Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths 2^nde > Géométrie

Equations de droites, cours de seconde

Prérequis : Dans ce chapitre nous ferons appel essentiellement à tes connaissances sur le calcul littéral, les résolutions d'équations et les coordonnées des points. On va retrouver également certaines propriétés et techniques de calcul vues sur les fonctions linéaires et affines.

Enjeu : Le but de ce chapitre est de fournir une expression algébrique pour tous les types de droites sous la forme y=... ou bien x=... et d'utiliser ces équations pour répondre à des problèmes géométriques. Ce chapitre sera complété en 1ère S.

On va tout d'abord étudier les 2 types de droites : les droites parallèles à l'axe des ordonnées et celles qui ne le sont pas. On cherchera ensuite à déterminer la position relative de deux droites (parallèle ou sécante) et enfin à caractériser l'alignement de 3 points. Dans tout ce chapitre on se placera dans un repère (O ; I ; J).

1. Equation d'une droite

Propriété

Soit (d) une droite du plan.
1. Si (d) est parallèle à l'axe des ordonnées alors une équation de (d) est de la forme $x=c$ .
2. Si (d) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées alors une équation de (d) est de la forme $y=ax+b$ .

Démonstration

1. (d) est parallèle à l'axe des ordonnées. On appelle C(c ; 0) le point d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses. On considère maintenant un autre point M(x ; y) de la droite (d). Ce point a la même abscisse que C. Par conséquent une équation de (d) est x=c.
2. (d) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. On cherche deux réels a et b tels qu'une équation de la droite s'écrive sous la forme $y=ax+b$ (1).

Il existe donc un point d'intersection avec l'axe des ordonnées A(0 ; $y_A$ ). Par conséquent, en remplaçant dans l'équation (1), on trouve $y_A=b$ .

On appelle B le point de la droite d'abscisse 1. On a ainsi B(1 ; $y_B$ ). Par conséquent, en remplaçant dans l'équation (1), on trouve $y_B=a+b$ .

En compilant ces deux derniers résultats on a ainsi $y_A=b$ et $y_B=a+y_A$ .

Finalement $y_A=b$ et $a=y_B - y_A$ .

Regardons les ordonnées des points d'abscisse 0 et 1.

Si $x=0$ alors $y=y_A$ et si $x=1$ alors $y = y_B-y_A + y_A = y_B$ .

La représentation graphique de la fonction affine $f$ définie par $f(x)=(y_B-y_A)x+y_A$ passe donc par les points A et B. Or, on a vu en 3ème, que la représentation graphique d'une fonction affine est une droite.
On a donc bien trouvé deux réels a et b tels qu'une équation de la droite soit de la forme $y=ax+b$ .

Définition

Si une équation de (d) est de la forme y=ax+b alors :
a est appelé le coefficient directeur de la droite
b est appelé l'ordonnée à l'origine

Exemple :

Equations de droites - Cours de seconde : image 1

La droite ( $d_1$ ) parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point A(1 ; 2) a pour équation $x=1$ .
La droite ( $d_2$ ) d'équation $y=-2x+4$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. Son coefficient directeur est -2 et son ordonnée à l'origine est 4.

On est parfois confronté à la situation où l'équation de la droite n'est pas connue mais on, en revanche, les coordonnées de deux points de la droite sont fournies. On va donc utiliser la propriété suivante pour déterminer son coefficient directeur et une résolution d'équation nous donnera ensuite l'ordonnée à l'origine.

Propriété

Si A( $x_A;y_A$ ) et B( $x_B;y_B$ ) sont deux points d'une droite et $x_A \ne x_B$ (la droite n'est donc pas parallèle à l'axe des ordonnées) alors le coefficient directeur de la droite (AB) est donné par :

$a = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

Exemple : Déterminer l'équation de la droite passant par les points A(5;4) et B(-2;1).

On constate que les deux points n'ont pas la même abscisse. Par conséquent une équation de la droite (AB) est de la forme $y=ax+b$ .

En appliquant la formule précédente on a $a=\frac{1-4}{-2-5}=\frac{-3}{-7}=\frac{3}{7}$

Ainsi l'équation de la droite (AB) s'écrit $y=\frac{3}{7}x+b$ . Il nous reste maintenant à déterminer la valeur de $b$ .

