Fiche de mathématiques
> >

Angles orientés et trigonométrie

Partager :
Prérequis
Dans ce chapitre tu auras besoin de bien connaître ce que tu as vu en seconde sur la trigonométrie : enroulement d'une droite sur un cercle et la définition des sinus et cosinus ainsi que de savoir utiliser les vecteurs.

Enjeu
Tu as vu en seconde que plusieurs réels avaient la même image sur le cercle trigonométrique. Le but de ce chapitre est de fournir une définition des angles à partir des vecteurs en tenant compte de ce qui a été vu l'année dernière. Ce sera également l'occasion d'apprendre à résoudre des équations dans lesquelles apparaissent des sinus et cosinus.

I. Cercle trigonométrique et radian

Dans tout ce chapitre on utilisera un repère orthonormé du plan (O;I,J).

Faisons tout d'abord quelques rappels sur le chapitre de trigonométrie vu l'année dernière :

On appelle cercle trigonométrique la cercle de centre O, de rayon 1 sur lequel on définit le sens positif (direct) comme étant le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Angles orientés et trigonométrie : image 1


On enroule sur ce cercle une droite graduée en faisant correspondre à chacun des réels de la droite un point du cercle.

Si un point M du cercle est associé à un réel x, alors tous les réels de la forme x+2k\pi, où k est un entier relatif, auront également le point M comme image.

On définit ainsi une nouvelle unité d'angle :
Définition
1 radian est la mesure de l'angle \widehat{IOM} quand M est le point du cercle associé au réel 1 et on note 1 rad.

Remarque : On peut étendre cette définition à tout cercle de rayon R, en appelant radian la mesure d'un angle interceptant un arc dont la longueur est R.
Angles orientés et trigonométrie : image 2


Propriété
La mesure d'un angle en degré est proportionnelle à sa mesure en radian.

Exemple :
Angles orientés et trigonométrie : image 3

On a donc x= \frac{\frac{2\pi}{5}\times180}{\pi}=72 \text{ et }  y = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6}

II. Angle orienté

On souhaite déterminer la mesure d'un angle associé à deux vecteurs non nuls.

On considère donc deux vecteurs non nuls du plan \vec{u} et \vec{v}. On appelle A et B les points du plan tels que \vec{OA}=\vec{u} \text{ et } \vec{OB}=\vec{v} et on appelle M et N les points d'intersection des demi-droites [OA) et [OB) avec le cercle trigonométrique. Il existe deux réels x1 et x2 tels que M et N soient les images respectives de ces nombres sur le cercle trigonométrique.

On dit ainsi que l'angle orienté des deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} par (\vec{u},\vec{v})=x_2-x_1.

Cet angle est dit orienté car l'ordre dans lequel on lit les vecteurs et donc les points sur le cercle trigonométrique est important.
Angles orientés et trigonométrie : image 4


Puisque les réels x1 et x2 ne sont pas uniques, on a donc :
Définition
On définit l'angle orienté de deux vecteurs par :
(\vec{u},\vec{v})=x_2-x_1+2k\pi (où k est un entier relatif)



Remarque : On écrit aussi parfois (\vec{u},\vec{v})=x_2-x_1 modulo 2\pi. Les 2 notations ont la même signification.
On a dit que l'ordre des vecteurs était important. En effet d'après la définition on a :
(\vec{v},\vec{u})=x_1-x_2= - (\vec{u},\vec{v})


Parmi toutes les mesures d'un angle orienté, on appelle mesure principale, l'unique mesure de cet angle appartenant à ]-\pi;\pi].

Exemple : On veut déterminer la mesure principale d'un angle orienté dont la mesure est \frac{29\pi}{5}.

On appelle \alpha la mesure principale de cet angle. Il existe donc un entier relatif k tel que \frac{29\pi}{5}=\alpha+2k\pi \text{ avec } \alpha \in ]-\pi;\pi].

Or 2\pi=\frac{10\pi}{5}. Par conséquent \frac{29\pi}{5}=\alpha+3\times \frac{10\pi}{5} donc \alpha = -\frac{\pi}{5}.

Une mesure principale de \frac{29\pi}{5} est donc -\frac{\pi}{5}.

Voyons maintenant quelques propriétés sur les angles orientés :
Relation de Chasles
On considère trois vecteurs non nuls \vec{u}, \vec{v} \text{ et } \vec{w}.
On a alors : (\vec{u},\vec{v})+(\vec{v},\vec{w})=(\vec{u},\vec{w})+2k\pik est entier relatif.

Colinéarité de deux vecteurs
Deux vecteurs \vec{u}, \vec{v} sont colinéaires si, et seulement si, (\vec{u},\vec{v})=2k\pi \text{ ou }  (\vec{u},\vec{v})=\pi+2k\pi \text{ où } k est entier relatif.

Orthogonalité de deux vecteurs
Deux vecteurs \vec{u}, \vec{v} sont orthogonaux si, et seulement si, (\vec{u},\vec{v})=\frac{\pi}{2}+2k\pi \text{ ou } (\vec{u},\vec{v})=-\frac{\pi}{2}+2k\pi \text{ où } k est entier relatif.

