Fiche de mathématiques
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Equations de droites, cours de seconde

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Prérequis : Dans ce chapitre nous ferons appel essentiellement à tes connaissances sur le calcul littéral, les résolutions d'équations et les coordonnées des points. On va retrouver également certaines propriétés et techniques de calcul vues sur les fonctions linéaires et affines.

Enjeu : Le but de ce chapitre est de fournir une expression algébrique pour tous les types de droites sous la forme y=... ou bien x=... et d'utiliser ces équations pour répondre à des problèmes géométriques. Ce chapitre sera complété en 1ère S.

On va tout d'abord étudier les 2 types de droites : les droites parallèles à l'axe des ordonnées et celles qui ne le sont pas. On cherchera ensuite à déterminer la position relative de deux droites (parallèle ou sécante) et enfin à caractériser l'alignement de 3 points. Dans tout ce chapitre on se placera dans un repère (O ; I ; J).


1. Equation d'une droite


Propriété
Soit (d) une droite du plan.
1. Si (d) est parallèle à l'axe des ordonnées alors une équation de (d) est de la forme x=c.
2. Si (d) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées alors une équation de (d) est de la forme y=ax+b.



Démonstration


1. (d) est parallèle à l'axe des ordonnées. On appelle C(c ; 0) le point d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses. On considère maintenant un autre point M(x ; y) de la droite (d). Ce point a la même abscisse que C. Par conséquent une équation de (d) est x=c.
2. (d) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. On cherche deux réels a et b tels qu'une équation de la droite s'écrive sous la forme y=ax+b (1).

Il existe donc un point d'intersection avec l'axe des ordonnées A(0 ; y_A). Par conséquent, en remplaçant dans l'équation (1), on trouve y_A=b.

On appelle B le point de la droite d'abscisse 1. On a ainsi B(1 ; y_B). Par conséquent, en remplaçant dans l'équation (1), on trouve y_B=a+b.

En compilant ces deux derniers résultats on a ainsi y_A=b et y_B=a+y_A.

Finalement y_A=b et a=y_B - y_A.

Regardons les ordonnées des points d'abscisse 0 et 1.

Si x=0 alors y=y_A et si x=1 alors y = y_B-y_A + y_A = y_B.

La représentation graphique de la fonction affine f définie par f(x)=(y_B-y_A)x+y_A passe donc par les points A et B. Or, on a vu en 3ème, que la représentation graphique d'une fonction affine est une droite.
On a donc bien trouvé deux réels a et b tels qu'une équation de la droite soit de la forme y=ax+b.

Définition
Si une équation de (d) est de la forme y=ax+b alors :
a est appelé le coefficient directeur de la droite
b est appelé l'ordonnée à l'origine



Exemple :
Equations de droites - Cours de seconde : image 1

La droite (d_1) parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point A(1 ; 2) a pour équation x=1.
La droite (d_2) d'équation y=-2x+4 n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. Son coefficient directeur est -2 et son ordonnée à l'origine est 4.

On est parfois confronté à la situation où l'équation de la droite n'est pas connue mais on, en revanche, les coordonnées de deux points de la droite sont fournies. On va donc utiliser la propriété suivante pour déterminer son coefficient directeur et une résolution d'équation nous donnera ensuite l'ordonnée à l'origine.

Propriété
Si A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) sont deux points d'une droite et x_A \ne x_B (la droite n'est donc pas parallèle à l'axe des ordonnées) alors le coefficient directeur de la droite (AB) est donné par :

a = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}



Exemple : Déterminer l'équation de la droite passant par les points A(5;4) et B(-2;1).

On constate que les deux points n'ont pas la même abscisse. Par conséquent une équation de la droite (AB) est de la forme y=ax+b.

En appliquant la formule précédente on a a=\frac{1-4}{-2-5}=\frac{-3}{-7}=\frac{3}{7}

Ainsi l'équation de la droite (AB) s'écrit y=\frac{3}{7}x+b. Il nous reste maintenant à déterminer la valeur de b.

On sait que le point A(5; 4) appartient à cette droite. Ses coordonnées vérifient donc l'équation.

Donc 4=\frac{3}{7} \times 5+b d'où 4=\frac{15}{7}+b et b=4-\frac{15}{7}=\frac{13}{7}.

Une équation de la droite (AB) est donc y=\frac{3}{7}x+\frac{13}{7}.

On utilise le point B(-2;1) pour vérifier notre réponse.

\frac{3}{7} \times x_B+\frac{13}{7}=\frac{3}{7} \times (-2) + \frac{13}{7} = -\frac{6}{7}+\frac{13}{7}=\frac{7}{7}=1=y_B

Remarque : Tout comme pour les fonctions affines, on peut « lire » graphiquement les valeurs du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine.

2. Droites parallèles et sécantes


On cherche à déterminer la position relative de deux droites c'est-à-dire déterminer si deux droites sont parallèles (strictement ou non) ou bien sécantes. Pour répondre à cette question on compare les coefficients directeurs des deux droites.

Propriété
On considère deux droites (d) et (d') d'équations respectives y=ax+b et y=a'x+b'. (d) et (d') sont parallèles si, et seulement si, a=a'.



Exemple : On considère les deux droites (d) et (d') d'équations respectives y=2x+4 et y=3x+5.
Le coefficient directeur de (d) est 2 et celui de (d') est 3. Puisqu'ils sont différents, les deux droites sont sécantes.

Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection, on doit résoudre le système :

\left\lbrace\begin{array}l y=2x+4 \\ y=3x+5 \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l y=2x+4 \\ 2x+4=3x+5 \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l y=2x+4 \\ 4-5=3x-2x \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l y=2x+4 \\ -1=x \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l x=-1 \\ y=2×(-1)+4 \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l x=-1 \\ y=2 \end{array}

Ainsi le point d'intersection des deux droites a pour coordonnées (-1 ; 2).
On peut vérifier à l'aide d'un schéma, de la calculatrice ou en utilisant les équations des droites que ces coordonnées sont correctes.

3. Points alignés


On considère les points A(-1 ; 6), B(1 ; 2) et C(2 ; 0).
Deux méthodes s'offrent à nous pour déterminer si ces 3 points sont alignés.

En comparant les coefficients directeurs
Le coefficient directeur de (AB) est a_1=\frac{2-6}{1-(-1)} = -\frac{4}{2} = -2
Le coefficient directeur de (AC) est a_2=\frac{0-6}{2-(-1)} = -\frac{6}{3} = -2
Les deux coefficients directeurs sont égaux. Les droites (AB) et (AC) sont donc parallèles. Puisque le point A appartient aux deux droites, elles sont confondues et les points sont alignés.

En utilisant l'équation d'une droite
On détermine l'équation de la droite (AB). Les deux points A et B n'ont pas la même abscisse. Par conséquent une équation de la droite est de la forme y=ax+b.
Le coefficient directeur de (AB) est a=\frac{2-6}{1-(-1)} = \frac{-4}{2} = -2.
Une équation de la droite est donc du type y=-2x+b.
Le point A(-1 ; 6) appartient à la droite donc 6=-2\times(-1)+b soit b=4.
Ainsi une équation de (AB) est y=-2x+4.
On regarde maintenant si les coordonnées de C(2 ; 0) vérifient cette équation :

-2\times2+4=-4+4=0

Le point C appartient donc à la droite (AB) et les 3 points sont alignés.

En fonction du contexte de l'exercice une méthode est plus rapide que l'autre.
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