Fiche de mathématiques
> >

Géométrie dans l'espace : Volumes, patrons et perspective

Partager :
Prérequis
Dans ce chapitre, tu vas revoir les formules de calcul de volumes mais c'est mieux de les connaître. Tu auras également besoin des formules de calculs d'aires vues au collège.

Enjeu
En plus des calculs de volumes et d'aires, ce chapitre est l'occasion d'utiliser des propriétés de géométrie plane pour déterminer des longueurs manquantes. Ce sera également l'occasion de compléter tes connaissances sur les patrons des solides grâce à celui du cône de révolution.

I. Les prismes droits et cylindres


Une même formule permet de calculer le volume des cylindres et des prismes droits, dont le parallélépipède rectangle et le cube sont des cas particulier. Il existe de nombreux patrons représentant un prisme droit.

V = aire de la base x hauteur


Volume d'un cube : V=côté3

Volumes, patrons et perspective : image 1

Volume d'un parallélépipède rectangle ou pavé droit : V = longueur × largeur × hauteur

Volumé d'un prisme droit : V = aire de la base × hauteur
Volumes, patrons et perspective : image 2


Volume d'un cylindre : V = \pi r^2 \times h
Volumes, patrons et perspective : image 3


La longueur du rectangle du patron est égale au périmètre du cercle : 2\pi r


II. Les pyramides et cônes


Ces familles de solides partagent elles-aussi la même formule pour calculer un volume :

V = \frac{ \text{aire de la base} \times \text{hauteur} }{3}


La base d'une pyramide est un polygone et chaque sommet de cette base est relié par une arête à un point S, appelé sommet de la pyramide. Si la base est un triangle, on parle alors de tétraèdre.

Volumes, patrons et perspective : image 4


Volume d'un cône de révolution : V= \pi r^2\times h

Volumes, patrons et perspective : image 5


Dans un cône de révolution, on appelle génératrice du cône un segment ayant pour extrémités le sommet S et un point du cercle. Ce segment permet de générer le cône quand on « le fait tourner » autour de la hauteur du cône.

Pour représenter le patron d'un cône, on a besoin de la longueur d'une génératrice ainsi que de la mesure de l'angle du secteur angulaire.

Exemple : On considère un cône dont la hauteur mesure 8 cm et de rayon 5cm.

Longueur de la génératrice
Quand on connaît la hauteur d'un cône et son rayon, grâce au théorème de Pythagore, on est en mesure de calculer la longueur d'une génératrice L.

On a ainsi L^2=r^2+h^2=89 donc L=  \sqrt{89} \approx 9,4 cm.
Le secteur angulaire aura donc un rayon d'environ 9,4 cm.

Mesure de l'angle
Voyons maintenant comment déterminer la mesure de l'angle de ce secteur angulaire.

On va, pour cela, utiliser la propriété suivante : la mesure de l'angle d'un secteur angulaire est proportionnelle à la longueur de cet arc.
On appelle \alpha la mesure cherchée.
L'arc de cercle s'enroule autour du cercle de base, donc sa longueur est 2 \pi r=10 \pi.
Si l'angle \alpha mesure 360° alors sa longueur est 2 \pi L=2 \pi \sqrt{89}.

On peut donc contruire le tableau de proportionnalité suivant :

angle (en °) \alpha 360
Longueur de l'arc 10\pi 2\pi\sqrt{89}



III. La boule et la sphère


Une sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace situés à la distance R du point O.
Une boule de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM \leq R.
La sphère correspond donc à l'enveloppe extérieure de la boule.
Volumes, patrons et perspective : image 6

Aire de la sphère : A=4\pi R^2
Volume de la boule : V=\frac{4}{3}\pi R^3

Il n'est pas possible de fournir un patron d'une sphère.


IV. La perspective cavalière


Il existe façons différentes de représenter, dans le plan des objets, en trois dimensions. Voici l'une d'entre-elles : la perspective cavalière. Elle est régit par plusieurs règles :
Règle 1 : Les éléments dans le plan frontal (les éléments situés au premier plan) sont représentés en vraie grandeur. Il en est de même pour tous les éléments situés dans un plan parallèle à celui-cI.
Règle 2 : Si une arête (ou en général une ligne) est visible, elle est alors représentée en traits pleins sinon elle est représentée en pointillés.
Règle 3 : On utilise 2 données pour représenter la perspective :

L'angle de fuite : Il s'agit de l'angle entre l'horizontale et les droites qui lui sont perpendiculaires (les fuyantes).

Le coefficient de perspective : Toutes les longueurs situées sur une fuyante sont multipliées par un coefficient k \text{ tel que } 0<k<1.

Volumes, patrons et perspective : image 7


On a ainsi les propriétés suivantes :

Deux droites parallèles sont représentées par deux droites parallèles mais la réciproque est fausse.
Deux droites sécantes sont représentées par deux droites sécantes mais la réciproque est fausse.
Des points alignés sont représentés par des points alignés mais, là encore, la réciproque est fausse.
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1285 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !