Fiche de mathématiques
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Les vecteurs

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I. Translation de vecteur \overrightarrow{AB}

Si je fais glisser le bateau 1 le long de la droite (d) de A vers B, j'obtiens le bateau 2. Ce glissement est appelé translation de vecteur \overrightarrow{AB}
vecteurs - seconde : image 1
Par cette translation de vecteur \overrightarrow{AB}, le point C a été transformé en le point D.
On dit que D est l'image de C par la translation de vecteur \overrightarrow{AB}.
On écrit que \overrightarrow{AB}=\vec{CD}
Dire que \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} revient à dire que la figure ABDC est un parallélogramme.

vecteurs - seconde : image 2
A savoir :
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} équivaut à dire ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).


Exemples d'utilisation : Montrer que la figure RSTU est un parallélogramme peut se faire en montrant par exemple que \overrightarrow{RS}=\overrightarrow{UT}.

vecteurs - seconde : image 3
Autre exemple : les vecteurs \overrightarrow{MN} et \overrightarrow{PQ} ne sont pas égaux car MNQP n'est pas un parallélogramme.
vecteurs - seconde : image 4
     
vecteurs - seconde : image 5

On écrit souvent un vecteur à l'aide d'une seule lettre, par exemple \vec{u}=\overrightarrow{AB} signifie :
vecteurs - seconde : image 6

Le vecteur nul que l'on note \vec{0} est associé à la translation qui transforme A en A, ou B en B, etc.
Ainsi, \vec{0}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=...


II. Somme de deux vecteurs et relation de Chasles

La somme des deux vecteurs \vec{u} et  \vec{v} est le vecteur associé à la translation résultant de l'enchaînement des translations de vecteur \vec{u} et de vecteur \vec{v}.
vecteurs - seconde : image 7

ce qui donne :
vecteurs - seconde : image 8

Ceci s'écrit : \overrightarrow{A\red{B}}+\overrightarrow{\red{B}\blue{C}}=\overrightarrow{AC} , connue sous le nom de relation de Chasles.


III. Coordonnées d'un vecteur dans un repère

Dans un repère (O,I,J) les coordonnées d'un vecteur \vec{u} sont les coordonnées du point M tel que \vec{u}=\vec{OM}
Dans cet exemple, le vecteur \vec{u} a pour coordonnées (2;1). Et on écrit : \vec{u}(2;1).

vecteurs - seconde : image 9



Égalité de deux vecteurs
Si \vec{u}(x;y) et \vec{u'}(x';y')
" \vec{u}=\vec{u'} " équivaut à dire " x=x' et y=y' ".


Coordonnées d'un vecteur \overrightarrow{AB}
Si A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) alors on montre que \overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A).


Coordonnées de la somme de deux vecteurs
Si \vec{u}(x;y) et \vec{v}(x';y') alors \vec{u}+\vec{v}(x+x';y+y')


Produit d'un vecteur par un nombre réel \lambda
Pour le vecteur \vec{u} de coordonnées (a;b) dans un repère, le vecteur \lambda\vec{u} est le vecteur de coordonnées (\lambda a;\lambda b) dans le même repère.


Exemple : sur cet exemple, \vec{v}=-\dfrac{1}{2} \vec{u} avec \vec{u}(2;3)

vecteurs - seconde : image 10



IV. Colinéarité de vecteurs, alignement de points et parallélisme de droites

Définition :
Dire que deux vecteurs non nuls \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires signifie qu'il existe un réel \lambda tel que \vec{v}=\lambda\vec{u}.


vecteurs - seconde : image 11
Remarque : le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Propriété 1 :
"A,B,C alignés" équivaut à dire " \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} colinéaires "


vecteurs - seconde : image 12

Propriété 2 :
(AB) // (CD) équivaut à dire " \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} colinéaires ".


vecteurs - seconde : image 13
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