Fiche de mathématiques
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Utiliser un repère

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exercice 1. (avec des droites)


On considère un parallélogramme ABCD. On appelle I le milieu du segment [AB], J le symétrique du point I par rapport à A et K le point du segment [AD] tel que AK =\dfrac{AD}{3}
Démontrer que les points J, K et C sont alignés en utilisant le repère (A ; I , K)

exercice 2.

On considère un carré ABCD de centre O. On appelle I le symétrique du point A par rapport au point B et J le symétrique du point D par rapport au point A.
En utilisant le repère (A ; B , D), démontrer que le triangle OIJ est rectangle et isocèle.

exercice 3.

On considère un parallélogramme ABCD de centre O. On appelle I un point quelconque du segment [AB] et J un point du segment [CD] tel que AI = CJ.
En utilisant un repère de votre choix, montrer que O est le milieu du segment [IJ].

exercice 4. (Avec des droites.)

On considère un carré ABCD.
On appelle :
- E le milieu du segment [BC] ;
- F le milieu du côté [AD] ;
- H le milieu du côté [AB]
1. Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure dans le repère (A ; H , F).
2. Après avoir déterminé les équations des droites (AE) et (DH), calculer les coordonnées du point G intersection des droites (DH) et (AE)
3. Montrer que le triangle AGH est rectangle.

exercice 5. (avec des droites)


On considère un triangle quelconque ABC.
On appelle :
- D le milieu du segment [BC] ;
- E le point du segment [AB] tel que AE =\dfrac{AB}{3}
F le point du segment [AC] tel que AF =\dfrac{AC}{3}
Choisissez un repère judicieux pour montrer que les droites (AD), (BF) et (CE) sont concourantes.





exercice 1.

 : image 1

Dans le repère (A ; I , K) on a A(0 ; 0) , I(1 ; 0) , B(2 ; 0) , J(-1 ; 0) , K(0 ; 1) , D(0 ; 3) et C(2 ; 3).

Le coefficient directeur de la droite (JK) est a_1 =\dfrac{1-0}{0-(-1)}=1
Le coefficient directeur de la droite (JC) est a_2 =\dfrac{3-0}{2-(-1)}=1

Les deux coefficients directeurs sont égaux et les droites ont un point commun J, elles sont donc confondues. Par conséquent les points J, K et C sont alignés.

exercice 2.

 : image 4

Le repère (A ; B , D) est orthonormé. O(0,5 ; 0,5) , I(2 ; 0) et J(0 ; -1).

OI=\sqrt{(2-0,5)^2+(0-0,5)^2}=\sqrt{1,5^2+0,5^2}=\sqrt{2,5}
OJ=\sqrt{(0-0,5)^2+(-1-0,5)^2}=\sqrt{0,5^2+1,5^2}=\sqrt{2,5}
IJ=\sqrt{(0-2)^2+(-1+0)^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}
OI = OJ. Donc le triangle OIJ est isocèle en O.
De plus, dans le triangle OIJ, [IJ] est le plus grand côté.
D'une part IJ^2 = 5.
D'autre part OI^2 + OJ^2 = 2,5 + 2,5 = 5.
Donc IJ^2 = OI^2 + OJ^2 .
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OIJ est également rectangle.
Conclusion : le triangle OIJ est rectangle isocèle en O.

Remarque : Une fois qu'on a compris comment calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé, il est judicieux pour ce type d'exercice de ne pas calculer les distances mais les carrés des distances. Cela donne ici :
OI^2=(2-0,5)^2+(0-0,5)^2}=1,5^2+0,5^2=2,5
OJ^2=(0-0,5)^2+(-1-0,5)^2}=0,5^2+1,5^2=2,5
IJ^2=(0-2)^2+(-1+0)^2}=2^2+1^2=5
dont on déduit OI^2=OJ^2 donc OI=OJ (des longueurs étant des quantités positives)
et IJ^2 = OI^2 + OJ^2 directement. On obtient immédiatement la conclusion donnée précédemment.

exercice 3.

 : image 6

On considère le repère (A ; B , D).
AI = x. Donc I(x ; 0) , O(0,5 ; 0,5) et J(1 - x ; 1).
On appelle M le milieu de [IJ].

x_M=\dfrac{x+1-x}{2}=0,5\text{ et } y_M=\dfrac{0+1}{2}=0,5
Donc O et M sont confondus et O est le milieu du segment [IJ].

exercice 4.

