Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Asie - Session Juin 2009

L'emploi de la calculatrice est autorisé.
La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

12 points

Activités numériques

4 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point.
Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Pour chacune des quatre questions, indiquer le numéro de la question et recopier la réponse exacte.

1.	$x$ désigne un nombre. Une solution de l'inéquation $2x - 5 \le -1$ est :	10	-1	3
2.	Le PGCD des nombres 12 et 30 est égal à :	6	2	1
3.	$x$ désigne un nombre. La forme développée de $(3x + 7)(3x -7)$ est :	$9x^2 +49$	$9x^2 -42x+49$	$9x^2 - 49$
4.	Le nombre $\sqrt{75} - \sqrt{48}$ peut s'écrire :	$9\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$	$\sqrt{27}$

4 points

exercice 2

Dans un collège, une enquête a été menée sur «le poids des cartables des élèves».
Pour cela, on a pesé le cartable de 48 élèves du collège.
Les résultats de cette enquête sont inscrits dans le tableau ci dessous :

Poids en kg	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Effectif	1	2	4	2	5	11	8	8	3	4

1. Calculer l'étendue de cette série statistique.

2. Déterminer la médiane de cette série statistique.

3. Déterminer, les valeurs du premier quartile et du troisième quartile de la série.

4. Une personne affirme :
«Plus des trois quarts des 48 élèves viennent en cours avec un cartable qui pèse 5 kg ou plus». A-t-elle raison ? Justifier votre réponse.

4 points

exercice 3

Un train est constitué, à l'aller, de deux locomotives identiques et de dix wagons-citernes du même modèle et ce train mesure alors 152 m de long.

Après avoir vidé le contenu de tous les wagons-citernes, on décroche une locomotive et on ajoute deux wagons-citernes vides.
Après ces changements, le train ainsi constitué mesure 160 m de long.
On cherche la longueur $x$ d'une locomotive et la longueur $y$ d'un wagon-citerne.

1. Écrire un système de deux équations à deux inconnues représentant la situation.

2. Résoudre le système $\left\lbrace\begin{array}{l c l} x + 5y&=&76 \\ x+12y &=& 160 \\ \end{array}\right.$ .

3. En déduire la longueur en mètre d'une locomotive et celle d'un wagon-citerne.

12 points

Activités géométriques

6 points

exercice 1

Sur la figure ci-contre, qui n'est pas en vraie grandeur, nous savons que :

Diplôme national du brevet Asie Juin 2009 - troisième : image 1

(C) est un cercle de centre E dont le diamètre [AD] mesure 9 cm.
B est un point du cercle (C) tel que : $\widehat{\text{AEB}} = 46\degres$ .

1. Faire la figure en respectant les dimensions données.

2. Montrer que le triangle ABD est un triangle rectangle.

3. Justifier que : $\widehat{\text{ADB}} = 23$ .

4. Calculer la longueur AB et préciser sa valeur arrondie au centième de cm.

5. On trace la droite parallèle à la droite (AB) passant par E.
Elle coupe le segment [BD] au point F.

6. Calculer la longueur EF et préciser sa valeur arrondie au dixième de cm.

6 points

exercice 2

La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur. On ne demande pas de la reproduire.

Diplôme national du brevet Asie Juin 2009 - troisième : image 7

SABC est une pyramide telle que :
    la base ABC est un triangle rectangle en B,
    AC = 5,2 cm et BC = 2 cm,
    la hauteur [SB] de la pyramide mesure 3 cm.
On rappelle que la formule de calcul du volume d'une pyramide est : $\fbox{V = \dfrac{1}{3}B \times h}$ où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée.

1. Construire un patron en vraie grandeur de la pyramide SABC.

2. Montrer que : AB = 4,8 cm.

3. Calculer le volume de la pyramide SABC en cm³.

4. On coupe la pyramide SABC par un plan parallèle à sa base pour obtenir une pyramide SA'B'C' telle que SB' = 1,5 cm.
Calculer le volume de la pyramide SA'B'C' en cm³.

12 points

Problème

Sarah et Julien possèdent un téléphone portable et veulent choisir l'abonnement mensuel le plus adapté à leur besoin. Ils ont sélectionné les trois tarifs suivants :
    Tarif 1 : Le montant de la facture de téléphone en fonction du temps de communication est représenté par le graphique donné en annexe sur la dernière page.
    Tarif 2 : Le montant de la facture de téléphone est proportionnel au temps de communication et une minute de communication coûte 0,55 €.
    Tarif 3 : Le montant de la facture de téléphone est obtenu de la façon suivante :
      On ajoute à un abonnement mensuel de 10 € un montant proportionnel au temps de communication tel qu'une minute de communication coûte 0,35 €.

