) est une suite arithmétique de raison r.
= 7, r = 2.
.
= 0.
.
.
) est une suite géométrique de raison q.
= 3 et q = -2.
.
= 18.
= 20.
Déterminer quatre termes consécutifs d'une suite arithmétique sachant que leur somme est 12 et la somme de leurs carrés est 116.
Une suite géométrique v est croissante et ses termes sont strictement négatifs.
Justifier que la raison b de la suite est telle que 0 < b < 1.
.
Calculer les sommes S et S'.
S = 2 + 6 + 18 + ... + 118 098
Au cours d'une bourse aux livres, un manuel scolaire perd chaque année 12% de sa valeur. Un livre a été acheté neuf en 1985, il coûtait alors 150F. Quel est son prix à la bourse aux livres de 1990 ? de 1995 ?
exercice 1
Rappels :
Si (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r, alors pour tout entier naturel n, un = u0 + nr.
Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous entiers naturels n et p, un = up + (n-p)r
1. On a :
u
5 = u
1 + (5 - 1)r, donc u
1 = u
5 - 4r = 7 - 4 × 2 = 7 - 8 = -1
Donc :
u1 = -1
u
25 = u
5 + (25 - 5)r = 7 + 20 × 2 = 7 + 40 = 47
Donc :
u25 = 47
u
100 = u
5 + (100 - 5)r = 7 + 95 × 2 = 7 + 190 = 197
Donc :
u100 = 197
2. On a :
u
8 = u
3 + (8 - 3)r = u
3 + 5r, donc : 0 = 12 + 5r
soit :
r =
u
3 = u
0 + 3r, donc u
0 = u
3 - 3r = 12 - 3 ×
Donc :
u0 =
u
18 = u
0 + 18r =
Donc :
u18 = -24
3. On a :
u
7 = u
0 + 7r, donc
De plus, u
13 = u
0 + 13r, donc u
13 = u
0 + 13 ×

, donc :
7u
13 = 7u
0 + 13(u
7 - u
0)
7u
13 = 7 u
0 + 13u
7 - 13u
0
7u
13 = -6u
0 + 13u
7
Donc :
u0 = 0
exercice 2
Rappels :
Si (un) est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, alors pour tout entier naturel n, un = u0qn
Si (un) est une suite géométrique de raison q, alors pour tous entiers naturels n et p, un = up qn-p
1. On a :
u
4 = u
1 q
4 - 1 = u
1 q
3 = 3 × (-2)
3 = 3 × (-8) = -24
Donc :
u4 = -24
u
8 = u
1 q
8 - 1 = u
1 q
7 = 3 × (-2)
7 = 3 × (-128) = -384
Donc :
u8 = -384
u
12 = u
1 q
12 - 1 = u
1 q
11 = 3 × (-2)
11 = 3 × (-2 048) = -6 144
Donc :
u12 = -6 144
2. Déterminons q :
u
7 = u
3 q
4, donc

.
Donc q² = 3. On a alors deux possibilités pour la raison q :

.
Si

, alors :
u
3 = u
0 q
3, donc u
0 =
u
15 = u
0 q
15 =
= 2 × 3
6 = 1 458
u
20 = u
0 q
20 =
Donc : si

, alors

, u
15 = 1 458 et
Si

, alors :
u
3 = u
0 q
3, donc u
0 =
u
15 = u
0 q
15 =
= 2 × 3
6 = 1 458
u
20 = u
0 q
20 =
Donc : si

, alors

, u
15 = 1 458 et
exercice 3
(u
n) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u
0, donc :
u
2 = u
0 + 2r, u
3 = u
0 + 3r, u
4 = u
0 + 4r et u
6 = u
0 + 6r.
On obtient alors le système suivant :

D'où : u
0 = -10 et r = 5.
Pour tout entier naturel n, u
n = -10 + 5n.
exercice 4
Déterminons sept nombres impairs consécutifs dont la somme est 73 :
La suite des impairs peut être notée: u
n = 2n + 1, pour tout entier n.
On cherche donc l'entier p (et u
p) tel que : u
p + u
p+1 + u
p+2 + u
p+3 + ... + u
p+6 = 7
3 = 343.
Or, u
p + u
p+1 + u
p+2 + ... + u
p+6 = (2p + 1) + (2p + 3) + ... + (2p + 13) = 7 × 2p + (1 + 3 + 5 + ... + 13.
Or, 1 + 3 + 5 + ... + 13 = 7
)
= 49, somme des 7 premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.
Ainsi : 14p + 49 = 7
3 = 343 , soit p = 21; puis u
p = 43.
D'où : les sept nombres recherchés sont : 43, 45, 47, 49, 51, 53 et 55.
exercice 5
![S_n = u_3 + ... + u_n = (n-2) \left[u_3 + \dfrac{(n-3)r}{2} \right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S_n = u_3 + ... + u_n = (n-2) \left[u_3 + \dfrac{(n-3)r}{2} \right])
, u
3 = 2 + 3 × 5 = 17
On cherche donc n tel que :
 \left(17 + \dfrac{5(n-3)}{2} \right) = 6456)
; soit encore : (n - 2)(5n + 19) = 12 912. Il faut donc trouver les racines du polynôme 5n² + 9n - 12950 = 0 :

qui n'est pas un entier ! et
exercice 6
Soit (u
n) une telle suite de premier terme u
0 et de raison r.
Il existe k tel que :

et
Or :

et
Or 4u
k + 6r = 12 donc 2u
k + 3r = 6
Ainsi : 6² + 5r² = 116
Soit :
Puis 2u
k + 3r = 6 donc u
k = -3 ou u
k = 9
Ainsi : -3 , 1 , 5 , 9 conviennent ainsi que : 9 , 5 , 1 , -3.
exercice 7
Si (v
n) est une suite géométrique de premier terme v
0 et de raison b, alors pour tout entier n : v
n = v
0b
n.
1. Si (v
n) est croissante et ses termes sont strictement négatifs alors

, c'est-à-dire 0 < b < 1.
2. v
1v
3 = v
12 b
2 et

; 1 - b
3 = (1 - b)(1 + b + b²)
On obtient donc le système :
 & -\dfrac{19}{9} \\ \end{array} \right.)
soit encore :
Soit 6b² + 25b + 6 = 0 ou 6b² - 13b + 6 = 0
La première équation a deux solutions négatives (cf première questions)
Donc

.
v
1 = -1 ; v
2 =

; v
3 =

.
exercice 8
S = 2 + 6 + 18 + ... + 118 098
S est la somme des premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3.
u
0 = 2 ; u
1 = 2 × 3 ; u
2 = 2 × 3² ... 118 098 = 2 × 59 049 = 2 × 3
10.

.
S' est la somme des premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 2 et de raison

.
De plus : 59049 = 3
10. Donc
^{11}}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{177~146}{59~049})
.
exercice 9
En 1985 le prix du livre est u
0 = 150. En 1986 il vaut : u
1 = 150 × 0,88, ... ; en 1990 (donc 5 ans après), il vaut : u
5 = 150 × 0,88
5 = 79,2 F.
Et en 1995, il ne vaut plus que : u
10 = 150 × 0,88
10 = 41,8 F.