Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Métropole - La Réunion - Mayotte - Session 2009

L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.

I - Activités numériques	12 points
II - Activités géométriques	12 points
III - Problème	12 points
Qualité de rédaction et de présentation	4 points

Durée de l'épreuve : 2 heures

12 points

I - Activités numériques

exercice 1

1. Calculer A $\text{A} = \dfrac{8 + 3 \times 4}{1 + 2 \times 1,5}$

2. Pour calculer A, un élève a tapé sur sa calculatrice la succession de touches ci-dessous :
$\fbox{8}\quad\fbox{+}\quad\fbox{3}\quad\fbox{\times}\quad\fbox{4}\quad\fbox{\div}\quad\fbox{1}\quad\fbox{+}\quad\fbox{2}\quad\fbox{\times}\quad\fbox{1}\quad\fbox{.}\quad\fbox{5}\quad\fbox{=}$
Expliquer pourquoi il n'obtient pas le bon résultat.

exercice 2

Trois personnes, Aline, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes.
Chacune tire au hasard une bille dans son sac.

1. Le contenu des sacs est le suivant :
$\begin{array}{ccccc} \text{Sac d'Aline : } & \hspace{20pt} & \text{Sac de Bertrand : } & \hspace{20pt} & \text{Sac de Claude : } \\ &&&& \\ \fbox{\begin{array}{c} \hspace{1pt} \\ \text{5 billes rouges} \\ \hspace{1pt} \end{array}} && \fbox{\begin{array}{c}\text{10 billes rouges}\\\text{et}\\\text{30 billes noires}\end{array}}} && \fbox{\begin{array}{c}\text{100 billes rouges}\\\text{et}\\\text{3 billes noires}\end{array}}} \\ \end{array}$
Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ?

2. On souhaite qu'Aline ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge.
Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d'Aline ?

exercice 3

On donne ci-dessous les représentations graphiques de trois fonctions. Ces représentations sont nommées $\mathscr{C}_1$ , $\mathscr{C}_2$ et $\mathscr{C}_3$ .
L'une d'entre elles est la représentation graphique d'une fonction linéaire.
Une autre est la représentation graphique de la fonction $f$ telle que $f : x \mapsto -0,4x + 3$ .

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2009 - troisième : image 1

1. Lire graphiquement les coordonnées du point B.
2. Par lecture graphique, déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}_3$ avec l'axe des abscisses.
3. Laquelle de ces représentations est celle de la fonction linéaire ? Justifier.
4. Laquelle de ces représentations est celle de la fonction $f$ ? Justifier.
5. Quel est l'antécédent de 1 par la fonction $f$ ? Justifier par un calcul.
6. A est le point de coordonnées (4,6 ; 1,2). A appartient-il à $\mathscr{C}_2$ ? Justifier par un calcul.

12 points

II - Activités géométriques

exercice 1

L'unité de longueur est le centimètre.
ABC est un triangle tel que : AB = 16 cm, AC = 14 cm et BC = 8 cm.

1. a) Tracer en vraie grandeur le triangle ABC sur la copie.
b) Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.

2. Le mathématicien Héron d'Alexandrie (1^er siècle), a trouvé une formule permettant de calculer l'aire d'un triangle : en notant $a$ , $b$ , $c$ les longueurs des trois côtés et $p$ son périmètre, l'aire $\mathcal{A}$ du triangle est donnée par la formule : $\mathcal{A} = \sqrt{\dfrac{p}{2} \left(\dfrac{p}{2} - a\right) \left(\dfrac{p}{2} - b\right)\left(\dfrac{p}{2} - c\right)}$ .
Calculer à l'aide de cette formule l'aire du triangle ABC.
Donner le résultat arrondi au cm² près.

exercice 2

Dans cet exercice, on étudie la figure ci-dessous où :
ABC est un triangle isocèle tel que AB = AC = 4 cm.
E est le symétrique de B par rapport à A.

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2009 - troisième : image 2

Partie 1 :

On se place dans le cas particulier où la mesure de $\widehat{\text{ABC}}$ est 43°.
1. Construire la figure en vraie grandeur.
2. Quelle est la nature du triangle BCE ? Justifier.
3. Prouver que l'angle $\widehat{\text{EAC}}$ mesure 86°.

Partie 2 :

Dans cette partie, on se place dans le cas général où la mesure de $\widehat{\text{ABC}}$ n'est pas donnée.
Jean affirme que pour n'importe quelle valeur de $\widehat{\text{ABC}}$ , on a $\widehat{\text{EAC}} = 2\widehat{\text{ABC}}$ .
Jean a-t-il raison ? Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée.

12 points

III - Problème

On considère un triangle ABC tel que : AB = 17,5 cm ; BC = 14 cm ; AC = 10,5cm.

Partie 1

1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.

2. Soit P un point du segment [BC].
La parallèle à la droite (AC) passant par P coupe le segment [AB] en R.
La parallèle à la droite (BC) passant par R coupe le segment [AC] en S.
Montrer que le quadrilatère PRSC est un rectangle.

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2009 - troisième : image 3

La figure n'est pas en vraie grandeur

3. Dans cette question, on suppose que le point P est situé à 5 cm du point B.
a) Calculer la longueur PR.
b) Calculer l'aire du rectangle PRSC.

Partie 2

On déplace le point P sur le segment [BC] et on souhaite savoir quelle est la position du point P pour laquelle l'aire du rectangle PRSC est maximale.

1. L'utilisation d'un tableur a conduit au tableau de valeurs suivant :

Longueur BP en cm	0	1	3	5	8	10	12	14
Aire de PRSC en cm²	0	9,75	24,75		36		18	0

Indiquer sur la copie les deux valeurs manquantes du tableau.
Justifier par un calcul la valeur trouvée pour BP = 10 cm.

2. Un logiciel a permis d'obtenir la représentation graphique suivante :
Aire du rectangle PRSC en fonction de la longueur BP

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2009 - troisième : image 4

À l'aide d'une lecture graphique, donner :
    a) Les valeurs de BP pour lesquelles le rectangle PRSC a une aire de 18 cm².
    b) La valeur de BP pour laquelle l'aire du rectangle semble maximale.
    c) Un encadrement à 1cm² près de l'aire maximale du rectangle PRSC.

Partie 3

1. Exprimer PC en fonction de BP.
2. Démontrer que PR est égal à 0,75 × BP.
3. Pour quelles valeurs de BP le rectangle PRSC est-il un carré ?

Correction

Activités numériques

exercice 1

1. $A=\dfrac{8+3\times 4}{1+2\times1,5}=\dfrac{20}{4}=5$ .

2. L'élève aurait dû mettre des parenthèses pour indiquer le numérateur et le dénominateur. À cause des priorités opératoires (priorité de la multiplication et de la division sur l'addition), la calculatrice a calculé $8+\dfrac{3\times 4}{1}+(2\times 1,5)$ , et a donné 23 comme résultat.

exercice 2

1. On note R l'événément : "la bille tirée est rouge".
On a : $p(R) = \dfrac{\text{nombre de billes rouges}}{\text{nombre total de billes}}$ .
Pour Aline : son sac contient 5 billes rouges parmi 5 billes au total, donc $p(R) = \dfrac{5}{5} = 1$
Pour Bertrand : son sac contient 10 billes rouges parmi 40 au total, donc : $p(R) = \dfrac{10}{40} = \dfrac{1}{4}$
Pour Claude : son sac contient 100 billes rouges parmi 103 au total, donc : $p(R) = \dfrac{100}{103}$ .
On a $\dfrac{1}{4} < \dfrac{100}{103} < 1$ , donc Aline a la plus grande probabilité de tirer une bille rouge dans son sac.

2. Soit $x$ le nombre de billes noires à ajouter dans le sac d'Aline. On veut que la probabilité de tirer une bille rouge soit égale à celle de Bertrand, c'est-à-dire $\dfrac{1}{4}$ .
$p(R) = \dfrac{5}{x + 5} = \dfrac{1}{4}$ ce qui équivaut à $5 \times 4 = 1 \times (x + 5)$
Donc : $x + 5 = 20$ , soit $x = 15$
D'où : il faut ajouter 15 billes noires dans le sac d'Aline pour qu'elle ait la même probabilité que Bertrand de tirer une bille rouge.

exercice 3

1. Le point B a pour coordonnées $(-4;4,6)$ .

2. Les points d'intersection de $C_3$ avec l'axe des abscisses ont pour coordonnées :
$(-1;0)$
$(2;0)$
$(4;0)$
Donc, les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_3$ avec l'axe des abscisses sont : -1 , 2 et 4.

