Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Série Collège
Antilles-Guyane - Session Juin 2009

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Durée de l'épreuve : 2 h 00       Coefficient : 2
L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.
I - Activités numériques12 points
II - Activités géométriques12 points
III - Problème12 points
Qualité de rédaction et de présentation4 points
12 points

Activités numériques

3 points

exercice 1

Au stand d'une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans un sac contenant exactement 180 billets.
    4 de ces billets permettent de gagner un lecteur MP3.
    12 permettent de gagner une grosse peluche.
    36 permettent de gagner une petite peluche.
    68 permettent de gagner un porte-clés.
    Les autres billets sont des billets perdants.
Quelle est la probabilité pour un participant :

1. de gagner un lecteur MP3 ?

2. de gagner une peluche (grande ou petite) ?

3. de ne rien gagner ?


6 points

exercice 2

Les 3 questions de cet exercice sont indépendantes.

1. Soit A = \dfrac{3 \times  10^5 \times  4 \times  \left(10^{-3}\right)^2}{16 \times  10^{-4}}.
Donner l'écriture décimale de A puis son écriture scientifique.

2. On pose E = 16 - (5x - 3)^2.
    a) Calculer la valeur de E pour x = -1.
    b) Développer et réduire E.
    c) Factoriser E.

3. Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier vos réponses.
    a) La somme de deux multiples de 5 est un multiple de 5.
    b) Si 2 et 3 sont deux diviseurs d'un nombre entier, leur somme 5 est un diviseur de ce nombre.


3 points

exercice 3

1. Déterminer le PGCD de 1 394 et de 255.

2. Un artisan dispose de 1 394 graines d'açaï et de 255 graines de palmier pêche.
Il veut réaliser des colliers identiques, c'est-à-dire contenant chacun le même nombre de graines d'açaï et le même nombre de graines de palmier pêche.
    a) Combien peut-il réaliser au maximum de colliers en utilisant toutes ses graines ?
    b) Dans ce cas, combien chaque collier contient-il de graines d'açaï et de graines de palmier pêche ?


12 points

Activités géométriques

6 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des questions, quatre réponses (A, B, C et D) sont proposées et une seule est exacte.

1. a) SABCD est une pyramide à base carrée ABCD et de sommet S.
Diplôme national du brevet Antilles Guyane Juin 2009 - troisième : image 3

Le triangle ABC est :
        A. Ni rectangle, ni isocèle
        B. Rectangle et isocèle
        C. Rectangle, non isocèle
        D. Isocèle, non rectangle

    b) On coupe cette pyramide par un plan parallèle à sa base. La section obtenue est un :
        A. parallélogramme non rectangle
        B. triangle isocèle
        C. rectangle non carré
        D. carré

2. Un cylindre de révolution a pour rayon 3 cm et pour hauteur 10 cm. Le volume de ce cylindre, exprimé en cm3, est :
        A. 10\pi
        B. 20\pi
        C. 30\pi
        D. 90\pi

3. Un rectangle A'B'C'D' d'aire 24 cm2 est l'agrandissement à l'échelle 1,25 d'un rectangle ABCD. L'aire du rectangle ABCD, exprimée en cm2, est :
        A. 15,36
        B. 19,2
        C. 30
        D. 37,5

4. La valeur exacte de EG est :
Diplôme national du brevet Antilles Guyane Juin 2009 - troisième : image 4

        A. 2\sqrt{3}
        B. 3\sqrt{2}
        C. 4\sqrt{2}
        D. 18

5. L'arrondi au degré de la mesure de l'angle \widehat{\text{DNB}} est :
Diplôme national du brevet Antilles Guyane Juin 2009 - troisième : image 5

