Les Suites : Fiche Méthode

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I. Monotonie

On étudie le signe de $u_{n+1} - u_{n}$ après l'avoir exprimé en fonction de $n$ .
Si $u_{n} > 0$ pour tout $n$ (et seulement dans ce cas), on peut comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 (méthode conseillée lorsque $u_{n}$ s'écrit sous forme d'un produit ou d'un quotient).

II. Suites arithmétiques

On montre que ( $u_{n}$ ) est arithmétique en calculant $u_{n+1} - u_{n}$ , et en vérifiant que cette quantité ne dépend pas de $n$ .
Pour exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , il est préférable de retenir la formule $u_{n} = u_{p} + (n - p)r$ , valable quel que soit le premier terme de la suite arithmétique.
Retenir que la somme les $n$ premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par $S_n = \text{(nombre de termes)} \times \dfrac{\text{premier terme + dernier terme}}{2}$
(tester sur une ou deux valeurs de $n$ en cas de doute).

III. Suites géométriques

On montre que ( $u_{n}$ ) est géométrique en calculant $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_{n} \neq 0$ ) et en vérifiant que cette quantité ne dépend pas de $n$ .
Retenir que : $u_{n} = u_{p} q^{n-p}$
Retenir que si $q \neq 1$ , alors : $S_n = \text{(premier terme)} \times \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$ .

IV. Limites

Si $u_{n}$ s'écrit $f(n)$ , se ramener aux théorèmes sur les limites de fonctions en + $\infty$ .
Comparer le plus souvent possible $u_{n}$ à des suites connues, grâce aux théorèmes de comparaison suivants :

Si, à partir d'un certain rang, $|u_{n}-l| \le v_{n}$ et si $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} v_{n} = 0$ ,
alors ( $u_{n}$ ) converge vers $l$ et on note : $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_{n} = l$ .

- Si, à partir d'un certain rang, $u_{n} \ge v_{n}$ et si $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} v_{n} = +\infty$ , alors $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_{n} = +\infty$ .
- Si, à partir d'un certain rang, $u_{n} \le v_{n}$ et si $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} v_{n} = -\infty$ , alors $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_{n} = -\infty$ .

et du théorème suivant :
Si, à partir d'un certain rang, $u_{n} \le v_{n} \le w_{n}$ et si :
$\displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_{n} = \lim_{n\to +\infty} w_{n} = l$ ,
alors $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} v_{n} = l$ .

Publié par Tom_Pascal le 07-07-2021

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