Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Centres Etrangers - Session 2009

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L'emploi de la calculatrice est autorisé.
La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2       Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques

exercice 1

Pour les questions 1 et 2 écrire les différentes étapes de calcul.

On pose
A = \dfrac{7}{15} - \dfrac{2}{15} \times\dfrac{9}{4}B = \dfrac{25 \times 10^6 \times 3 \times 10^{-2}}{2 \times 10^2}C = 3\sqrt{72} - 5 \sqrt{2}


1. Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

2. Calculer B et donner une écriture scientifique du résultat, puis une écriture décimale de ce résultat.

3. a) Donner la valeur décimale arrondie au millième de C.
    b) Écrire C sous la forme a\sqrt{2}a est un entier.




exercice 2

1. Développer (x- 1)^2. Justifier que 99^2 = 9 801 en utilisant le développement précédent.

2. Développer (x -1)(x+ 1). Justifier que 99 \times 101 = 9 999 en utilisant le développement précédent.




exercice 3

Durant une compétition d'athlétisme, les 7 concurrents ont couru les 200 m avec les temps suivants (en secondes) :
20,25     ;     20,12     ;     20,48     ;     20,09     ;     20,69     ;     20,19     ;     et    ;     20,38.

1. Quelle est l'étendue de cette série ?

2. Quelle est la moyenne de cette série (arrondie au centième) ?

3. Quelle est la médiane de cette série ?

4. Quelle est la vitesse moyenne de l'athlète classé premier, en mètres par seconde (m/s), (arrondie au millième) ?


12 points

Activités géométriques

exercice 1

Soient un cercle \mathcal{C} de centre O et de rayon 5 cm, [AB] un diamètre de ce cercle et M un point de \mathcal{C} tel que BM = 4,2 cm.

1. Faire une figure.

2. Montrer que ABM est un triangle rectangle.

3. Quelles sont les mesures, arrondies au degré, des angles \widehat{\text{ABM}} et \widehat{\text{AOM}} ?




exercice 2

Dans cet exercice toutes les dimensions sont données en cm.
Diplôme national du brevet Centres étrangers - 2009 : image 1
La pyramide SABCD ci-contre est telle que :
    la base ABCD est un carré de centre O tel que AC = 12.
    les faces latérales sont des triangles isocèles en S.
    la hauteur [SO] mesure 8.
(la figure n'est pas aux dimensions réelles) }

1. Dans le triangle SOA rectangle en O, montrer que SA = 10.

2. Sachant que AB = 6\sqrt{2}, montrer que l'aire du carré ABCD est 72 cm2.

3. Montrer que le volume de la pyramide SABCD est égal à 192 cm3.

4. Soient A' un point de [SA] et B' un point de [SB] tels que SA' = SB' = 3. Montrer que (AB) et (A'B') sont parallèles.

5. La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD, calculer le coefficient de réduction.

6. Calculer le volume de la pyramide SA'B'C'D'.



12 points

Problème

Pour la saison 2008-2009, le théâtre «MODECIA» propose les tarifs suivants :
    Tarif A : 150 € la carte permettant d'assister à tous les spectacles.
    Tarif B : 75 € l'abonnement pour la saison qui permet d'acheter une place pour 6 €.
    Tarif C : 19 € la place «plein tarif».

1. Compléter le tableau figurant dans l'annexe 1, qui sera à remettre avec votre copie.

2. Si x est le nombre de spectacles auxquels Marc assiste durant la saison, écrire, en fonction de x,  P_{\text{A}}(X),  P_{\text{B}}(x) et P_{\text{C}}(x), le prix que devrait payer Marc, suivant le tarif utilisé.

3. Parmi ces trois fonctions y a-t-il une fonction linéaire ? Si oui laquelle ?

4. Dans l'annexe 2, qui sera à remettre avec votre copie, on a tracé les représentations graphiques \left(T_{\text{A}}\right) et \left(T_{\text{C}}\right) des fonctions P_{\text{A}} et  P_{\text{C}}. Tracer la représentation graphique \left(T_{\text{B}}\right) de la fonction P_{\text{B}} dans le repère de l'annexe 2.

5. Si on dispose de 100 €, lire graphiquement le nombre de spectacles auxquels on peut assister avec le tarif C (laisser apparaître les tracés sur le graphique).

6. Retrouver graphiquement le tarif Ie plus intéressant pour voir huit spectacles.

7. Résoudre l'inéquation : 19x > 6x + 75.
En déduire le nombre de spectacles pour lequel le tarif B est plus intéressant que le tarif C.

ANNEXE 1
Nombre de spectacles3814
Tarif A   
Tarif B   
Tarif C   


ANNEXE 2
Diplôme national du brevet Centres étrangers - 2009 : image 2




Activités numériques

exercice 1

1. A = \dfrac{7}{15} - \dfrac{2}{15} \times \dfrac{9}{4}
 A = \dfrac{7}{15} - \dfrac{2 \times 9}{15 \times 4}
A = \dfrac{7}{15} - \dfrac{2 \times 3 \times 3}{3 \times 5 \times 2 \times 2}
A = \dfrac{7}{15} - \dfrac{3}{10}
A = \dfrac{14}{30} - \dfrac{9}{30}
A = \dfrac{5}{30}
A = \dfrac{1}{6}