On sait que le point A(5; 4) appartient à cette droite. Ses coordonnées vérifient donc l'équation.

Donc $4=\frac{3}{7} \times 5+b$ d'où $4=\frac{15}{7}+b$ et $b=4-\frac{15}{7}=\frac{13}{7}$ .

Une équation de la droite (AB) est donc $y=\frac{3}{7}x+\frac{13}{7}$ .

On utilise le point B(-2;1) pour vérifier notre réponse.

$\frac{3}{7} \times x_B+\frac{13}{7}=\frac{3}{7} \times (-2) + \frac{13}{7} = -\frac{6}{7}+\frac{13}{7}=\frac{7}{7}=1=y_B$

Remarque : Tout comme pour les fonctions affines, on peut « lire » graphiquement les valeurs du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine.

2. Droites parallèles et sécantes

On cherche à déterminer la position relative de deux droites c'est-à-dire déterminer si deux droites sont parallèles (strictement ou non) ou bien sécantes. Pour répondre à cette question on compare les coefficients directeurs des deux droites.

Propriété

On considère deux droites (d) et (d') d'équations respectives $y=ax+b$ et $y=a'x+b'$ . (d) et (d') sont parallèles si, et seulement si, a=a'.

Exemple : On considère les deux droites (d) et (d') d'équations respectives $y=2x+4$ et $y=3x+5$ .
$\text{[math]}$ Le coefficient directeur de (d) est 2 et celui de (d') est 3. Puisqu'ils sont différents, les deux droites sont sécantes.

Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection, on doit résoudre le système :

$\left\lbrace\begin{array}l y=2x+4 \\ y=3x+5 \end{array}$

$\left\lbrace\begin{array}l y=2x+4 \\ 2x+4=3x+5 \end{array}$

$\left\lbrace\begin{array}l y=2x+4 \\ 4-5=3x-2x \end{array}$

$\left\lbrace\begin{array}l y=2x+4 \\ -1=x \end{array}$

$\left\lbrace\begin{array}l x=-1 \\ y=2×(-1)+4 \end{array}$

$\left\lbrace\begin{array}l x=-1 \\ y=2 \end{array}$

Ainsi le point d'intersection des deux droites a pour coordonnées (-1 ; 2).
On peut vérifier à l'aide d'un schéma, de la calculatrice ou en utilisant les équations des droites que ces coordonnées sont correctes.

3. Points alignés

On considère les points A(-1 ; 6), B(1 ; 2) et C(2 ; 0).
Deux méthodes s'offrent à nous pour déterminer si ces 3 points sont alignés.

En comparant les coefficients directeurs
Le coefficient directeur de (AB) est $a_1=\frac{2-6}{1-(-1)} = -\frac{4}{2} = -2$
Le coefficient directeur de (AC) est $a_2=\frac{0-6}{2-(-1)} = -\frac{6}{3} = -2$
Les deux coefficients directeurs sont égaux. Les droites (AB) et (AC) sont donc parallèles. Puisque le point A appartient aux deux droites, elles sont confondues et les points sont alignés.

En utilisant l'équation d'une droite
On détermine l'équation de la droite (AB). Les deux points A et B n'ont pas la même abscisse. Par conséquent une équation de la droite est de la forme $y=ax+b$ .
Le coefficient directeur de (AB) est $a=\frac{2-6}{1-(-1)} = \frac{-4}{2} = -2$ .
Une équation de la droite est donc du type $y=-2x+b$ .
Le point A(-1 ; 6) appartient à la droite donc $6=-2\times(-1)+b$ soit $b=4$ .
Ainsi une équation de (AB) est $y=-2x+4$ .
On regarde maintenant si les coordonnées de C(2 ; 0) vérifient cette équation :

$-2\times2+4=-4+4=0$
Le point C appartient donc à la droite (AB) et les 3 points sont alignés.

En fonction du contexte de l'exercice une méthode est plus rapide que l'autre.

Publié par Prof digiSchool le 04-11-2018

ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter

Cette fiche

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, Connectez vous
Forum de maths

Géométrie en seconde
Plus de 8 735 topics de mathématiques sur "géométrie" en seconde sur le forum.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Equations de droites, cours de seconde

1. Equation d'une droite

Démonstration

2. Droites parallèles et sécantes

3. Points alignés

Cette fiche

Forum de maths