Fiche de mathématiques
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La géométrie dans l'espace

-Résumé-

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I.Comment "dessiner" dans l'espace ?



La première difficulté de la géométrie dans l'espace, c'est de représenter sur une surface plane, une configuration en trois dimensions. C'est le problème du dessin en "perspective".
La perspective "centrale" (conique) : Elle consiste à se donner une ligne d'horizon. Toutes les droites qui ont dans la réalité la même direction, concurrent sur le dessin en un point de cette ligne d'horizon.
La perspective "cavaliaire" (isométrique) : Toutes les droites parallèles dans la réalité le sont aussi sur le dessin. Les plans perpendiculaires au plan de la feuille sont représentées avec un angle de 45°. Sur ces perpendiculaires les vraies longueurs sont divisées par \sqrt2.

II.Savoir maitriser le vocabulaire :



Introduction :
Dans l'espace des situations apparaissent. La plus remarquable est que l'on peut y trouver des droites qui ne sont ni sécantes, ni parallèles. Il est donc nécessaire de revoir son vocabulaire et de préciser ce que l'on entend par "parallèle","sécantes", etc. De plus on découvre de nouveaux objets, les plans, dont on étudie les propriétés.



1.Définition des droites et des plans dans l'espace :



Comment déterminer une droite de l'espace ?
En donnant deux points distincts sur une droite.

Comment déterminer un plan dans l'espace ?
En donnant au choix
Soit 3 points non alignés (c'est-à-dire, qu'il ne sont pas sur une même droite).
Soit une droite et un point (qui n'est pas sur la droite).
Soit deux droites parallèles (non confondues).
Deux droites sécantes.

2.Les droites coplanaires :



Définition :
Deux droites sont coplanaires si elles sont incluses dans le même plan. Les droites coplanaires peuvent être :
Sécantes si elles ont un unique point commun.
Parallèles si elles sont confondues ou n'ont aucun point commun.
Perpendiculaires si elles forment un angle droit.



Attention :
Dans l'espace, deux droites perpendiculaires à une troisième ne sont pas nécessairement parallèles. Par exemple dans le cube ABCDEFGH, (AB) et (CG) sont toutes deux perpendiculaires à (BC) mais ne sont pas parallèles.
Elles ne sont donc ni sécantes, ni parallèles.

 : image 1


On peut utiliser la définition suivante :
Définition :
Deux droites sont orthogonales si une parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre.



Remarques :
Des droites orthogonales de l'espace ne sont pas nécessairement sécantes.
Des droites qui sont à la fois orthogonales et sécantes sont perpendiculaires.

Exemple : Dans l'exemple précédent du cube ABCDEFH, les droites (AB) et (CG) sont orthogonales car (AB) et (BF) sont perpendiculaires et (CG) et (BF) sont parallèles.

3.Les droites et les plans :



Une droite peut être :
Incluse dans un plan, si tous ses points appartiennent au plan.
Parallèle à un plan, s'ils n'ont aucun point commun.
Sécante à un plan, s'ils ne sont pas parallèles. Ils ont alors un unique point commun.
Orthogonale (ou perpendiculaire) à un plan, si elle est orthogonale à toutes les droites incluses dans le plan.

4.Les plans entre eux :



Deux plans peuvent être :
Confondus ou égaux.
Parallèles s'ils sont confondus ou s'ils n'ont aucun point commun.
Sécantes s'ils ne sont pas parallèles. Leur intersection est alors une droite.
Perpendiculaires si l'un des plans contient une droite orthogonale à l'autre plan. Les droites incluses dans des plans ne sont pas nécessairement perpendiculaires, ni même orthogonales. Elle peuvent même être parallèles.
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