Fiche de mathématiques
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Les vecteurs

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I. Translation de vecteur \overrightarrow{AB}

Si je fais glisser le bateau 1 le long de la droite (d) de A vers B, j'obtiens le bateau 2. Ce glissement est appelé translation de vecteur \overrightarrow{AB}
vecteurs - seconde : image 1
Par cette translation de vecteur \overrightarrow{AB}, le point C a été transformé en le point D.
On dit que D est l'image de C par la translation de vecteur \overrightarrow{AB}.
On écrit que \overrightarrow{AB}=\vec{CD}
Dire que \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} revient à dire que la figure ABDC est un parallélogramme.

vecteurs - seconde : image 2
A savoir :
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} équivaut à dire ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).


Exemples d'utilisation : Montrer que la figure RSTU est un parallélogramme peut se faire en montrant par exemple que \overrightarrow{RS}=\overrightarrow{UT}.

vecteurs - seconde : image 3
Autre exemple : les vecteurs \overrightarrow{MN} et \overrightarrow{PQ} ne sont pas égaux car MNQP n'est pas un parallélogramme.
vecteurs - seconde : image 4
     
vecteurs - seconde : image 5

On écrit souvent un vecteur à l'aide d'une seule lettre, par exemple \vec{u}=\overrightarrow{AB} signifie :
vecteurs - seconde : image 6

Le vecteur nul que l'on note \vec{0} est associé à la translation qui transforme A en A, ou B en B, etc.
Ainsi, \vec{0}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=...


II. Somme de deux vecteurs (connue sous le nom : relation de Chasles)

La somme des deux vecteurs \vec{u} et  \vec{v} est le vecteur associé à la translation résultant de l'enchaînement des translations de vecteur \vec{u} et de vecteur \vec{v}.
vecteurs - seconde : image 7

ce qui donne :
vecteurs - seconde : image 8

Ceci s'écrit : \overrightarrow{A\red{B}}+\overrightarrow{\red{B}\blue{C}}=\overrightarrow{AC} , connue sous le nom de relation de Chasles mais qui n'est rien d'autre que la définition de la somme de deux vecteurs.


III. Coordonnées d'un vecteur dans un repère

Dans un repère (O,I,J) les coordonnées d'un vecteur \vec{u} sont les coordonnées du point M tel que \vec{u}=\vec{OM}
Dans cet exemple, le vecteur \vec{u} a pour coordonnées (2;1). Et on écrit : \vec{u}(2;1).

vecteurs - seconde : image 9



Égalité de deux vecteurs
Si \vec{u}(x;y) et \vec{u'}(x';y')
" \vec{u}=\vec{u'} " équivaut à dire " x=x' et y=y' ".


Coordonnées d'un vecteur \overrightarrow{AB}
Si A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) alors on montre que \overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A).


Coordonnées de la somme de deux vecteurs
Si \vec{u}(x;y) et \vec{v}(x';y') alors \vec{u}+\vec{v}(x+x';y+y')


Produit d'un vecteur par un nombre réel \lambda
Pour le vecteur \vec{u} de coordonnées (a;b) dans un repère, le vecteur \lambda\vec{u} est le vecteur de coordonnées (\lambda a;\lambda b) dans le même repère.


Exemple : sur cet exemple, \vec{v}=-\dfrac{1}{2} \vec{u} avec \vec{u}(2;3)

vecteurs - seconde : image 10



IV. Colinéarité de vecteurs, alignement de points et parallélisme de droites

Définition :
Dire que deux vecteurs non nuls \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires signifie qu'il existe un réel \lambda tel que \vec{v}=\lambda\vec{u}.


vecteurs - seconde : image 11
Remarque : le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Propriété 1 :
"A,B,C alignés" équivaut à dire " \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} colinéaires "


vecteurs - seconde : image 12

Propriété 2 :
(AB) // (CD) équivaut à dire " \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} colinéaires ".


vecteurs - seconde : image 13
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