Fiche de mathématiques
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Fonctions

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exercice 1

P est un polynôme de degré supérieur ou égal à deux dont \beta est une racine double.
Montrer que \beta est aussi une racine de P'.



exercice 2

f et g sont deux fonctions définies sur \mathbb{R}. Elles sont toutes deux décroissantes sur \mathbb{R}.
Quel est le sens de variations de g \circ f ?



exercice 1

P est un polynôme de degré supérieur ou égal à deux dont \beta est une racine double, donc il existe un polynôme Q de degré supérieur ou égal à 0 tel que : P(x) = Q(x)(x - \beta)^2.
Dérivons le polynôme P :
P'(x) = Q'(x)(x - \beta)^2 + 2Q(x)(x - \beta)\\ P'(x) = (x - \beta)(Q'(x)(x - \beta) + 2Q(x))
Et on a bien : P'(\beta) = (\beta - \beta)(Q'(\beta)(\beta - \beta) + 2Q(\beta)) = 0
On en conclut que \beta est aussi une racine de P'.



exercice 2

Soient a et b deux réels tels que a < b. On a :
(g \circ f)(a) - (g \circ f)(b) = g\left(f(a)\right) - g\left(f(b)\right)
Or, f est décroissante sur \mathbb{R}, donc pour tous réels a et b tels que a < b, f(a) > f(b).
La fonction g est aussi décrossante sur \mathbb{R}, donc pour tous réels f(a) et f(b) tels que f(a) > f(b), (g \circ f)(a) - (g \circ f)(b) < 0
D'où : a < b entraîne (g \circ f)(a) - (g \circ f)(b) < 0 : la fonction (g \circ f) est donc croissante sur \mathbb{R}.
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