Fiche de mathématiques
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Repère quelconque du plan

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En seconde, les repères utilisés sont souvent orthogonaux, voire orthonormés.
Toutefois, pour résoudre de nombreux problèmes de géométrie, il peut être intéressant de définir un repère du plan adapté au contexte.

1. Repère défini par un triplet de points

Définition
Trois points distincts et non alignés O, I et J du plan forment un repère du plan, noté (O ; I, J).


3 points distincts et non alignés {\white{............}} suffisent à définir un repère (O; I, J) du plan

Repère du plan : image 14


O est le point origine ; ses coordonnées sont toujours (0 ;0)
les droites (OI) et (OJ) supportent respectivement l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées
les longueurs OI et OJ sont les unités qui permettent de graduer les axes sécants : OI=OJ=1

Exemple :

1. Dans le plan, placer au hasard 3 points non alignés O, L et M.
Construire le point J, milieu du segment [OM], et le point K milieu du segment [OL].
2. On se place maintenant dans le repère (O; L, M). Préciser les coordonnées des points O, L, M, J et K.
3. Placer le point I tel que OJIK soit un parallélogramme, puis préciser les coordonnées de I.



Repère du plan : image 8
.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad .
Repère du plan : image 10

1. voir graphique
2. On trace les axes des abscisses et des ordonnées, et on note les graduations, sachant que OL=OM=1.
O(0;0) ; L(1;0) ; M(1;0) ; J(0;0.5) ; K(0.5;1)

3. Avec les pointillés de construction pour placer le point I, il est aisé d'en déduire les coordonnées : I(0.5 ; 0.5)


 Teste-toi


 Solution

2. Repère défini par un point et 2 vecteurs non colinéaires

Définition
Un repère (ou repère cartésien) du plan est un triplet (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) où O est un point, et \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j} sont deux vecteurs non colinéaires.

O(0;0) est le point origine.
(O; \overrightarrow{i}) et (O; \overrightarrow{j}) sont respectivement l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
Les normes (longueur) des vecteurs \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j} servent de référence pour graduer les axes sécants : et on écrit \parallel \overrightarrow{i}\parallel  = \parallel \overrightarrow{j}\parallel  = 1

--> Remarque : \parallel \overrightarrow{i}\parallel se lit norme du vecteur vecti, qui dans le cas présent vaut 1.

Exemple :

Le plan est muni du repère cartésien (O;\; \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})
Repère du plan : image 2


1. Tracer et graduer les axes des abscisses et des ordonnées.
2. Déterminer les coordonnées des points O, I, J, A, B, C et D
3. Placer les points suivants : E(-1 ; -1) ; F(-2 ; -2) ; G(1 ; -1.5) ; H(3/2 ; 5/2)


1. Dans le repère, la droite (O; \overrightarrow{OI}) est l'axe des abscisses et la droite (O; \overrightarrow{OJ}) est l'axe des ordonnées.
La norme du vecteur \overrightarrow{OI} correspond à sa longueur; OI est la distance unité de l'axe des abscisses, donc OI = 1 ; de même, OJ = 1.
On peut ainsi graduer les deux axes.

2.et 3. Voir graphique
Origine O(0 ;0); I(1 ;0) ; J(0 ;1)

point A :
- pour lire son abscisse : on trace en pointillés un segment parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point A :
à l'intersection avec l'axe des abscisses, on lit 3.
- pour lire son ordonnée : on trace en pointillés un segment parallèle à l'axe des abscisses passant par le point A :
à l'intersection avec l'axe des ordonnées, on lit 1
d'où A(3 ; 1)

Repère du plan : image 5


Dans un repère (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}), pour tout point M du plan il existe un couple unique de nombres réels (x;y) tels que  \overrightarrow{OM} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}.
Le couple (x ; y) représente les coordonnées du vecteur \overrightarrow{OM}. Ces coordonnées s'écrivent également en colonne \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}

exemple : En reprenant l'exercice ci-dessus, on peut écrire :  \overrightarrow{OC} = -2  \overrightarrow{OI} + 3 \overrightarrow{OJ}\quad \quad  \overrightarrow{OA} = 3 \overrightarrow{OI} + \overrightarrow{OJ}

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