 : image 2

1. Dans le repère (A ; H , F) on a : A(0 ; 0) , H(1 ; 0) , B(2 ; 0) , F(0 ; 1) , D(0 ; 2), C(2 ; 2) et E(2 ; 1).
2. Les points A et E n'ont pas la même abscisse. Une équation de la droite (AE), droite qui passe par l'origine A, est donc de la forme y = ax .
a=\dfrac{1-0}{2-0}=0.5
Ainsi une équation de la droite (AE) est y = 0,5x.

Les points D et H n'ont pas la même abscisse. Une équation de la droite (DH) est donc de la forme y = ax + b.
a=\dfrac{2-0}{0-1}=-2
Une équation de la droite (DH) est de la forme y = -2x + b.
Le point D(0 ; 2) appartient à la droite (DH). Ses coordonnées vérifient donc l'équation de la droite (DH).
Par conséquent 2 = -2 × 0 + b donc b = 2.
Ainsi une équation de la droite (DH) est  y = -2x + 2.

Le point G est l'intersection des droites (AE) et (DH). Ses coordonnées sont donc solution du système suivant :

\left\lbrace\begin{matrix} y&= &0,5x \\ y&= & -2x+2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} y&= &0,5x \\ 0,5x&= & -2x+2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} y&= &0,5x \\ 2,5x&= & 2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} y&= &0,5x \\ x&= & 0,8 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x&= &0,8 \\ y&= & 0,4 \end{matrix}\right.
Ainsi G(0,8 ; 0,4)

Remarque : d'autres rédactions sont possibles pour trouver l'intersection de deux droites, mais le choix du système a été privilégié, afin de montrer une rédaction type, susceptible d'être utilisée dans d'autres cas.

3. Le repère (A ; H , F) est orthonormé.
AG^2 = 0,8^2 + 0,4^2 = 0,8
AH^2 = 1^ 2 + 0^ 2 = 1
GH^2 = (1 - 0,8)^2 + (0 - 0,4)^2 = 0,2^2 + 0,4^2 = 0,2
Dans le triangle AGH,on a : AH^2=AG^2+GH^2
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AGH est rectangle en G.

exercice 5.

 : image 5

On considère le repère (A ; C , B) (en fonction de l'orientation de la figure on peut également penser à prendre le repère (A ; B , C))
On a alors A(0 ; 0) , B(0 ; 1) , C(1 ; 0) , D(0,5 ; 0,5) , E(0 ;1/3 ) et F(1/3 ; 0)

Les points A et D n'ont pas la même abscisse. Par conséquent une équation de la droite (AD) , droite qui passe par l'origine A du repère, est de la forme y = ax .

a=\dfrac{0,5-0}{0,5-0}=1
Une équation de la droite (AD) est donc y = x.

Les points C et E n'ont pas la même abscisse. Par conséquent une équation de la droite (CE) est de la forme y = ax + b.

a=\dfrac{\frac 1 3 -0}{0-1}=-\dfrac 1 3 donc y=-\dfrac 1 3 x + b
Le point C(1 ; 0) appartient à la droite (CE). Ses coordonnées vérifient donc son équation.
Ainsi 0=-\dfrac 1 3 \times 1+ b et b=\dfrac 1 3
Une équation de la droite (CE) est donc y=-\dfrac 1 3 x +\dfrac 1 3

On appelle G le point d'intersection des droites (AD) et (CE). Ses coordonnées sont solution du système :

\left\lbrace\begin{matrix} y&= &x \\ y&=& -\dfrac 1 3 x+\dfrac 1 3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} y&= &x \\ x&=& -\dfrac 1 3 x+\dfrac 1 3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} y&= &x \\ \dfrac 4 3 x&=& \dfrac 1 3 x \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} y&=&x \\ x&=& \dfrac 1 4 \end{matrix}\right.
Donc G(0,25 ; 0,25)

Remarque : d'autres rédactions sont possibles pour trouver l'intersection de deux droites, mais le choix du système a été privilégié, afin de montrer une rédaction type, susceptible d'être utilisée dans d'autres cas.

Vérifions que les points B, F et G sont alignés en comparant les coefficients directeurs des droites (BF) et (BG).
Coefficient directeur de la droite (BF) : a_1=\dfrac{0-1}{\frac 1 3 -0}=-3

Coefficient directeur de la droite (BG) : a_2=\dfrac{0,25-1}{0,25-0}=-3

Les deux coefficients directeurs sont égaux et les deux droites ont un point commun , donc elles sont confondues. Par conséquent les points B, F et G sont alignés. Les droites (AD), (BF) et (CE) sont donc concourantes.
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