Ces propriétés sont admises. Elles seront utilisées au gré des exercices.

Remarque : Lorsque les vecteurs sont colinéaires de même sens alors (\vec{u},\vec{v})=2k\pi (on obtient un angle nul) et lorsqu'ils sont de sens contraire alors (\vec{u},\vec{v})=\pi+2k\pi (on obtient un angle plat).

Voici des propriétés sur les angles orientés que nous allons démontrer à l'aide de la relation de Chasles :
Propriété
On considère deux vecteurs non nuls \vec{u} \text{ et } \vec{v}.
1. (\vec{v},\vec{u})=-(\vec{u},\vec{v})+2k\pi
2. (-\vec{u},\vec{v})=(\vec{u},\vec{v})+\pi+2k\pi
3. (-\vec{u},-\vec{v})=(\vec{u},\vec{v})+2k\pi
4. (\vec{u},-\vec{v})=(\vec{u},\vec{v})+\pi+2k\pi
k est entier relatif

Démonstration :
D'après la relation de Chasles :
(\vec{u},\vec{v})+(\vec{v},\vec{u})=(\vec{u},\vec{u})=0+2k\pi

Donc (\vec{v},\vec{u})=-(\vec{u},\vec{v})+2k\pi

1. D'après la relation de Chasles :
(-\vec{u},\vec{v})=(-\vec{u},\vec{u})+(\vec{u},\vec{v})+2k\pi=\pi+(\vec{u},\vec{v})+2k\pi

Donc (-\vec{u},\vec{v})=(\vec{u},\vec{v})+\pi+2k\pi

2. D'après la relation de Chasles :
(-u,-v)=(-u,u)+(u,v)+(v,-v)+2k\pi=\pi+(\vec{u},\vec{v})+\pi+2k\pi

Donc (-\vec{u},-\vec{v})=(\vec{u},\vec{v})+2k'\pi



3. D'après la relation de Chasles :
(\vec{u},-\vec{v})=(\vec{u},\vec{v})+(\vec{v},-\vec{v})+2k\pi=(\vec{u},\vec{v})+\pi+2k\pi

Donc (\vec{u},-\vec{v})=(\vec{u},\vec{v})+\pi+2k\pi

Remarque : Cette propriété peut être généralisée, pour deux réels a et b, par :
(\vec{au};\vec{bv})={(\vec{u},\vec{v})+2k\pi si a et b sont de même signe et (\vec{u},\vec{v})+\pi+2k\pi sinon


III. Cosinus et sinus d'un angle orienté


On a vu l'année dernière que pour tout point M du cercle trigonométrique associé à un réel x, on appelait cos x l'abscisse du point M et sin x son ordonnée.
Angles orientés et trigonométrie : image 5


Mais le nombre x peut être associé à une mesure d'un angle orienté (\vec{u},\vec{v}). On va donc dire que le cosinus de l'angle orienté (\vec{u},\vec{v}), noté cos (\vec{u},-\vec{v}) est égal au cosinus d'une de ses mesures en radian et que le sinus de l'angle orienté (\vec{u},-\vec{v}), noté sin (\vec{u},-\vec{v}) , est égal au sinus d'une de ses mesures en radian.

Voyons maintenant des formules de calcul de cosinus et sinus liées à des symétries axiales
Propriété
On considère un réel x
1. cos (-x) =cos(x) \text{ et } sin (-x) =-sin(x)
2. cos (\pi-x) =-cos(x) \text{ et } sin (\pi-x) =sin(x)
3. cos (\pi+x) =-cos(x) \text{ et } sin (\pi+x) =-sin(x)
4. cos (\frac{\pi}{2}-x)=sin(x)  \text{ et } sin(\frac{\pi}{2}-x)=cos(x)
5. cos (\frac{\pi}{2}+x)=-sin(x)  \text{ et } sin(\frac{\pi}{2}+x)=cos(x)



Angles orientés et trigonométrie : image 6


Les formules 1. à 4. Correspondent à des symétries selon les axes (OI), (OJ) ou la droite d'équation y=x.
La dernière formule est obtenue en remplaçant, dans la formule 4., x par -x. Ces formules permettent de trouver beaucoup de valeurs de cosinus ou sinus à partir de celles déjà connues dans le cadrant supérieur droit. Elles nous seront très utiles pour résoudre des équations trigonométriques.

Voyons comment résoudre deux types d'équations trigonométriques :

cos x = cos a
Les solutions de cette équation sont a+2k\pi et -a+2k\pi avec k entier relatif.

Exemple : cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}
On sait que cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}
Donc les solutions de l'équation sont \frac{\pi}{4}+2k\pi \text{ et } -\frac{\pi}{4}+2k\pi.
Angles orientés et trigonométrie : image 7


sin x=sin a
Les solutions de cette équation sont a+2k\pi \text{ et } \pi-a+2k\pi avec k entier relatif.
Exemple : \sin x=\dfrac{1}{2}

On sait que \sin \frac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}

Donc les solutions de l'équation sont \dfrac{\pi}{6}+2k\pi \text{ et } \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi avec k dans Z.
Angles orientés et trigonométrie : image 8
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1330 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !