Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Métropole-La Réunion - Session Septembre 2009

L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

12 points

Activités numériques

exercice 1

Simplifier par 3 la fraction $\dfrac{1 404}{3 465}$ . La fraction obtenue est-elle irréductible ? Justifier.

exercice 2

Pour un tirage au hasard, on a placé dans une urne 25 boules de même taille, les unes blanches, les autres noires. La probabilité de tirer une boule blanche est 0,32. Quelles sont les boules les plus nombreuses dans l'urne : les blanches ou les noires ? Expliquer.

exercice 3

La recette pour fabriquer une boisson sucrée, demande de mélanger 3 doses de sirop avec 5 doses d'eau.
Quelle quantité de sirop, exprimée en litre, faut-il utiliser pour obtenir 6 litres de cette boisson ?

exercice 4

On propose deux programmes de calcul :

Programme A

Programme B

Choisir un nombre
Multiplier ce nombre par 3
Ajouter 7

Choisir un nombre
Multiplier ce nombre par 5
Retrancher 4
Multiplier par 2

1. On choisit 3 comme nombre de départ.
Montrer que le résultat du programme B est 22.

2. On choisit (-2) comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme A ?

3. a) Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit (-2) ?
b) Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit 0 ?

4. Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes ?
Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée.
Même si cette démarche est incomplète il en sera tenu compte dans l'évaluation.

12 points

Activités géométriques

exercice 1

Diplôme national du brevet - Métropole - La réunion - Septembre 2009 - troisième : image 1

Données de la figure ci-contre :
    CDE est un triangle rectangle en C
    A appartient au segment [CD], B appartient au segment [CE] et la droite (AB) est parallèle à la droite (DE).
    Le point F est le milieu du segment [AC]
   et le point O est le milieu de [AB].
    Le point G est le symétrique de F par rapport à O.
    DE = 12 cm ; AB = 4,5 cm et AC = 1,8 cm

Parmi les quatre questions suivantes en choisir deux et rédiger avec soin leur solution. Les deux questions non choisies n'ont pas à être traitées.

1. Quelle est la nature du quadrilatère AFBG ?

2. Montrer que la droite (FO) est parallèle à la droite (CB).

3. Calculer la longueur CD.

4. Calculer une valeur approchée au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ .

exercice 2

Diplôme national du brevet - Métropole - La réunion - Septembre 2009 - troisième : image 2

La figure ci-contre représente un cône de révolution d'axe (OH).
OH = 5 cm
l'angle $\widehat{\text{HOM}}$ mesure 30°.

1. Dessiner le triangle HOM en vraie grandeur.

2. Dessiner la base du cône en vraie grandeur.

3. Calculer la longueur HM. Donner le résultat arrondi au mm.

4. On verse de l'eau dans le cône jusqu'au quart de sa hauteur. Quel pourcentage du volume total du cône est occupé par l'eau ?

12 points

Problème

Partie I : Format d'un rectangle

Sur la feuille annexe 1, cinq rectangles sont dessinés. Pour chacun, la longueur et la largeur sont indiquées. L'unité est le mm.

1. Compléter le tableau de la feuille annexe 2. (Dans la dernière ligne du tableau, toutes les fractions devront être irréductibles).

2. Cette écriture irréductible de la fraction $\dfrac{L}{\ell}$ obtenue pour chaque rectangle est appelée format du rectangle.
    a) Quels sont les rectangles du tableau qui ont le même format que le rectangle 1 ?
    b) Quels sont les rectangles du tableau qui ont le même format que le rectangle 2 ?

3. Un rectangle est au format $\dfrac{16}{9}$ .
    a) Sachant que la largeur de ce rectangle est 54 mm, calculer sa longueur.
    b) Dessiner ce rectangle en bas de la feuille annexe 1.
    c) Si on ne connaît ni la longueur $L$ ni la largeur $\ell$ , exprimer $L$ en fonction de $\ell$ .

Partie II : Étude graphique

À chaque rectangle de longueur $L$ et de largueur $\ell$ , on associe sur le graphique de la feuille annexe 2, le point de coordonnées $(l ; L)$ .
Les points $P_{1}$ et $P_{2}$ correspondant aux deux premiers rectangles sont déjà placés.

1. Placer les trois autres points.

2. Quelle conjecture peut-on faire sur la position des points correspondant aux rectangles dont le format est $\dfrac{16}{9}$ ?

3. On considère un rectangle de largeur $\ell$ et de longueur $L$ dont le format est $\dfrac{16}{9}$ .
On appelle M le point du graphique correspondant à ce rectangle. Expliquer pourquoi M appartient à la droite O $P_{1}$ .

Partie III : Étude graphique : diagonale des rectangles

Les écrans de télévision sont des rectangles qui sont en général au format $\dfrac{16}{9}$ ou $\dfrac{4}{3}$ .
Les fabricants indiquent souvent, comme caractéristique de la taille de l'écran, la longueur de sa diagonale.