        A. 34 °
        B. 41 °
        C. 42 °
        D. 48 °

6 points

exercice 2

JKL est un triangle tel que : JK = 6 cm ; JL = 3,6 cm et KL = 4,8 cm.
J est un point du segment [IK] et IJ = 9 cm.
\mathcal{C} est le cercle de diamètre [IJ].
La droite (JL) coupe le cercle \mathcal{C} en M
Diplôme national du brevet Antilles Guyane Juin 2009 - troisième : image 1
La figure n'est pas en vraie grandeur et il n'est pas demandé de la reproduire

1. Démontrer que le triangle JKL est rectangle.

2. Justifier que le triangle IJM est rectangle.

3. Déterminer la longueur JM.


12 points

Problème

Partie A

Julien dispose de 15 jours de vacances. Il contacte l'agence de voyages «ALAVOILE» pour préparer une croisière en voilier au départ de Fort de France. L'agence lui propose deux formules :
    Formule A : 75 € par jour de croisière.
    Formule B : un forfait de 450 € puis 25 € par journée de croisière.

1. Recopier et compléter le tableau suivant :
Nombre de jours5814x
Prix (en €) avec la formule A375   
Prix (en €) avec la formule B575   


2. Avec 750 €, combien de jours Julien peut-il partir avec la formule B ? Justifier votre réponse.

3. On note f et g les fonctions définies par :
f(x) = 25x + 450 \quad \; et \quad \; g(x) = 75x.

Dans le repère de l'ANNEXE (à remettre avec la copie), représenter graphiquement les fonctions f et g pour x compris entre 0 et 15.
Les unités choisies sont :
    1 cm pour un jour sur l'axe des abscisses.
    1 cm pour 50 € sur l'axe des ordonnées.

4. Par lecture graphique, déterminer à partir de combien de jours la formule B devient plus avantageuse que la formule A.
(On laissera apparents les pointillés permettant la lecture).

5. Julien décide finalement de faire une croisière de 7 jours.
    a) Déterminer, par lecture graphique, la formule la plus intéressante pour lui et le prix correspondant.
(On laissera apparents les pointillés permettant la lecture)
    b) Par son comité d'entreprise, Julien obtient une réduction de 5 % sur le prix de cette croisière.
Combien vont lui coûter finalement ses vacances ?

Partie B

Le départ de la croisière choisie par Julien a lieu le 10 juillet (entre 0 h et 12 h).
Le graphique ci-dessous décrit les variations de la hauteur de la mer dans le port de Fort de France selon l'heure de la matinée (entre 0 h et 12 h) du 10 juillet.
Diplôme national du brevet Antilles Guyane Juin 2009 - troisième : image 2

1. Le voilier ne peut sortir du port que si la hauteur d'eau dépasse 3,20 mètres. Quelles sont les tranches horaires de départs possibles pour ce voilier ?

2. Finalement, le skipper du voilier décide de partir lorsque la hauteur d'eau est maximale. À quelle heure va partir Julien ?

ANNEXE (à rendre avec la copie)
Diplôme national du brevet Antilles Guyane Juin 2009 - troisième : image 6




Activités numériques

exercice 1

1. Il y a, en tout, 180 billets de loterie, parmi lesquels, seulement 4 permettent de gagner un lecteur MP3. La probabilité de gagner un lecteur MP3 est donc de \dfrac{4}{180}=\dfrac{1}{45}.

2. Il y a 12 billets qui permettent de gagner une grosse peluche, et 36 billets qui permettent d'en gagner une petite.
Il y a donc 12 + 36 = 48 billets qui permettent de gagner une peluche. La probabilité de gagner une peluche est donc de \dfrac{48}{180}=\dfrac{4}{15}.

3. 4 + 12 + 36 + 68 = 120 billets permettent de remporter un prix.
Donc 180 - 120 = 60 billets ne font gagner aucun prix. La probabilité de ne rien gagner est donc de \dfrac{60}{180}=\dfrac{1}{3}.




exercice 2

1.
\begin{array}{rcl} A & = & \dfrac{3\times10^{5}\times4\times(10^{-3})^{2}}{16\times10^{-4}}\\\\ A & = & \dfrac{3\times4\times10^{5}\times10^{(-3)\times2}}{16\times10^{-4}}\\\\ A & = & \dfrac{3\times4\times10^{5}\times10^{-6}}{4\times4\times10^{-4}}\\\\ A & = & \dfrac{3\times10^{5+(-6)}}{4\times10^{-4}}\\\\ A & = & \dfrac{3\times10^{-1}}{4\times10^{-4}}\\\\ A & = & \dfrac{3}{4}\times10^{-1-(-4)}\\\\ A & = & 0,75\times10^{3}\\ A & = & 750 \text{ (écriture décimale)}\\ A & = & 7,5\times10^{2} \text{ (écriture scientifique)} \\ \end{array}

2. a) Pour x=-1,
\begin{array}{rcl} E & = & 16 - (5\times(-1)-3)^{2}\\ E & = & 16-(-5-3)^{2}\\ E & = & 16-(-8)^{2}\\ E & = & 16-64\\ E & = & -48 \\ \end{array}

2. b)
\begin{array}{rcl} E & = & 16-(5x-3)^{2}\\ E & = & 16-[(5x)^{2}-2 \times 5x \times 3+3^{2}]\\ E & = & 16- (25x^{2}-30x+9) \\  E & = & 16-25x^{2}+30x-9\\ E & = & -25x^{2}+30x+7 \\ \end{array}

2. c)
\begin{array}{rcl} E & = & 16-(5x-3)^{2}\\ E & = & 4^{2} - (5x-3)^{2}\\ E & = & [4-(5x-3)] \times [4 + (5x-3)]\\ E & = & (4-5x+3)(4+5x-3)\\ E & = & (-5x+7)(5x+1)\\ \end{array}

3. a) Soient a et b deux nombres entiers.
a est un multiple de 5 signifie qu'il existe un entier k tel que a=5\times k.
b est un multiple de 5 signifie qu'il existe un (autre) entier k' tel que b=5\times k'.
On a donc a+b=5k+5k'. On factorise par 5 et on obtient : a+b=5(k+k') avec (k+k') un nombre entier.
Donc a+b est un multiple de 5.
Donc la phrase est vraie.

3. b) Cette phrase est fausse.
Contre-exemple : 2 et 3 sont des diviseurs de 6 mais 5 n'en est pas un.




exercice 3

1. Pour déterminer le PGCD de 1394 et de 255, on utilise l'algorithme d'Euclide.
1 394 = 255 × 5 + 119
255 = 119 × 2 + 17
119 = 7 × 17 + 0
Le dernier reste non nul est 17, donc PGCD(1394,255) = 17.

2. a) Le nombre de colliers est un diviseur de 1394 et de 255 donc le nombre maximum de colliers est le PGCD de 1394 et de 255. L'artisan pourra donc réaliser, au plus, 17 colliers.


2. b) Chaque collier comportera \dfrac{1394}{17}=82 graines d'açaï et \dfrac{255}{17}=15 graines de palmier pêche.


Activités géométriques

exercice 1

1.a) Réponse B : le triangle ABC est isocèle et rectangle en B.
car : ABCD est un carré donc \widehat{ABC} = 90° et AB = BC.

1. b) Réponse D : la section de la pyramide par un plan parallèle à sa base est un carré.

2. Réponse D : le volume du cyclindre est 90 \pi cm3.
car : Vcylindre = Aire de la base × hauteur = \pi \times R^2 \times h = \pi \times 3^2 \times 10 = 90 \pi \text{ cm}^3.

3. Réponse A : l'aire de ABCD est 15,36cm2
car : Si les longueurs sont multipliées par 1,25, alors les aires sont multipliées par 1,25². L'aire du rectangle ABCD est donc : 24 : 1,25² = 15,36 cm².

