Fiche de mathématiques
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Calculer une distance dans un repère orthonormé de l'espace

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A savoir
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, soient A et B de coodonnées respectives (x_A;y_A;z_A)\text{ et }  (x_B;y_B;z_B)

alors AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

exercice 1

Calcul de distances dans l'espace : image 3


exercice 2


L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le plan \mathcal{P} d'équation x+2y-z-1=0

Les points A(1;1;2) et B(2;1;1) appartiennent-ils au plan \mathcal{P} ?

Calculer la distance AB puis les distances de ces deux points A et B au plan \mathcal{P}.

Le point A est-il le projeté orthogonal de B sur le plan \mathcal{P} ?



exercice 1

Calcul de distances dans l'espace : image 2

Calcul de distances dans l'espace : image 1


exercice 2


AB=\sqrt{(2-1)^2+(1-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{2} (unité de longueur)

1+2\times 1-2-1=0 donc les coordonnées du point A vérifient l'équation de \mathcal{P}.

On en déduit que A appartient au plan \mathcal{P} et donc que d(A, \mathcal{P}) = 0

2+2\times 1-1-1=2\neq 0 donc les coordonnées du point B ne vérifient pas l'équation de \mathcal{P}

On en déduit que B n'est pas un point de \mathcal{P}.

Calculons d(B,\mathcal{P}).

d(B,\mathcal{P})=\dfrac{|2+2\times 1-1-1|}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3} (unité de longueur)

Les cooordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} sont (1; 0; -1).

Un vecteur normal au plan \mathcal{P} est \vec{n}(1\,;2\,;-1)

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc \overrightarrow{AB} n'est pas orthogonal au plan \mathcal{P}.

Le point A n'est donc pas le projeté orthogonal de B sur \mathcal{P}.
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