Fiche de mathématiques
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Les Suites : 9 Exercices

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exercice 1

La suite (un) est une suite arithmétique de raison r.
1. On donne : u5 = 7, r = 2.
Calculer u1, u25 et u100.
2. On donne : u3 = 12, u8 = 0.
Calculer r, u0 et u18.
3. On donne : u7 = \dfrac{7}{2}, u13 = \dfrac{13}{2}.
Calculer u0.



exercice 2

La suite (un) est une suite géométrique de raison q.
1. On donne : u1 = 3 et q = -2.
Calculer u4, u8 et u12.
2. On donne u3 = 2 et u7 = 18.
Calculer u0, u15 et u20.



exercice 3

(un) est une suite arithmétique telle que u2 + u3 + u4 = 15 et u6 = 20.
Calculer son premier terme u0 et sa raison r.



exercice 4

Déterminer sept nombres impairs consécutifs dont la somme est 73.



exercice 5

Une suite arithmétique u de raison 5 est telle que u0 = 2 et, n étant un nombre entier, \displaystyle \sum_{i = 3}^{i = n} u_i = 6456
Calculer n.



exercice 6

Déterminer quatre termes consécutifs d'une suite arithmétique sachant que leur somme est 12 et la somme de leurs carrés est 116.



exercice 7

Une suite géométrique v est croissante et ses termes sont strictement négatifs.
1. Justifier que la raison b de la suite est telle que 0 < b < 1.
2. On suppose que v_1 v_3 = \dfrac{4}{9} et v_1 + v_2 + v_3 = -\dfrac{19}{9}.
Calculer v1, v2, v3 et b.



exercice 8

Calculer les sommes S et S'.
S = 2 + 6 + 18 + ... + 118 098
S' = 2 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} + \cdots + \dfrac{2}{59049}



exercice 9

Au cours d'une bourse aux livres, un manuel scolaire perd chaque année 12% de sa valeur. Un livre a été acheté neuf en 1985, il coûtait alors 150F. Quel est son prix à la bourse aux livres de 1990 ? de 1995 ?






exercice 1

Rappels :
Si (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r, alors pour tout entier naturel n, un = u0 + nr.
Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous entiers naturels n et p, un = up + (n-p)r


1. On a :
u5 = u1 + (5 - 1)r, donc u1 = u5 - 4r = 7 - 4 × 2 = 7 - 8 = -1
Donc : u1 = -1

u25 = u5 + (25 - 5)r = 7 + 20 × 2 = 7 + 40 = 47
Donc : u25 = 47

u100 = u5 + (100 - 5)r = 7 + 95 × 2 = 7 + 190 = 197
Donc : u100 = 197

2. On a :
u8 = u3 + (8 - 3)r = u3 + 5r, donc : 0 = 12 + 5r
soit : r = -\dfrac{12}{5}

u3 = u0 + 3r, donc u0 = u3 - 3r = 12 - 3 × -\dfrac{12}{5} = \dfrac{60}{5} + \dfrac{36}{5} = \dfrac{96}{5}
Donc : u0 = \dfrac{96}{5}

u18 = u0 + 18r = \dfrac{96}{5} + 18 \times \left(-\dfrac{12}{5}\right) = \dfrac{96}{5} - \dfrac{216}{5} = -\dfrac{120}{5} = -24
Donc : u18 = -24

3. On a :
u7 = u0 + 7r, donc r = \dfrac{u_7 - u_0}{7}
De plus, u13 = u0 + 13r, donc u13 = u0 + 13 × \dfrac{u_7 - u_0}{7}, donc :
7u13 = 7u0 + 13(u7 - u0)
7u13 = 7 u0 + 13u7 - 13u0
7u13 = -6u0 + 13u7
u_0 = \dfrac{7u_{13} - 13u_7}{-6} = \dfrac{7 \times \frac{13}{2} - 13 \times \dfrac72}{-6}
Donc : u0 = 0



exercice 2

Rappels :
Si (un) est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, alors pour tout entier naturel n, un = u0qn
Si (un) est une suite géométrique de raison q, alors pour tous entiers naturels n et p, un = up qn-p


1. On a :
u4 = u1 q4 - 1 = u1 q3 = 3 × (-2)3 = 3 × (-8) = -24
Donc : u4 = -24

u8 = u1 q8 - 1 = u1 q7 = 3 × (-2)7 = 3 × (-128) = -384
Donc : u8 = -384

u12 = u1 q12 - 1 = u1 q11 = 3 × (-2)11 = 3 × (-2 048) = -6 144
Donc : u12 = -6 144

2. Déterminons q :
u7 = u3 q4, donc q^4 = \dfrac{u_7}{u_3} = \dfrac{18}{2} = 9.
Donc q² = 3. On a alors deux possibilités pour la raison q : q = -\sqrt{3} \text{ ou } q = \sqrt{3}.

Si q = -\sqrt{3}, alors :
u3 = u0 q3, donc u0 = \dfrac{u_3}{q^3} = \dfrac{2}{\left(-\sqrt{3}\right)^3}
u_0 = - \dfrac{2}{3\sqrt{3}} = - \dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = - \dfrac{2\sqrt{3}}{9}
u15 = u0 q15 = - \dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times \left(-\sqrt{3}\right)^{15} = -\dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times 3^7 \times \left(-\sqrt{3}\right)^{2 \times 7 + 1}
= -\dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times 3^7 \times 3^7 \times \left(-\sqrt{3}\right) \\ =  \dfrac{2 \times 3 \times 3^7}{3^2}
= 2 × 36 = 1 458

u20 = u0 q20 = -\dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times \left(-\sqrt{3}\right)^{20} = -\dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times \left(-\sqrt{3}\right)^{2 \times 10} =-\dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times 3^{10}
=-\dfrac{2\sqrt{3} \times 3^{10}}{3^2} = -2\sqrt{3} \times 3^8 = -13\,122\sqrt{3}
Donc : si q = -\sqrt{3}, alors u_0 = - \dfrac{2\sqrt{3}}{9}, u15 = 1 458 et u_{15} = - 13\,122\sqrt{3}

Si q = \sqrt{3}, alors :
u3 = u0 q3, donc u0 = \dfrac{u_3}{q^3} = \dfrac{2}{\left(\sqrt{3}\right)^3}  = \dfrac{2}{3\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{9}
u15 = u0 q15 = \dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times \left(\sqrt{3}\right)^{15} = \dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times 3^7 \times \left(\sqrt{3}\right)^{2 \times 7 + 1}
= \dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times 3^7 \times 3^7 \times \sqrt{3}\\ =  \dfrac{2 \times 3 \times 3^7}{3^2}
= 2 × 36 = 1 458

u20 = u0 q20 = \dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times \left(\sqrt{3}\right)^{20} = \dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times \left(\sqrt{3}\right)^{2 \times 10} = \dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times 3^{10}
=\dfrac{2\sqrt{3} \times 3^{10}}{3^2} = 2\sqrt{3} \times 3^8 = 13\,122\sqrt{3}
Donc : si q = \sqrt{3}, alors u_0 = \dfrac{2\sqrt{3}}{9}, u15 = 1 458 et u_{15} = 13\,122\sqrt{3}



exercice 3

(un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0, donc :
u2 = u0 + 2r, u3 = u0 + 3r, u4 = u0 + 4r et u6 = u0 + 6r.
On obtient alors le système suivant :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} u_2 + u_3 + u_4  &  15\\ u_6 & 20 \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} 3u_0 + 9r = 15 \\ u_0 + 6r  =  20 \\ \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} u_0 + 3r  &  5\\u_0 + 6r & 20 \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} u_0 = 5 - 3r  \\ u_0  =  20 - 6r \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} u_0  &  5 - 3r\\5 - 3r & 20 - 6r \\ \end{array} \right.   \Longleftrightarrow   \left \lbrace \begin{array}{l} u_0 = 5 - 3r  \\  r  =  5 \\ \end{array} \right.  \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} u_0  &  -10  \\ r  &  5\right. \\ \end{array} \right.
D'où : u0 = -10 et r = 5.
Pour tout entier naturel n, un = -10 + 5n.



exercice 4

Déterminons sept nombres impairs consécutifs dont la somme est 73 :
La suite des impairs peut être notée: un = 2n + 1, pour tout entier n.
On cherche donc l'entier p (et up) tel que : up + up+1 + up+2 + up+3 + ... + up+6 = 73 = 343.
Or, up + up+1 + up+2 + ... + up+6 = (2p + 1) + (2p + 3) + ... + (2p + 13) = 7 × 2p + (1 + 3 + 5 + ... + 13.
Or, 1 + 3 + 5 + ... + 13 = 7\left(1 + \dfrac{6 \times 2}{2}\right) = 49, somme des 7 premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.
Ainsi : 14p + 49 = 73 = 343 , soit p = 21; puis up = 43.
D'où : les sept nombres recherchés sont : 43, 45, 47, 49, 51, 53 et 55.



