.
exercice 1
1. On sait que cos² x + sin² x = 1 pour tout réel x.
Ainsi, cos² x = 1 - sin² x.
Donc :
![\cos^2 x = 1 - \left(\dfrac13\right)^2 = \dfrac{8}{9} \text{ soit } \cos x = \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \text{ ou } \cos x = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\cos^2 x = 1 - \left(\dfrac13\right)^2 = \dfrac{8}{9} \text{ soit } \cos x = \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \text{ ou } \cos x = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3})
.
On ne peut pas en savoir plus.
2. Sachant que
![x \in \left[\dfrac{\pi}{2}; \pi\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \in \left[\dfrac{\pi}{2}; \pi\right])
, alors
![-1 \leq \cos x \leq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?-1 \leq \cos x \leq 0)
.
Donc d'après ce qui précède on peut écrire :
Puis
![\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{4})
.
exercice 2
On commence par déterminer la mesure principale de l'angle, c'est-à-dire la mesure comprise dans
1. ![\dfrac{65\pi}{4}=\dfrac{8\times 8\pi+\pi}{4}=8\times 2\pi+\dfrac{\pi}{4}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{65\pi}{4}=\dfrac{8\times 8\pi+\pi}{4}=8\times 2\pi+\dfrac{\pi}{4})
.
![\dfrac{\pi}{4}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{\pi}{4})
est la mesure principale de l'angle
![\dfrac{65\pi}{4}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{65\pi}{4})
.
Comme pour tout entier relatif
![k](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k)
;
On obtient :
2. Procédons de même.
![-\dfrac{39\pi}{4}=-\dfrac{40\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}=-10\pi +\dfrac{\pi}{4}=-5\times 2\pi +\dfrac{\pi}{4}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?-\dfrac{39\pi}{4}=-\dfrac{40\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}=-10\pi +\dfrac{\pi}{4}=-5\times 2\pi +\dfrac{\pi}{4})
.
![\dfrac{\pi}{4}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{\pi}{4})
est la mesure principale de l'angle
Par conséquent :
exercice 3
cos(-x)=cos(x) ; cos(x+
![\pi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\pi)
/2)= -sin(x) ; cos(x+
![\pi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\pi)
) = -cos(x) ; cos(x+2
![\pi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\pi)
) = cos(x) ; cos(
![\pi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\pi)
-x) =-cos(x) ; cos(
![\pi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\pi)
/2-x) = sin(x).
Calculons
![\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right))
:
![\sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4})
et
![\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right))
>0 donc:
![\cos\left(\dfrac{-325\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{325\pi}{8}\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\cos\left(\dfrac{-325\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{325\pi}{8}\right))
et
![\cos\left(\dfrac{325\pi}{8}\right)=\cos\left(20\times \left(2\pi\right)+\dfrac{5\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{5\pi}{8}\right)=-\dfrac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\cos\left(\dfrac{325\pi}{8}\right)=\cos\left(20\times \left(2\pi\right)+\dfrac{5\pi}{8}\right)=\cos\left(\dfrac{5\pi}{8}\right)=-\dfrac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2}})
.