3. La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine. La fonction linéaire correspond donc à $C_1$ .

4. La fonction f est une fonction affine, sa représentation graphique est donc une droite : c'est $C_2$ .

5. On résout l'équation $f(x)=1$ . On obtient successivement : $-0,4x+3=1$ , $-0,4x=-2$ , puis $x=\dfrac{-2}{-0,4}=5$ . L'antécédent de 1 par f est 5.

6. On a vu que $C_2$ est la représentation graphique de f. Or on a $f(4,6)=-0,4\times 4,6+3=1,16$ : ainsi f(4,6) n'est pas égal à 1,2. Donc A n'appartient pas à $C_2$ .

Activités géométriques

exercice 1

1. a)

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2009 - troisième : image 5

1. b) On a $\text{AB}^2=16^2=256$ et $\text{AC}^2+\text{BC}^2=14^2+8^2=196+64=260$ : le triangle ABC n'est donc pas rectangle.
2. Le périmètre du triangle ABC vaut $p=16+14+8=38$ cm. Son aire vaut donc $\mathcal{A}=\sqrt{19\times (19-16)\times (19-14)\times (19-8)}=\sqrt{19\times 3\times 5\times 11}=\sqrt{3135}\approx 56$ cm².

exercice 2

Partie 1

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2009 - troisième : image 6

2. Le centre du cercle circonscrit $\text{C}$ au triangle BCE est le point A, et c'est aussi le milieu du côté [BE] du triangle. Donc BCE est rectangle en C.

3. On sait que $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=43°$ car ABC est isocèle en A. On en déduit que $\widehat{BAC}=180-2\times 43=94°$ , puis que $\widehat{EAC}=180-\widehat{BAC}=86°$ .

Partie 2

Jean a raison : puisque ABC est isocèle, on a $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$ , d'où $\widehat{BAC}=180-2\widehat{ABC}$ , puis finalement $\widehat{EAC}=180-\widehat{BAC}=180-(180-2\widehat{ABC})=2\widehat{ABC}$ .

Problème

Partie 1

1. On a $\text{AB}^2=17,5^2=306,25$ et $\text{AC}^2+\text{BC}^2=10,5^2+14^2=110,25+196=306,25$ . Ainsi, $\text{AB}^2=\text{AC}^2+\text{BC}^2$ ; d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

2. PRSC est un parallélogramme (par construction) qui a un angle droit (l'angle $\widehat{PCS}$ ) : c'est donc un rectangle.

3. a) Les droites (PR) et (AC) sont parallèles, on peut donc appliquer le théorème de Thalès : $\dfrac{\text{BP}}{\text{BC}}=\dfrac{\text{PR}}{\text{AC}}$ . On en déduit $\text{PR}=\dfrac{\text{AC}\times\text{BP}}{\text{BC}}=\dfrac{10,5\times 5}{14}=3,75$ .

3. b) L'aire du rectangle PRSC vaut $\text{PR}\times\text{PC}=3,75\times 9=33,75$ cm².

Partie 2

1.
Lorsque $\text{BP}=5$ , on vient de montrer que l'aire de PRSC vaut 33,75 cm².
Lorsque $\text{BP}=10$ , on a $\text{PC}=4$ ; d'après le théorème de Thalès, $\text{PR}=\dfrac{\text{AC}\times\text{BP}}{\text{BC}}=\dfrac{10,5\times 10}{14}=7,5$ , et l'aire de PRSC vaut $7,5\times 4=30$ cm².

2. a) L'aire de PRSC vaut 18 cm² pour $\text{BP}=2$ et pour $\text{BP}=12$ .

2. b) L'aire du rectangle semble être maximale pour $\text{BP}=7$ .

2. c) L'aire maximale semble être comprise entre 36 et 37 cm².

Partie 3

1. On a $\text{PC}=14-\text{BP}$ .

2. Les droites (PR) et (AC) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, $\text{PR}=\dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}\times\text{BP}=\dfrac{10,5}{14}\times\text{BP}=0,75\times\text{BP}$ .

3. Le rectangle PRSC est un carré lorsque $\text{PR}=\text{PC}$ . En remplaçant par les expressions obtenues ci-dessus, on obtient $0,75\times\text{BP}=14-\text{BP}$ , puis $1,75\times \text{BP}=14$ et finalement $\text{BP}=8$ cm.

Publié par Porcepic/critou le 26-05-2010

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