ]2;+\infty[ l'équation (f + g)(x) = 0 n'a pas de solution.
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