Fiche de mathématiques
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Coordonnées dans le plan, repère - Cours maths 2onde

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Fiche relue en 2016

Prérequis : Dans ce chapitre nous ferons appel essentiellement à tes connaissances sur le calcul fractionnaire et les résolutions d'équations, dans la partie calculatoire, et aux propriétés sur les triangles et quadrilatères quand on parlera de géométrie.

Enjeu : On veut repérer les points du plan à l'aide de nombres afin de leur attribuer une position précise pour pouvoir être à même de caractériser numériquement certaines propriétés géométriques vues au collège.

On va donc tout d'abord définir ce qu'est un repère et parler de coordonnées d'un point pour ensuite déterminer, par le calcul, les coordonnées du milieu d'un segment et sa longueur.


1. Repère du plan


Définition
On dit que 3 points O, I et J définissent un repère du plan s'ils ne sont pas alignés (ils forment alors un triangle). A l'aide de ces points, on trace les droites (OI) et (OJ) appelées axes du repère. Le repère est noté (O ; I , J).

Le point O est l'origine du repère, l'axe (OI) est appelé l'axe des abscisses et (OJ) l'axe des ordonnées.
Coordonnées dans le plan, repère - Cours maths 2onde : image 1



Remarque : Les axes, en seconde, seront presque tout le temps perpendiculaires, on dira alors que le repère est orthogonal et les distances unités OI et OJ seront très souvent égales, on parlera alors de repère orthonormé. Mais il existe aussi des repères dont les axes ne sont pas perpendiculaires et/ou les distances unités ne sont pas égales.

Ces repères nous permettent ensuite d'attribuer un couple de nombres à chaque point du plan. On parle alors de coordonnées du point. Ces nombres sont obtenus en traçant les droites parallèles aux axes passant par le point donné.
Coordonnées dans le plan, repère - Cours maths 2onde : image 2

Sur l'exemple, on lit que le point A a pour coordonnées (3 ; 2).
3 est appelé l'abscisse du point A et 2 son ordonnée.

Remarque : Dans tous les repères (O ; I , J ) le point O a pour coordonnées (0 ; 0) et les coordonnées des points I et J sont respectivement (1 ; 0) et (0 ; 1).


Ce dont tu vas te servir dans les exercices :

Exemple 1 : Repère (A; B, D)
Soit A, B et D trois points non alignés du plan.
Si le repère s'appelle (A; B, D) cela signife que les coordonnées de A sont (0 ; 0), celles de B (1 ; 0) et celles de D ( 0 ; 1)

Exemple 2 : Repère (O;\; \vec i\;, \vec j)
En seconde, après avoir étudié la notion de vecteurs, les repères du plan vont être régulièrement écrits en utilisant ceux-ci. On va alors parler de repère (O;\; \vec i\;, \vec j) avec O un point du plan et \vec i\;\text{ et } \vec j) deux vecteurs non colinéaires du plan.
Dire que les coordonnées d'un point M dans ce repère (O;\; \vec i\;, \vec j) sont (x ; y ), c'est dire que \overrightarrow{OM}=x\vec i+y \vec j

Exemple 3 : Soit \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AD} deux vecteurs non colinéaires du plan.
Donner les coordonnées d'un point M du plan dans le repère ({\red A} \;;{\blue\overrightarrow{AB}}\;,{\magenta\overrightarrow{AD}}), c'est déterminer x et y réels tels que \overrightarrow{{\red A}M}=x{\blue\overrightarrow{AB}}+y{\magenta\overrightarrow{AD}}.
On dit alors que les coordonnées de M dans le repère (A \;;\overrightarrow{AB}\;,\overrightarrow{AD}) sont (x\,;y)


Propriété
Deux points du plan muni d'un repère sont confondus si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.



2. Coordonnées du milieu d'un segment


Propriété
On considère deux points A et B du plan muni d'un repère. Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées

(\frac{x_a+x_b}{2} ; \frac{y_a+y_b}{2})



Exemple : Si on considère A(1 ; 2) et B(3 ; -4) alors le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées :

(\frac{1+3}{2}=2 ; \frac{2-4}{2}=-1)
Coordonnées dans le plan, repère - Cours maths 2onde : image 3


Il est recommandé, quand c'est possible de vérifier à l'aide d'un schéma que les coordonnées trouvées par le calcul correspondent bien à celles lues sur le graphique.
Cette propriété sera très utile pour caractériser un parallélogramme en utilisant le fait que les diagonales se coupent en leur milieu. On peut ainsi déterminer les coordonnées du 4ème sommet quand on connait les coordonnées des 3 autres. On est alors amené à résoudre une équation.

Exemple : On considère les points A(2 ; 3), B(5 ; 2) et C(4 ; -1). On veut trouver les coordonnées de D telles que ABCD soit un parallélogramme.
On détermine dans un premier temps les coordonnées du milieu M de [AC].

On a ainsi x_M=\frac{2+4}{2}=3 et y_M= \frac{3-1}{2}=1.

Puisque ABCD est un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu. Ainsi M est aussi le milieu de [BD].

Donc 3=\frac{5+x_D}{2} et 1=\frac{2+y_D}{2}

Par conséquent, en multipliant chaque équation par 2, on obtient :
6=5+x_D et 2=2+y_D
Et donc x_D=6-5=1 et y_D=2-2=0.
Le point D a pour coordonnées (1 ; 0).

3. Longueur d'un segment ou distance entre deux points



Dans cette partie, le repère utilisé est nécessairement orthonormé.

Propriété
On considère deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) du plan muni d'un repère. La longueur du segment [AB] ou encore la distance AB est alors :

AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}



Dans la pratique, on calculera très souvent, en premier AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 puis, ensuite on utilisera la racine carrée pour calculer AB.
Exemple : On considère les points A(4 ; 5) et B(-2 ; 3) du plan muni d'un repère orthonormé.
On a alors :

AB^2 = (-2-4)^2 + (3-5)^2 = (-6)^2 + (-2)^2 = 36 + 4 = 40\text{ d'où }AB = \sqrt{40}
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