2. B = \dfrac{25 \times 10^6 \times 3 \times 10^{-2}}{2 \times 10^2}
B = \dfrac{25 \times 3}{2} \times \dfrac{10^6 \times 10^{-2}}{10^2}
B = \dfrac{75}{2} \times \dfrac{10^4}{10^2}
B = 37,5 \times 10^2
B = 3,75 \times 10^3 (écriture scientifique)
B = 3750 (écriture décimale)

3. C = 3\sqrt{72} - 5\sqrt{2}
C = 3\sqrt{36 \times 2} - 5\sqrt{2}
C = 3\sqrt{36}\sqrt{2} - 5\sqrt{2}
C = 3 \times 6 \times \sqrt{2} - 5\sqrt{2}
C = 18\times \sqrt{2} - 5\sqrt{2}
C = 13\times \sqrt{2}




exercice 2

1. (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1
99^2 = (100 - 1)^2
= 100^2 - 2 \times 100 + 1
= 10000 - 200 + 1
= 9801

2. (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1
99 \times 101 = (100 - 1)(100 + 1)
= 100^2 - 1
= 10000 - 1
= 9999




exercice 3

1. L'étendue de la série est 20,69 - 20,09 = 0,6

2. La moyenne de la série est \dfrac{20,25 + 20,12 + 20,48 + 20,09 + 20,69 + 20,19 + 20,38}{7} \approx 20,31

3. L'effectif de la série est égal à 7 donc la médiane est la 4e valeur de la série où les termes sont rangés dans l'ordre croissant. Donc la médiane de la série est 20,25

4. L'athlète classé premier a parcouru 200 m en 20,09 s. Donc sa vitesse moyenne est \dfrac{200}{20,09} \approx 9,955 m/s


Activités géométriques

exercice 1

1.
Diplôme national du brevet Centres étrangers - 2009 : image 3


2. M est un point du cercle de diamètre [AB]. Donc le triangle ABM est rectangle en M.

3. Déterminons la mesure de l'angle \widehat{ABM} :
Dans le triangle ABM rectangle en M, on a :
\cos(\widehat{ABM}) = \dfrac{BM}{AB} = \dfrac{4,2}{10} = 0,42
Donc \widehat{ABM} = \cos^{-1} (0,42) \approx 65°
L'angle \widehat{ABM} mesure environ 65°.

    Déterminons la mesure de l'angle \widehat{AOM} :
Dans le cercle \mathcal{C}, l'angle inscrit \widehat{ABM} et l'angle au centre \widehat{AOM} interceptent le même arc \wideparen{AB}.
Donc : \widehat{AOM} = 2\widehat{ABM} \approx 2 \times 65
L'angle \widehat{AOM} mesure environ 130°.




exercice 2

1. ABCD est un carré donc ses diagonales se coupent en leur milieu. Ainsi AO = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{12}{2} = 6.
Dans le triangle SOA rectangle en O, d'après le théorème de Pythagore
SA^2 = SO^2 + AO^2
SA^2 = 8^2 + 6^2
SA^2 = 64 + 36
SA^2 = 100
Donc
SA = \sqrt{100} = 10
La longueur SA est 10 cm.

2. ABCD est un carré de coté 6\sqrt{2} donc
Aire(ABCD) = (6\sqrt{2})^2
Aire(ABCD) = (6^2 \times (\sqrt{2})^2
Aire(ABCD) = 36 \times 2
Aire(ABCD) = 72
L'aire du carré ABCD est 72 cm2

3. Volume(SABCD) = \dfrac{1}{3} \times Aire(ABCD) \times SO
Volume(SABCD) = \dfrac{1}{3} \times 72 \times 8
Volume(SABCD) = 24 \times 8
Volume(SABCD) = 192
Le volume de la pramide SABCD est 192 cm3

4. Dans le triangle SAB on a A' \in [SA], B' \in [SB].
On a : \dfrac{SA'}{SA} = \dfrac{3}{10}     et     \dfrac{SB'}{SB} = \dfrac{3}{10}.
Donc \dfrac{SA'}{SA} = \dfrac{SB'}{SB}
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (A'B') sont parallèles.

5. Le coefficient de réduction est égal à \dfrac{SA'}{SA} = \dfrac{3}{10} = 0,3.

6. Dans une réduction de rapport k, le volume est multiplié par k3. Donc le volume de la pyramide SA'B'C'D' est
Volume(SA'B'C'D') = 0,3^3 \times Volume(SABCD)
= 0,027^3 \times 192
= 5,184
Le volume de la pyramide SA'B'C'D' est 5,184 cm3


Problème

1.
Nombre de spectacles3814
Tarif A150150150
Tarif B93123159
Tarif C57152266


2. Pour tout x, on a
PA(x) = 150
PB(x) = 75 + 6x
PC(x) = 19x

3. La fonction PA est constante. La fonction PB est affine. La fonction PC est linéaire.

4.
Diplôme national du brevet Centres étrangers - 2009 : image 4


5. Graphiquement (traits verts), le nombre de spectacles auxquels on peut assister avec le tarif C est 5

6. Graphiquement (traits bleus), le tarif Ie plus intéressant pour voir huit spectacles est le tarif B.

7. 19x > 6x + 75
\Longleftrightarrow 19x - 6x > 75
\Longleftrightarrow 13x > 75
\Longleftrightarrow x > \dfrac{75}{13}
\dfrac{75}{13} \approx 5,8 donc le tarif B est plus intéressant que le tarif C à partir de 6 spectacles.
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