Fiche de mathématiques
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Configuration du plan

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Fiche de Mathématiques niveau Seconde
Prérequis :
Dans ce chapitre nous allons revoir les différentes propriétés concernant les triangles et les quadrilatères qui ont été abordées au collège.

Enjeu :
Dans les nouveaux chapitres vus en seconde, beaucoup d'entre eux feront appel à ces propriétés vues les années précédentes. Il faut donc très bien les connaître et savoir les appliquer. Il faudra bien faire attention à fournir une rédaction rigoureuse lors des différentes démonstrations que tu devras faire.


1. Droites particulières d'un triangle


On a vu, les années passées, que dans tous les triangles il était possible de construire 4 types de droites particulières : les médiatrices, les médianes, les hauteurs et les bissectrices.

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
Il a été montré au collège que la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.
Ainsi si M est un point de la médiatrice de [AB] alors MA=MB et réciproquement, si MA=MB alors M est un point de la médiatrice de [AB].

Dans un triangle les médiatrices des trois côtés sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Configuration du plan - Cours de maths seconde : image 7


Une médiane d'un triangle est une droite joignant un sommet au milieu du côté opposé. Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.
Dans un triangle, le centre de gravité est situé au \frac{2}{3} de la médiane en partant du sommet.

Configuration du plan - Cours de maths seconde : image 2


Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.

Configuration du plan - Cours de maths seconde : image 3


La dernière droite particulière est la bissectrice d'un angle. Il s'agit, en fait, d'une demi-droite. Elle sépare un angle en deux angles de même mesure. Dans un triangle, leur point d'intersection est le centre du cercle inscrit dans le triangle.


Configuration du plan - Cours de maths seconde : image 4


2. Propriétés dans un triangle


Deux grands théorèmes ont été vus au collège.
Nous allons ici distinguer théorème direct, réciproque et contraposée.
Pythagore
Théorème de Pythagore
On considère un triangle ABC rectangle en A. On a alors :
BC2 = AB2 + AC2



Ce théorème permet donc de calculer la longueur d'un côté d'un triangle quand on connaît les longueurs des deux autres côtés.


Contraposée du théorème de Pythagore
On considère un triangle ABC dont le plus grand côté est [BC]. Si BC^2 \ne AB^2 + AC^2 alors le triangle ABC n'est pas rectangle.




Réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle ABC on a l'égalité BC2 = AB2 + AC2 alors le triangle est rectangle en A.



Thalès

Théorème de Thalès
On considère deux droites (BB') et (CC') sécantes en A . Si (BC) et (B'C') sont parallèles alors on a :

\frac{AB}{AB'} = \frac{AC}{AC'} = \frac{BC}{B'C'}



Ce théorème permet donc de calculer un rapport de longueur ou des longueurs lorsqu'une une droite est parallèle à un côté du triangle. Il existe deux configurations pour ce théorème.

Configuration du plan - Cours de maths seconde : image 1


Tout comme, pour le théorème de Pythagore, il existe une contraposée et un réciproque à ce théorème.

Contraposée du théorème de Thalès
On considère deux droites (BB') et (CC') sécantes en A. Si \frac{AB}{AB'}\ne\frac{AC}{AC'} alors les droites (BC) et (B'C') ne sont pas parallèles.



Réciproque du théorème de Thalès
On considère deux droites (BB') et (CC') sécantes en A avec A,B',B d'une part et A,C',C d'autre part, rangés dans le même ordre.
Si \frac{AB}{AB'}=\frac{AC}{AC'} alors les droites (BC) et (B'C') sont parallèles.




Un cas particulier est le théorème des milieux (vu en 4e)

Théorème des milieux
Dans un triangle ABC, on considère les points B' et C' appartenant respectivement à [AB] et [AC].
1. Si B' et C' sont les milieux de ces deux côtés alors (B'C') et (BC) sont parallèles.
2. Si B' est le milieu de [AB] et (B'C') est parallèle à (BC) alors C' est le milieu de [AC].



En dehors de ces deux grands théorèmes, il existe d'autres propriétés qui concernent les triangles rectangles. Ces deux prochaines propriétés sont équivalentes mais adoptent un point de vue différent.

Propriété
On considère un triangle ABC.
ABC est rectangle en A si, et seulement si, il est inscrit dans un cercle de diamètre [BC].



Configuration du plan - Cours de maths seconde : image 8


Remarque : Il faut garder à l'esprit qu'un cercle est l'ensemble des points situés à une distance donnée de son centre. Ainsi, pour tout point M d'un cercle de centre O et de rayon r on a OM=r.

Propriété
On considère un triangle ABC.
ABC est rectangle en A si, et seulement si, la médiane issue de A a une longueur égale à la moitié de celle de [BC].



Configuration du plan - Cours de maths seconde : image 6


3. Les quadrilatères particuliers


Nous allons ici rappeler les propriétés permettant de montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme dans un premier temps et ensuite celles permettant d'obtenir un losange, un rectangle ou un carré. Mais avant d'obtenir ces figures particulières, il faut très souvent avoir prouvé auparavant qu'on est en présence d'un parallélogramme.

a. Le parallélogrammme
Pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, on peut montrer que l'une des propriétés caractéristiques suivantes est vérifiée .
Les diagonales se coupent en leur milieu (cette propriété est très souvent utilisée) ;
Les côtés opposés sont parallèles deux à deux ;
Il est non croisé et deux côtés parallèles sont de même longueur.

Configuration du plan - Cours de maths seconde : image 9


b. Le losange
Pour montrer qu'un parallélogramme est un losange, on peut montrer que l'une des propriétés caractéristiques suivantes est vérifiée .
Ses diagonales sont perpendiculaires ;
Deux côtés consécutifs sont de même longueur.

Configuration du plan - Cours de maths seconde : image 5


c. Le rectangle
Pour montrer qu'un parallélogramme est un rectangle, on peut montrer que l'une des propriétés caractéristiques suivantes est vérifiée .
Il possède un angle droit ;
Ses diagonales sont de même longueur.

Configuration du plan - Cours de maths seconde : image 10


d. Le carré
Si on veut montrer qu'un parallélogramme est un carré, on montre qu'il est à la fois un losange et un rectangle.
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