Fiche de mathématiques
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Trigonométrie

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Fiche relue en 2016.
Cours de seconde
Prérequis
Dans ce chapitre tu auras besoin d'utiliser la proportionnalité et le repérage dans le plan.

Enjeu
On complètera ici tes connaissances sur les angles, et la trigonométrie en général, que tu as pu acquérir au collège. Ce chapitre est très important pour les classes de sections scientifiques puisqu'il fournit les bases des chapitres qui seront étudiés ultérieurement. Il faut bien comprendre le principe d'enroulement d'une droite sur un cercle pour ensuite être en mesure d'identifier la position du point de cette droite sur le cercle.

1 - Enroulement de la droite des réels sur un cercle


Jusqu'à présent un angle a toujours été compris entre 0 et 360°. Mais ce modèle a rapidement rencontré ses limites quand il a fallu caractériser des mouvements circulaires possédant un sens et donc nécessitant des angles négatifs.
Définition
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O;I,J), on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O, de rayon 1 pour lequel on a choisi une orientation :
Le sens positif, appelé sens direct ou trigonométrique, correspond au sens contraire des aiguilles d'une montre.
Le sens négatif, ou sens indirect, correspond au sens des aiguilles d'une montre.


Cours sur la trigonométrie : image 1


Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O;I,J) on considère le cercle trigonométrique et une droite (d), parallèle à l'axe des ordonnées passant par I. Tous les points de cette droite ont donc des coordonnées de la forme (1;x). On enroule alors cette droite autour du cercle trigonométrique, dans le sens direct pour les valeurs positives de x et dans le sens indirect pour les valeurs négatives.
Cours sur la trigonométrie : image 2


Remarque : Lorsque 0\leq x\leq 360, la longueur de l'arc de cercle \widehat{IOM} vaut x .
A chaque valeur de x correspond donc un unique point M(x) sur le cercle. Mais la réciproque n'est pas vraie : un point du cercle est atteint par une infinité de points de la droite (d) séparé les uns des autres d'un ou plusieurs tours de cercle.
Puisque le rayon du cercle trigonométrique est de 1, cela signifie que le périmètre du cercle trigonométrique est de 2\pi. Ainsi un tour de cercle a une longueur de 2\pi et pour un réel x donné, tous les réels de la forme x+2k\pi, avec k entier relatif, possède la même image sur le cercle trigonométrique.
Pour déterminer si deux réels sont associés à un même point du cercle, on va donc s'intéresser à leur différence et regarder si cette différence est un multiple de 2\pi.

Exemple : \frac{49 \pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{48\pi}{6}=8\pi=4 \times 2\pi. Par conséquent les réels \frac{49\pi}{6} et \frac{\pi}{6} sont représentés par un même point sur le cercle trigonométrique.

Voyons maintenant comment placer les points associés à un réel x donné.
On peut, par exemple, utiliser la proportionnalité pour les valeurs de x comprises entre 0 et 360.

Exemple :
On veut trouver la position du point M associé à \frac{\pi}{6}.
Angle en ° 360 ?
Réel x 2\pi \frac{\pi}{6}

Cours sur la trigonométrie : image 3


Ainsi l'angle mesure \frac{360 \times \frac{\pi}{6}}{2\pi}=30.
Il s'agit donc du point M du cercle trigonométrique tel que \widehat{IOM}=30°.
Si, en revanche, le réel x n'appartient pas à l'intervalle [0;360] et qu'il est écrit sous la forme d'une fraction de \pi, on va alors partitionner le cercle trigonométrique à l'aide du dénominateur de la fraction.

Exemple : On veut trouver la position du point M associé à \frac{-20\pi}{3}. On va donc partager chaque demi-disque en trois, puis compter, dans le sens indirect, 20 secteurs.
Cours sur la trigonométrie : image 4


Ainsi le point M est aussi associé aux réels \frac{-2\pi}{3} ; \frac{-8\pi}{3} \text{et} \frac{-14\pi}{3}

Remarque : Les nombres associés à chaque point M du cercle trigonométrique sont des angles exprimés dans une nouvelle unité : le radian.

2 - Cosinus et sinus d'un nombre réel


Tout point M, associé à un réel x, du cercle trigonométrique possède, dans le repère (O;I,J), une abscisse et une ordonnée.
Définition
On appelle cosinus du réel x, noté cos(x), l'abscisse du point M et sinus du réel x, noté sin(x), son ordonnée.

Cours sur la trigonométrie : image 5


Du fait de la définition du point M et de ses coordonnées on a :
Propriété
Pour tout réel x :
-1 \leq cos (x) \leq 1 \text{ et } -1 \leq sin (x) \leq 1

Puisque, pour tout réel x, le point M du cercle trigonométrique qui lui est associé est également associé aux réels de la forme x+2k\pi, avec k entier relatif, on a également :
Propriété
Pour tout réel x et tout entier relatif k :
cos(x+2k\pi) = cos(x) et sin (x+2k\pi) = sin(x)

Au collège, tu as vu que, pour tout angle \alpha d'un triangle rectangle compris strictement entre 0 et 90°, on avait cos² (\alpha) +sin² (\alpha) = 1.

Cette propriété reste vraie pour tous les réels x.

Il peut être utile de retenir ces valeurs :
Cours sur la trigonométrie : image 8


Et voici quelques positions sur le cercle trigonométrique qu'il est pratique de connaître.

Cours sur la trigonométrie : image 9
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