Fiche de mathématiques
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Repérage

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Ces trois exercices proviennent d'épreuves de Brevet lorsque la notion de vecteur était au programme de 3e.

exercice 1 - Grenoble, 1998

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O; I, J). L'unité est le centimètre.
On considère les points A(4; 4), B(7;5) et C(8; 2).

1. Placer les points A, B et C sur une figure.

2. Calculer les longueurs AB, AC et BC.

3. Démontrer que le triangle ABC est isocèle et rectangle.

4. Placer, sur la figure, le point D tel que \overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{DC}}.

5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.

6. Déterminer les coordonnées du point D.



exercice 2 - Nice, 1996

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité est le centimètre.
On considère les points A(6; 5), B(2; -3) et C(-4; 0).

1. Placer les points A, B et C sur une figure. Le point O, origine du repère, sera placé au centre de la feuille.

2. Calculer les distances AB, BC et CA; donner les résultats sous la forme a\sqrt{5}a est un nombre entier positif.

3. En déduire la nature du triangle ABC. Justifier la réponse.

4. Calculer l'aire du triangle ABC.

5. Calculer le périmètre du triangle ABC, donner le résultat sous la forme a\sqrt{5}, puis la valeur arrondie au dixième de ce résultat.

6. On considère le cercle circonscrit au triangle ABC.
a)Préciser la position de son centre E en justifiant la réponse. Calculer les coordonnées de ce point.
b)Déterminer la valeur exacte du rayon de ce cercle.

7. Calculer la valeur exacte de tan\widehat{\text{ACB}}, puis une valeur approchée au degré près de l'angle \widehat{\text{ACB}}.

8. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{CA}}. En déduire les coordonnées du point D tel que ACBD soit un parallélogramme.



exercice 3 - Clermont-Ferrand, 1996

Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O, I, J), l'unité étant le centimètre, on considère les points :
A(2; 3), B(5; 6), C(7;4) et D(4; 1)

1. Faire la figure.

2. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{AB}} et celles du vecteur \overrightarrow{\text{DC}}.
En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

3. Calculer AC et BD.

4. Démontrer que ABCD est un rectangle.





exercice 1 - Grenoble, 1998

1.
Trois exercices pour comprendre les vecteurs dans un repère du plan : image 3


2.
Longueur AB :
AB² = (xB - xA)² + (yB - yA
AB² = (7-4)² + (5-4)²
AB² = 9+1
AB² = 10

Longueur AC :
AC² = (xC - xA)² + (yC - yA
AC² = (8-4)² + (2-4)²
AC² = 16+4
AC² = 20

Longueur BC :
BC² = (xC - xB)² + (yC - yB
BC² = (8-7)² + (2-5)²
BC² = 1+9
BC² = 10

Donc : AB = \sqrt{10} cm, AC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} cm et BC = \sqrt{10} cm.

3. On a : AC² = 20 et AB² + BC² = 10 + 10 = 20.
Comme AC² = AB² + BC², alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est un triangle rectangle en B.
De plus, comme AB = BC, alors ABC est isocèle en B.
Le triangle ABC est donc rectangle et isocèle en B.

4. cf figure

5. Comme \overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{DC}}, alors ABCD est un parallèlogramme.
De plus, comme ABC est un triangle rectangle B, alors ABCD est un rectangle.
Comme ABC est isocèle en B, alors ABCD est un carré.

6. On a : \overrightarrow{\text{AB}}(3; 1) et \overrightarrow{\text{DC}}(8 - xD; 2 - yD)
Comme \overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{DC}}, alors :
8 - xD = 3 et 2 - yD = 1
- xD = 3 - 8 et - yD = 1 - 2
xD = 5 et yD = 1
D a pour coordonnées (5; 1).



exercice 2 - Nice, 1996

1.
Trois exercices pour comprendre les vecteurs dans un repère du plan : image 1


2.
Distance AB :
AB² = (xB - xA)² + (yB - yA
AB² = (2-6)² + (-3 - 5)²
AB² = 16 + 64
AB² = 80

Distance AC :
AC² = (xC - xA)² + (yC - yA
AC² = (-4 - 6)² + (0 - 5)²
AC² = 100 + 25
AC² = 125

Distance BC :
BC² = (xC - xB)² + (yC - yB
BC² = (-4 - 2)² + (0 - (-3)))²
BC² = 36 + 9
BC² = 45

Donc : AB = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} cm, AC = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} cm et BC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} cm.

3. AB² + BC² = 80 + 45 = 125
Comme AB² + BC² = AC², alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

4. Aire du triangle ABC :
AABC = (AB × BC)/2 = (4\sqrt{5} × 3\sqrt{5})/2 = (12 × 5)/2 = 30
L'aire du triangle ABC est dans de 30 cm².

5. Périmètre du triangle ABC :
P = AB + BC + AC = 4\sqrt{5} + 3\sqrt{5} + 5\sqrt{5} = 12\sqrt{5}
Le périmètre du triangle ABC est de 12\sqrt{5} cm, soit environ 26,8 cm.

6. a) Comme le triangle ABC est rectangle en B, alors ce triangle est inscrit dans un cercle qui a pour diamètre l'hypoténuse [AC].
Le centre E du cercle circonscrit au triangle ABC est donc le milieu du segment [AC].
Calculons ses coordonnées :
x_{\text{E}}=\dfrac{x_{\text{A}}+x_{\text{C}}}{2}
x_{\text{E}}=\dfrac{6+(-4)}{2}
x_{\text{E}}=\dfrac{2}{2}
x_{\text{E}}=1

y_{\text{E}}=\dfrac{y_{\text{A}}+y_{\text{C}}}{2}
y_{\text{E}}=\dfrac{5+0}{2}
y_{\text{E}}=\dfrac{5}{2}

Les coordonnées du point E sont : (1; 5/2)

b) Ce cercle a pour rayon EA. Calculons donc la distance EA :
EA² = (xA - xE)² + (yA - yE)² = (6 - 1)² + (5 - (5/2))² = 25 + (25/4) = 125/4
Donc : EA = \sqrt{\frac{125}{4}} = (5\sqrt{5})/2.
Le rayon du cercle est EA = (5\sqrt{5})/2 cm.

7. Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : tan\widehat{\text{ACB}} = AB/BC = (4\sqrt{5})/(3\sqrt{5}) = 4/3
Donc : \widehat{\text{ACB}} \approx 53°

8.
Coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{CA}} :
\overrightarrow{\text{CA}}(xA - xC; yA - yC)
\overrightarrow{\text{CA}}(6 - (-4); 5 - 0)
\overrightarrow{\text{CA}}(10; 5)

Si ACBD est un parallélogramme, alors \overrightarrow{\text{CA}} = \overrightarrow{\text{BD}}.
Or, \overrightarrow{\text{CA}}(10;5) et \overrightarrow{\text{BD}}(xD - 2; yD + 3), donc :
xD - 2 = 10 et yD + 3 = 5
xD = 12 et yD = 2
D a donc pour coordonnées (12; 2).



exercice 3 - Clermont-Ferrand, 1996

1.
Trois exercices pour comprendre les vecteurs dans un repère du plan : image 2


2.
Coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{AB}}
\overrightarrow{\text{AB}} (xB - xA; yB - yA)
\overrightarrow{\text{AB}} (5 - 2; 6 -3)
\overrightarrow{\text{AB}} (3;3)

Coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{DC}}
\overrightarrow{\text{DC}} (xC - xD; yC - yD)
\overrightarrow{\text{DC}} (7 - 4; 4 - 1)
\overrightarrow{\text{DC}} (3;3)
Comme \overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{DC}}, alors ABCD est un parallélogramme.

3.
Longueur AC
AC² = (xC - xA)² + (yC - yA
AC² = (7-2)² + (4-3)²
AC² = 5² + 1²
AC² = 25 + 1
AC² = 26

Longueur BD
BD² = (xD - xB)² + (yD - yB
BD² = (4-5)² + (1-6)²
BD² = (-1)² + (-5)²
BD² = 1 + 25
BD² = 26

D'où : AC = BD = \sqrt{26} cm.

4. Comme ABCD est un parallélogramme qui a ses diagonales de même longueur, alors ABCD est un rectangle.
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