En seconde, les repères utilisés sont souvent orthogonaux, voire orthonormés.
Toutefois, pour résoudre de nombreux problèmes de géométrie, il peut être intéressant de définir un repère du plan
adapté au contexte.
1. Repère défini par un triplet de points
Définition
Trois points distincts et non alignés O, I et J du plan forment un repère du plan, noté (O ; I, J).
3 points distincts et non alignés
suffisent à définir un repère (O; I, J) du plan
O est le point origine ; ses coordonnées sont toujours (0 ;0)
les droites (OI) et (OJ) supportent respectivement l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées
les longueurs OI et OJ sont les unités qui permettent de graduer les axes sécants : OI=OJ=1
Exemple :
1. Dans le plan, placer au hasard 3 points non alignés O, L et M.
Construire le point J, milieu du segment [OM],
et le point K milieu du segment [OL]. 2. On se place maintenant dans le repère (O; L, M). Préciser les coordonnées des points O, L, M, J et K. 3. Placer le point I tel que OJIK soit un parallélogramme,
puis préciser les coordonnées de I.
1. voir graphique 2. On trace les axes des abscisses et des ordonnées, et on note les graduations, sachant que OL=OM=1.
O(0;0) ; L(1;0) ; M(1;0) ; J(0;0.5) ; K(0.5;1)
3. Avec les pointillés de construction pour placer le point I, il est aisé d'en déduire
les coordonnées : I(0.5 ; 0.5)
Teste-toi
Soit ABCD un parallélogramme.
On munit le plan du repère (A ; B, D). 1. Déterminer les coordonnées des points A, B, C et D dans ce repère. 2. Justifier que les points M(1.5 ;0) et N(0 ;-0.5) appartiennent
respectivement aux droites (AB) et (AD);
placer ces points dans le repère. 3. Justifier que le point T( 1.5 ;-0.5) appartient à la droite (BD).
Solution
1. Dans le repère (A ; B, D)
l'axe des abscisses est supporté par la droite (AB);
l'axe des ordonnées est supporté par la droite (AD).
AB et AD sont les mesures unités de graduation des axes; d'où A(0 ;0) ; B(1 ;0) ; C(1 ;1) et D(0 ;1)
2.
L'ordonnée du point M(1.5 ;0) est nulle : M est donc situé sur l'axe des abscisses.
à retenir : quel que soit le repère choisi, l'ordonnée de tous les points
situés sur l'axe des abscisses est nulle.
L'abscisse du point N(0 ;-0.5) est nulle : N est donc situé sur l'axe des ordonnées.
à retenir : quel que soit le repère choisi,
l'abscisse de tous les points situés sur l'axe des ordonnées est nulle.
3.
Détermination de l'équation de la droite (BD) avec B(1 ;0)et D(0 ;1)
Rappel : l'équation réduite d'une droite est de la forme y = mx+p
On calcule le coefficient directeur : m = (yD - yB)/(xD- xB) = (1-0)/(0-1) = -1 d'où y = -x+p
Pour déterminer l'ordonnée à l'origine p, on peut utiliser les coordonnées du point D;
ses coordonnées vérifient l'équation : -0+p = 1, soit p=1.
L'équation réduite de la droite (BD) est donc y = -x + 1
T( 1.5 ;-0.5)
on calcule - xT+1 = -1.5 + 1 = -0.5= yT
le point T appartient à la droite (BD)
2. Repère défini par un point et 2 vecteurs non colinéaires
Définition
Un repère (ou repère cartésien) du plan est un triplet
où O est un point, et et sont deux vecteurs non colinéaires.
O(0;0) est le point origine. et
sont respectivement l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
Les normes (longueur) des vecteurs et servent de référence pour graduer les axes sécants :
et on écrit
--> Remarque : se lit norme du vecteur , qui dans le cas présent
vaut 1.
Exemple :
Le plan est muni du repère cartésien
1. Tracer et graduer les axes des abscisses et des ordonnées. 2. Déterminer les coordonnées des points O, I, J, A, B, C et D 3. Placer les points suivants : E(-1 ; -1) ; F(-2 ; -2) ; G(1 ; -1.5) ; H(3/2 ; 5/2)
1. Dans le repère, la droite est l'axe des abscisses
et la droite est l'axe des ordonnées.
La norme du vecteur correspond à sa longueur;
OI est la distance unité de l'axe des abscisses, donc OI = 1 ; de même, OJ = 1.
On peut ainsi graduer les deux axes.
point A :
- pour lire son abscisse : on trace en pointillés un segment parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point A
: à l'intersection avec l'axe des abscisses, on lit 3.
- pour lire son ordonnée : on trace en pointillés un segment parallèle à l'axe des abscisses passant par le point A :
à l'intersection avec l'axe des ordonnées, on lit 1
d'où A(3 ; 1)
Dans un repère , pour tout point M du plan il existe un couple unique de nombres réels (x;y)
tels que .
Le couple (x ; y) représente les coordonnées du vecteur . Ces coordonnées s'écrivent également
en colonne
exemple : En reprenant l'exercice ci-dessus, on peut écrire :
Teste-toi
Le plan est muni du repère cartésien suivant, à reproduire sur ta feuille :
a) Dans ce repère, placer les points I(1 ;0) ; J(1 ;0) : A(-3 ;1) ; B(3 ;0) ; C(-1 ;-1) ; D(2 ;-3)
b) Les points E et F sont définis respectivement par . Placer E et F dans le repère.
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Publié par malou/carita
le
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suffisent à définir un repère (O; I, J) du plan
Teste-toi)
et )
sont respectivement l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
et 
servent de référence pour graduer les axes sécants :
et on écrit
se lit norme du vecteur 
, qui dans le cas présent
vaut 1. )
)
est l'axe des abscisses
et la droite )
est l'axe des ordonnées.
correspond à sa longueur;
OI est la distance unité de l'axe des abscisses, donc OI = 1 ; de même, OJ = 1. 
)
où O est un point, et 
.
. Ces coordonnées s'écrivent également
en colonne 