1. Calculer la longueur de la diagonale du rectangle 1.

2. Pour les écrans de télévision au format $\dfrac{16}{9}$ , les fabricants considèrent que la longueur de la diagonale vaut approximativement le double de la largeur. Justifier cette approximation.

Annexe 1

À rendre avec la copie

Diplôme national du brevet - Métropole - La réunion - Septembre 2009 - troisième : image 3

Annexe 2

À rendre avec la copie

	Rectangle 1	Rectangle 2	Rectangle 3	Rectangle 4	Rectangle 5
Longueur $L$	32	36
Largeur $\ell$	18	27
$\dfrac{L}{\ell}$ sous forme irréductible	$\dfrac{16}{9}$	$\dfrac{4}{3}$

Diplôme national du brevet - Métropole - La réunion - Septembre 2009 - troisième : image 4

Correction

Activités numériques

exercice 1

Pour simplifier la fraction par 3, on divise le numérateur et le dénominateur par 3 : $\displaystyle\frac{1404}{3465}=\frac{468\times\not{3}}{1155\times\not{3}}=\fbox{\math\dfrac{468}{1155}}$ .

Pour savoir si la fraction est irréductible, on peut remarquer que 4+6+8=18 et 1+1+5+5=12 (donc 468 et 1155 sont tous deux des multiples de 3).

Sinon, on calcule ${\rm pgcd}\left(468;1155\right)$ à l'aide de l'algorithme d'Euclide :
$1155 = {\color{blue} 468}\times2 + {\color{red} 219}\\ {\color{blue} 468} = {\color{red} 219}\times2 + {\color{green} 30}\\ {\color{red} 219} = {\color{green} 30}\times 7 + {\color{cyan} 9}\\ {\color{green} 30} = {\color{cyan} 9}\times3 + {\color{magenta} 3}\\ {\color{cyan} 9} = {\color{magenta} 3}\times3 + 0$
Le PGCD étant le dernier reste non nul, on a ${\rm pgcd}\left(468;1155\right)=3$ .
Autrement dit, 468 et 1155 ne sont pas premiers entre eux : la fraction obtenue n'est pas irréductible (on peut encore la simplifier par 3).

exercice 2

La probabilité de tirer une boule blanche est ici de 0,32. La probabilité de l'événement contraire « tirer une boule noire » est donc de 1-0,32 = 0,68.
Ainsi, il y a plus de chances de tirer une boule noire qu'une boule blanche : les boules noires sont les plus nombreuses.

exercice 3

Lorsque l'on prépare la boisson, 3 doses sur 3+5=8 sont du sirop, et les 5/8 restants sont de l'eau.
Ainsi, pour préparer 6 litres de cette boisson, il faut (3/8)×6 = 2,25 soit 2,25L de sirop.

exercice 4

1. On choisit 3 comme nombre de départ, et on applique le programme B.
On multiplie ce nombre par 5 : 3×5 = 15 ;
On retranche 4 : 15-4 = 11 ;
On multiplie par 2 : 11×2 = 22.
Le résultat du programme B est donc bien 22.

2. On choisit -2 comme nombre de départ, et on applique le programme A.
On multiplie ce nombre par 3 : -2×3 = -6 ;
On ajoute 7 : -6+7 = 1.
On obtient alors le nombre 1.

3. a) Écrivons le programme A sous la forme d'une fonction. Pour cela, on choisit comme nombre de départ x.
On multiplie ce nombre par 3 : on obtient 3x ;
On ajoute 7 : on obtient 3x+7.
Pour que le résultat du programme A soit -2, il faut donc trouver le nombre $x$ solution de l'équation $3x+7=-2$ , soit $\fbox{\math x=-3}$ .

3. b) Écrivons le programme B sous la forme d'une fonction. Pour cela, on choisit comme nombre de départ x.
On multiplie ce nombre par 5 : on obtient 5x ;
On retranche 4 : on obtient 5x-4 ;
On multiplie par 2 : on obtient 2(5x-4).
Pour que le résultat du programme B soit 0, il faut donc trouver le nombre $x$ solution de l'équation $2(5x-4)=0$ . Un produit de facteurs étant nul si au moins un de ses facteurs est nul, l'équation revient donc à 5x-4=0, soit $\displaystyle\fbox{\math x=\dfrac{4}{5}}$ .

4. Si on choisit un nombre x au départ, le résultat du programme A est 3x+7 et celui du programme B est 2(5x-4).
Pour que ces deux résultats soient égaux, il faut trouver trouver le nombre $x$ solution de l'équation $3x+7=2(5x-4)$ :
$\displaystyle 3x+7 = 2(5x-4)\\ 3x+7 = 10x - 8\\ -7x = -15\\ \fbox{\math x=\dfrac{15}{7}}$

Activités géométriques

exercice 1

1. On sait par hypothèse que O est le milieu de [AB].
De plus, G est le symétrique de F par O, donc par définition O est le milieu de [GF].
Ainsi, le quadrilatère AFBG possède des diagonales qui se coupent en leur milieu : c'est un parallélogramme.