Tous les montants des factures de téléphone seront exprimés en euros et les temps de communication en minutes.

Partie A - Étude du tarif 1

On considère dans cette partie le montant de la facture de téléphone quand le tarif 1 a été choisi.

1. Donner, par lecture graphique, le montant de la facture pour 20 minutes de communication. (Marquer sur le graphique de l'annexe les pointillés nécessaires à cette lecture).

2. Donner, par lecture graphique, la durée en minutes des communications qui correspond à une facture de 35 € (marquer sur le graphique de l'annexe les pointillés nécessaires à cette lecture).

3. Le montant de la facture selon le tarif 1 est-il proportionnel à la durée des communications ?
Justifier votre réponse.

Partie B - Étude du tarif 2

On considère dans cette partie le montant de la facture de téléphone quand le tarif 2 a été choisi.

1. Compléter le tableau intitulé «Étude du tarif 2» situé dans l'annexe.

2. Si $x$ représente la durée des communications (en minutes) pour un mois avec le tarif 2, donner une expression du montant de la facture en fonction de $x$ .

3. Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 0,55x$ ; représenter graphiquement la fonction $f$ dans le repère de l'annexe (le même repère que le graphique correspondant au tarif 1).

Partie C - Étude du tarif 3

On considère dans cette partie le montant de la facture de téléphone quand le tarif 3 a été choisi.

1. Compléter le tableau intitulé «Étude du tarif 3» situé dans l'annexe.

2. Si $x$ représente la durée des communications (en minutes) pour un mois avec le tarif 3, donner une expression du montant de la facture en fonction de $x$ .

3. Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = 0,35x + 10$ ; représenter graphiquement la fonction $g$ dans le repère de l'annexe (le même repère que le graphique correspondant au tarif 1).

4. Le montant de la facture selon le tarif 3 est-il proportionnel à la durée des communications ?
Justifier votre réponse.

Partie D - Comparaison des tarifs

1. Sarah a besoin de téléphoner 1 h 30 min par mois. Donner par lecture graphique le tarif le plus avantageux pour elle et marquer sur le graphique les pointillés nécessaires à cette lecture.

2. Julien ne veut pas dépenser plus de 25 € par mois pour ses communications tout en souhaitant pouvoir téléphoner le plus possible. Donner par lecture graphique le tarif le plus avantageux pour lui et marquer sur le graphique les pointillés nécessaires à cette lecture.

3. Résoudre l'inéquation $0, 55x \ge 0, 35x + 10$ .
Interpréter cette inéquation et sa résolution en termes de comparaison de tarifs.

ANNEXE

Diplôme national du brevet Asie Juin 2009 - troisième : image 3

Étude du tarif 2

Nombres de minutes de communication	20		100
Montant de la facture en euro selon le tarif 2		22

Étude du tarif 3

Nombres de minutes de communication	20	100
Montant de la facture en euro selon le tarif 3

Correction

Activités numériques

exercice 1

1. La bonne réponse est -1.
En effet,
pour $x = 10$ , $2x - 5 = 2 \times 10 - 5 = 20 - 5 = 15$ et $15 > - 1$ .
pour $x = -1$ , on a : $2x-5=2\times(-1)-5=-2-5=-7$ et $-7 \leq -1$ .
pour $x = 3$ , on a : $2 x - 5 = 2 \times 3 - 5 = 6 - 5 = 1$ et $1 > -1$ .

2. La bonne réponse est 6.
On utilise l'algorithme d'Euclide :
30 = 12 × 2 + 6
12 = 2 × 6 + 0
Le dernier reste non nul est 6, donc PGCD(30 ; 12) = 6.

3. La bonne réponse est $9x^2-49$ .
On reconnaît ici une expression de la forme $(a+b)(a-b)$ avec $a=3x$ et $b=7$ .
En utilisant les identités remarquables, on a donc : $(a+b)(a-b)=a^2-b^2=(3x)^2-7^2=\fbox{\math 9x^2-49}$ .

4. La bonne réponse est $\sqrt{3}$ .
$\sqrt{75}-\sqrt{48}=\sqrt{25 \times 3}-\sqrt{16 \times 3}=5\sqrt{3}-4\sqrt{3}=\fbox{\math\sqrt{3}}$ .

exercice 2

1. 10 - 1 = 9
L'étendue de cette série statistique est 9.

