Fiche de mathématiques
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exercice 1

La pyramide Mykérinos
MYKER est une pyramide de sommet M, de base carrée et telle que M se projette orthogonalement en le centre I du carré YKER.
N est le milieu de [YK], O le milieu de [YM].
Le côté du carré de base a pour longueur 108,5 m ; la longueur d'une arête est de 101,2 m.

le problème de la pyramide de Mykérinos - seconde : image 1


1. Calculer la hauteur MI de la pyramide.

2. Calculer la mesure en degrés des angles \widehat{\text{MKI}} et \widehat{\text{MKY}}.

3. Démontrer que (YK) est perpendiculaire au plan (MNI).

4. Calculer la mesure en degrés de l'angle \widehat{\text{MNI}}.

5. Démontrer que (YE) et (MK) sont orthogonales.



1. Hauteur de la pyramide :
IK est la moitié de la longueur de la diagonale du carré YKER de côté 108,5 m, donc IK = \dfrac{108,5 \times \sqrt{2}}{2} = 54,25 \sqrt{2} m.
Dans le triangle MIK rectangle en I, on applique le théorème de Pythagore :
MK² = MI² + IK²
MI² = MK² - IK²
MI² = 101,2² - 2 943,062 5 × 2 = 4 355,315
Donc : MI = 66,0 m (arrondi à 10-1 m).

2. Dans le triangle MIK rectangle en I, on a :
\widehat{\text{MKI}} = \dfrac{\text{IK}}{\text{MK}} = \dfrac{54,25\sqrt{2}}{101,2}
Donc : \widehat{\text{MKI}} \approx 40,7°

    MYK est un triangle isocèle en M. N est le milieu de [YK], donc la droite (MN) est médiane et hauteur issue de M. Le triangle MNK est donc rectangle en N et on a :
\cos \widehat{\text{MKN}} = \dfrac{\text{NK}}{\text{MK}} = \dfrac{54,25}{101,2}
Donc : \widehat{\text{MKY}} \approx 57,6°

3. On a vu que la droite (MN) est la hauteur issue de M du triangle MYK, donc la droite (YK) est perpendiculaire à la droite (MN).
I est le point d'intersection des diagonales du carré YKER, donc YI = IK. Le triangle YIK est donc isocèle en I. N est le milieu du segment [YK], donc (IN) est la médiane et la hauteur du triangle YIK issue de I. Les droites (YK) et (IN) sont donc perpendiculaires.
D'où : la droite (YK) est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan (MNI), (YK) est donc perpendiculaire au plan (MNI).

4. Calculons la mesure de l'angle \widehat{\text{MNI}} :
Dans le triangle MNI rectangle en I, on a :
\tan \widehat{\text{MNI}} = \dfrac{\text{MI}}{\text{NI}} = \dfrac{66}{54,25}
Donc \widehat{\text{MNI}} \approx 50,6°.

5. Comme les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu et perpendiculairement, alors les droites (YE) et (IK) sont perpendiculaires.
(MI) est la hauteur de la pyramide MYKER et (YE) appartient à la base de cette pyramide, donc les droites (YE) et (MI) sont perpendiculaires.
Donc : la droite (YE) est perpendiculaire à la face (MIK) et donc orthogonales à toute droite appartenant à cette face, en particulier (MK).
D'où : les droites (YE) et (MK) sont orthogonales.
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