4. Réponse B : EG=4\sqrt{2}
car : dans le triangle EFG rectangle en E, on applique le théorème de Pythagore :
FG² = EF² + EG²
Donc : EG^2 = FG^2 - EF^2 = 5^2 - \left( \sqrt{7} \right)^2 = 25 - 7 = 18
D'où : EG = \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3 \sqrt{2} \text{ cm}

5. Réponse C :
car : dans le triangle DNB rectangle en B, on a :
Donc : \sin \widehat{DNB} = \dfrac{DB}{DN} = \dfrac{5,2}{7,8}
D'où : \widehat{DNB} = \sin^{-1} \left( \dfrac{5,2}{7,8} \right) \approx 42°.




exercice 2

1. Dans le triangle JKL, le côté le plus long est [JK]. On a :
JK2=62 = 36
et KL2 + JL2=4,82+3,62=23,04+12,96=36.
Donc JK2=KL2+JL2
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, JKL est rectangle en L.

2. [IJ] est un diamètre du cercle, et M appartient au cercle.
Or si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d?un diamètre et un point de ce cercle alors ce triangle est rectangle.
Donc IJM est rectangle en M.

3. D'après la question 1, on sait que le triangle JLK est rectangle en M, donc (JL) est perpendiculaire à (LK).
D'après la question 2, on sait que le triangle IJM est rectangle en M, donc (JL) est perpendiculaire à (IM).
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entres elles.
Donc les droites (LK) et (IM) sont parallèles.

Les droites (IK) et (ML) sont sécantes en J, les droites (IM) et (LK)sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{JI}{JK} = \dfrac{JM}{JL} = \dfrac{IM}{LK}
Donc : \dfrac{9}{6} = \dfrac{JM}{3,6} = \dfrac{IM}{4,8}
De \dfrac{9}{6} = \dfrac{JM}{3,6} on déduit : JM = \dfrac{9 \times 3,6}{6} = 5,4
D'où : JM = 5,4 cm.


Problème

Partie A

1.
Nombre de jours5814x
Prix (en €) avec la formule A37575 × 8 = 60075 × 14 = 1 05075 \times x
Prix (en €) avec la formule B57525 × 8 + 450 = 65025 × 14 + 450 = 80025 \times x + 450


2. Pour x jours de croisière, Julien paiera 25 x + 450 euros avec la formule B. Il dispose de 750 euros, donc on résout 25x+450=750.
25 x + 450 = 750 \\ 25 x = 750 - 450 \\ 25 x = 300 \\  x = \dfrac{300}{25} \\ x = 12
Avec 750 €, Julien pourra partir 12 jours avec la formule B.

3. La fonction g est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par origine du repère.
On a : g(10) = 75 \times 10 = 750
Cette droite passe par les points de coordonnées (0 ; 0) et (10 ; 750).

La fonction f est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite.
On a : f(2)= 25 \times 2 + 450 = 50 + 450 = 500
et f(10) = 25 \times 10 + 450 = 250 + 450 = 700
Cette droite passe par les points de coordonnées (2 ; 500) et (10 ; 700).
Diplôme national du brevet Antilles Guyane Juin 2009 - troisième : image 7


4. La formule B devient plus avantageuse que la formule A lorsque la droite D_f est au-dessus de la droite D_g. |nl]On lit graphiquement que la formule B devient plus avantageuse que la formule A à partir de 9 jours de croisière (cf pointillés rouges).

5. a) On lit graphiquemnt que pour 7 jours (cf pointillés bleus), le prix est moins cher avec la formule A qu'avec la formule B (g(7) < f(7)). On a g(7) = 525 €
Julien paiera alors 525 €.

5. b) Réduire un prix de 5% revient à le multiplier par 1 - \dfrac{5}{100} = 0,95. On a donc :
525 × 0,95 = 498,75
Julein paiera alors 498,75 euros.

Partie B

1. D'après le graphique, le voilier peut sortir entre 0 h et environ 01 h 35 et entre environ 07 h 40 et 12 h.

2. D'après le graphique, la hauteur de l'eau est maximale à 10 h 30. Julien partira donc à 10 h 30.
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