2. L'effectif total est 48. Les valeurs sont rangées dans l'ordre croissant.
On a : $48 \div 2 = 24$ , donc la médiane est comprise entre la 24^e et 25^e valeur. La 24^e valeur est 6 et la 25^e valeur est également 6.
Donc la médiane est égale à 6.

3. Déterminons le premier quartile :
L'effectif total est 48. On a $\dfrac{1}{4} \times 48 = 12$ . Le premier quartile est donc la 12^e valeur, c'est-à-dire 5.
Donc : $\boxed{q_1 = 5}$

Déterminons le troisième quartile :
On a $\dfrac{3}{4} \times 48 = 36$ . Le troisième quartile est donc la 36^e valeur, c'est-à-dire 8.
Donc : $\boxed{q_3 = 8}$

4. On a $\dfrac{3}{4} \times 48 = 36$ , donc les trois quarts des 48 élèves correspondent à 36 élèves.
Or, on peut lire d'après le tableau que 5 + 11 + 8 + 8 + 3 + 4 = 39 élèves ont un cartable pesant 5 kg ou plus.
Il y a donc plus des trois quarts des 48 élèves qui viennent avec un cartable pesant 5 kg ou plus.
NOTE : Utiliser ici le premier quartile ne permet pas de justifier que plus des 3/4 des élèves ont un cartable plus lourd que 5 kg.

exercice 3

1. Soit $x$ la longueur d'une locomotive et soit $y$ la longueur d'un wagon-citerne. ( $x$ et $y$ sont deux nombres positifs).
À l'aller, le train mesure 152 m de long et est composé de 2 locomotives et 10 wagons-citernes. On a donc l'équation $2x+10y=152$ (ou en divisant par 2 les deux membres de l'équation, $x+5y=76$ ).
Ensuite, on décroche une locomotive (il n'en reste donc plus qu'une) et on ajoute 2 wagons-citernes (il y en a donc 12), et le train mesure alors 160 m. On a donc l'équation $x+12y=160$ .
On obtient donc finalement le système $\displaystyle\left\lbrace\begin{array}{ll}x+5y=76&(1)\\x+12y=160&(2)\end{array}\right.$ .

2. Résolvons le système par substitution :
A l'aide de l'équation (1), on exprime $x$ en fonction de $y$ : $x = 76 - 5y$ . On remplace $x$ par $76 - 5y$ dans l'équation (2), on obtient :
$(76 - 5y) + 12y = 160$ . Résolvons cette équation :
$7y = 160 - 76\\ 7y = 84\\ y = \dfrac{84}{7}\\ \boxed{y = 12}$
On détermine $x$ : $x = 76 - 5y = 76 - 5 \times 12 = 76 - 60$
Donc : $\boxed{x = 16}$
La solution du système est le couple $\boxed{\math (16;12)}$ .

3. Le système résolu à la question précédente est le système obtenu à la première question. On en déduit donc que la longueur d'une locomotive est 16 mètres et celle d'un wagon-citerne est 12 mètres.

Activités géométriques

exercice 1

Diplôme national du brevet Asie Juin 2009 - troisième : image 6

2. [AD] est un diamètre de (C) et B un point de ce cercle : ainsi, le triangle ADB est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés.
ADB est donc un triangle rectangle en B.

3. Les angles $\widehat{AEB}$ et $\widehat{ADB}$ sont respectivement un angle au centre et un angle inscrit interceptant le même arc de cercle $\wideparen{AB}$ .
On a donc d'après le théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre $\widehat{ADB}=\dfrac{1}{2}\widehat{AEB}=\dfrac{46^\circ}{2}=\fbox{\math 23^\circ}$ .

4. Dans le triangle ADB rectangle en B, on a $\displaystyle\sin\left(\widehat{ADB}\right)=\dfrac{{\rm c\hat{o}t\'{e}\,oppos\'{e}\,à}\,\widehat{ADB}}{\rm hypot\'{e}nuse}=\frac{AB}{AD}$ .
Autrement dit, $AB=\sin\left(\widehat{ADB}\right)\times AD=\sin\left(23^\circ\right)\times9\simeq3,516$ soit environ 3,52 cm.