exercice 5

S_n = u_3 + ... + u_n = (n-2) \left[u_3 + \dfrac{(n-3)r}{2} \right], u3 = 2 + 3 × 5 = 17
On cherche donc n tel que : (n-2) \left(17 + \dfrac{5(n-3)}{2} \right) = 6456; soit encore : (n - 2)(5n + 19) = 12 912. Il faut donc trouver les racines du polynôme 5n² + 9n - 12950 = 0 :
n_1 = \dfrac{-9 - 509}{10} = 51,8 qui n'est pas un entier ! et n_2 = \dfrac{-9+509}{10} = 50



exercice 6

Soit (un) une telle suite de premier terme u0 et de raison r.
Il existe k tel que : u_k + u_{k+1} + u_{k+2} + u_{k+3} = 12 et u_k^2 + u_{k+1}^2 + u_{k+2}^2 + u_{k+3}^2 = 116
Or : u_k + u_{k+1} + u_{k+2} + u_{k+3} = 4u_k + 6r et u_k^2 + u_{k+1}^2 + u_{k+2}^2 + u_{k+3}^2 = u_k^2 + (u_k+r)^2 + (u_k+2r)^2 + (u_k+3r)^2
u_k^2 + u_{k+1}^2 + u_{k+2}^2 + u_{k+3}^2 = 4u_k^2 + 12u_kr + 14r^2 \\ u_k^2 + u_{k+1}^2 + u _{k+2}^2 + u_{k+3}^2 = (2u_k+3r)^2 + 5r^2
Or 4uk + 6r = 12 donc 2uk + 3r = 6
Ainsi : 6² + 5r² = 116
Soit : r = \pm 4
Puis 2uk + 3r = 6 donc uk = -3 ou uk = 9
Ainsi : -3 , 1 , 5 , 9 conviennent ainsi que : 9 , 5 , 1 , -3.



exercice 7

Si (vn) est une suite géométrique de premier terme v0 et de raison b, alors pour tout entier n : vn = v0bn.

1. Si (vn) est croissante et ses termes sont strictement négatifs alors 0 < \dfrac{v_{n+1}}{v_n} < 1, c'est-à-dire 0 < b < 1.

2. v1v3 = v12 b2 et v_1 + v_2 + v_3 = v_1\dfrac{1-b^3}{1-b} ; 1 - b3 = (1 - b)(1 + b + b²)
On obtient donc le système :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c}  v_1^2 b^2 & \dfrac{4}{9} \\ v_1(1 + b + b^2) & -\dfrac{19}{9} \\ \end{array} \right. soit encore : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} {v_1b & \pm \dfrac{2}{3} \\ \pm \dfrac{2(1+b+b^2)}{3b} & -\dfrac{19}{9}} \\ \end{array} \right.
Soit 6b² + 25b + 6 = 0 ou 6b² - 13b + 6 = 0
La première équation a deux solutions négatives (cf première questions)
Donc b = \dfrac{2}{3}.
v1 = -1 ; v2 = -\dfrac{2}{3} ; v3 = -\dfrac{4}{9}.



exercice 8

S = 2 + 6 + 18 + ... + 118 098
S est la somme des premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3.
u0 = 2 ; u1 = 2 × 3 ; u2 = 2 × 3² ... 118 098 = 2 × 59 049 = 2 × 310.
S = u_0 + u_1 + ... + u_10 = u_0 \dfrac{1-3^{11}}{1-3} = 177~146.
S' = 2 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} + ... + \dfrac{2}{59049}
S' est la somme des premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 2 et de raison \dfrac{1}{3}.
De plus : 59049 = 310. Donc S' =  2\dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^{11}}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{177~146}{59~049}.



exercice 9

En 1985 le prix du livre est u0 = 150. En 1986 il vaut : u1 = 150 × 0,88, ... ; en 1990 (donc 5 ans après), il vaut : u5 = 150 × 0,885 = 79,2 F.
Et en 1995, il ne vaut plus que : u10 = 150 × 0,8810 = 41,8 F.

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