5. Dans le triangle ADB :
$E\in[AD]$ (avec E milieu de [AD]) ;
$F\in[BD]$ ;
(EF)//(AB).
Donc d'après le théorème de Thalès, sachant que E est le milieu de [AD], on a $EF=\dfrac{AB}{2}\simeq{3,52}{2}\simeq1,76$ soit environ 1,8 cm.

exercice 2

Diplôme national du brevet Asie Juin 2009 - troisième : image 4

2. Dans le triangle ABC rectangle en B, on a d'après le théorème de Pythagore :
$AC^2=AB^2+BC^2\\ AB^2=AC^2-BC^2\\ AB^2=(5,2)^2-2^2\\ AB^2=23,04\\ AB=\sqrt{23,04}\quad{\rm car}\,x\,{\rm positif}\\ {AB=4,8}\quad {\rm soit}\,4,8\,{\rm cm}$ .

3. $\displaystyle V_{SABC}=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{A}_{ABC}\times SB=\dfrac{1}{3}\times\frac{AB\times BC}{2}\times SB=\frac{4,8\times\not{2}\times\not{3}}{\not{3}\times\not{2}}=4,8$ soit 4,8 cm³.

4. On divise la hauteur de la pyramide par 2. Autrement dit, le volume de la pyramide est multiplié par (0,5)³.
Ainsi, $\displaystyle V_{SA'B'C'}=\left(\frac{1}{2}\right)^3\times V_{SABC}=\dfrac{4,8}{8}=0,6$ soit 0,6 cm³.

Problème

Partie A - Étude du tarif 1

1. Graphiquement, on lit que pour 20 minutes de communication (graduation repérée sur l'axe des abscisses), le montant de la facture s'élève à 15€ (voir pointillés oranges).

2. Graphiquement, on lit qu'une facture de 35€ (graduation repérée sur l'axe des ordonnées) correspond à un temps de communication de 75 minutes (voir pointillés roses).

3. La représentation graphique du tarif 1 en fonction du temps de communication n'est pas une droite qui passe par l'origine du repère, donc le tarif 1 n'est pas proportionnel à la durée des communications.

Partie B - Étude du tarif 2

1. Ci-dessous le tableau « Étude du tarif 2 » complété :

Nombre de minutes de communication	20	22 : 0,05 = 40	100
Montant de la facture en euro selon le tarif 2	20 × 0,05 = 11	22	100 × 0,55 = 55

2. Le montant de la facture étant proportionnel au temps de communication, et une minute étant facturée 0,55€, le montant de la facture est $\fbox{\math 0,55x}$ .

3. Voir graphique ci-dessus. La droite (en vert sur le graphique) passe notamment par l'origine du repère est le point (100;55).

Partie C - Étude du tarif 3

1. Ci-dessous le tableau « Étude du tarif 3 » complété :

Nombre de minutes de communication	20	100
Montant de la facture en euro selon le tarif 3	10+0,35*20=17	10+0,35*100=45

2. Chaque minute est facturée 0,35€, et on ajoute un forfait de 10€, donc le montant de la facture s'élève à $0,35x+10$ .

3. Voir graphique ci-dessus. La courbe représentative de la fonction $g:\,x\mapsto0,35x+10$ (en rouge sur le graphique) est une droite passant notamment par les points (0;10) et (100;45).

4. La courbe représentative de la fonction qui au temps de communication associe le montant de la facture est une droite qui ne passe pas par l'origine du repère (fonction affine) : il n'y a donc pas proportionnalité entre le tarif 3 et la durée de communication.

Partie D - Comparaison des tarifs

1. 1h30 de communication est égal à 90 minutes de communication. On repère donc la graduation « 90 » sur l'axe des abscisses et on « s'arrête » à la première droite rencontrée : le tarif le plus avantageux pour Sarah est le tarif 1.

2. On repère la graduation « 25 » sur l'axe des ordonnées et on « avance » jusqu'à la dernière droite rencontrée : le tarif le plus avantageux pour Julien est le tarif 2.

3. Résolvons l'inéquation :
$0,55x\geq0,35x+10\\ 0,55x-0,35x\geq10\\ 0,20x\geq10\\ x\geq\frac{10}{0,20}\\ \fbox{\math x\geq50}$
Par ailleurs, on constate que $0,55x$ correspond au montant du tarif 2, et $0,35x+10$ à celui du tarif 3 : autrement, le tarif 3 est plus avantageux que le tarif 2 pour une durée de communication supérieure à 50 minutes.

Diplôme national du brevet Asie Juin 2009 - troisième : image 5

Publié par TP/porcepic le 29-07-2010

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