2. Dans le triangle ABC :
F est le milieu du segment [AC] ;
O est le milieu du segment [AB].
Donc d'après le théorème des milieux, la droite (FO) est parallèle au troisième côté du triangle ABC : on a donc (FO)//(CB).

3. Dans le triangle CDE :
$A\in[CD]$ ;
$B\in[CE]$ ;
(AB)//(DE).
Ainsi, d'après le théorème de Thalès, on peut écrire que $\fbox{\math \dfrac{AC}{CD}=\dfrac{AB}{DE}}=\dfrac{CB}{CE}$ .
De l'égalité encadrée, on en déduit que $CD=\dfrac{AC\times DE}{AB}=\dfrac{1,8\times12}{4,5}=4,8$ soit 4,8 cm.

4. Dans le triangle ABC rectangle en C (dont l'hypoténuse est donc [AB]), on sait que $\displaystyle\cos\left(\widehat{BAC}\right)=\frac{{\rm c\hat{o}t\'{e}\,adjacent\,à}\,\widehat{BAC}}{\rm hypot\'{e}nuse}=\frac{AC}{AB}=\frac{1,8}{4,5}=0,4$ .
Donc $\widehat{BAC}=\cos^{-1}\left(0,4)=66,4\dots$ soit environ 66°.

exercice 2

1. -

2. La construction demandée est celle d'un cercle de rayon HM.
Le calcul du rayon étant demandé dans la question suivante, on se contentera ici de reporter la longueur HM sur le dessin de la question 1.

3. On sait que dans le triangle OHM rectangle en H, $\displaystyle\tan\left(\widehat{HOM}\right)=\frac{{\rm c\hat{o}t\'{e}\,oppos\'{e}\,à}\,\widehat{HOM}}{{\rm c\hat{o}t\'{e}\,adjacent\,à}\,\widehat{HOM}}=\frac{HM}{OH}$ .
Ainsi, $HM=\tan\left(\widehat{HOM}\right)\timesOH = \tan\left(30^\circ\right)\times5=2,88\dots$ soit environ 2,9 cm.

4. Le volume total du cylindre est $V_{tot}=\dfrac{1}{3}\pi\times HM^2\times OH=\dfrac{1}{3}\pi\times(2,9)^2\times5\simeq44,03\dots$ soit 44 cm³.
Si l'on remplit le cylindre au quart, le volume est alors $V_{1/4}=\dfrac{1}{3}\pi\times HM^2\times \dfrac{OH}{4}=\dfrac{1}{3}\pi\times\left(\tan\left(30^\circ\right)\times\dfrac{5}{4}\right)^2\times\dfrac{5}{4}\simeq0,68\dots$ soit environ 0,7 cm³.
Le pourcentage du volume total du cylindre occupé par l'eau est donc $\displaystyle\frac{V_{1/4}}{V_{tot}}\times100=\frac{0,7}{44}\times100\simeq1,6$ soit environ 1,6%.
On peut également raisonner en terme d'agrandissement : si on remplit le quart du cylindre, alors le volume occupé est $\left(\dfrac{1}{4}\right)^3=\dfrac{1}{64}\simeq0.0156\simeq1,6\%$ du volume total du cylindre.

Problème

Partie I : Format d'un rectangle

	Rectangle 1	Rectangle 2	Rectangle 3	Rectangle 4	Rectangle 5
Longueur $L$	32	36	60	80	128
Largeur $l$	18	27	45	45	72
$\dfrac{L}{l}$ sous forme irréductible	$\dfrac{16}{9}$	$\dfrac{4}{3}$	$\dfrac{4}{3}$	$\dfrac{16}{9}$	$\dfrac{16}{9}$

2. a) Les rectangles ayant le même format que le rectangle 1 sont les rectangles 4 et 5.

2. b) Le rectangle ayant le même format que le rectangle 2 est le rectangle 3.

3. a) On sait que $\dfrac{L}{l}=\dfrac{16}{9}$ avec l=54mm. On a donc $L=\dfrac{16\times54}{9}=96$ soit 96 mm.

3. b) -

3. c) On sait que $\dfrac{L}{l}=\dfrac{16}{9}$ . Autrement dit, en multipliant par $l$ chacun des deux membres de l'égalité, on obtient $L=\dfrac{16}{9}\times l$ .

Partie II : Étude graphique

Diplôme national du brevet - Métropole - La réunion - Septembre 2009 - troisième : image 5

2. Il semblerait que les points correspondant aux rectangles dont le format est $\dfrac{16}{9}$ soient alignés.

3. On a montré précédemment que $L=\dfrac{16}{9}l$ : autrement dit, il y a proportionnalité entre $L$ et $l$ .
Ainsi, le point M se situe sur une droite qui passe par l'origine du repère, mais aussi par le point $P_1$ de coordonnées $\left(18;\dfrac{16}{9}\times18\right)$ .
M appartient donc à la droite $\bf (OP_1)$ .

Partie III : Étude graphique : diagonale des rectangles

1. On peut découper le rectangle 1 en deux triangles rectangles. Si on note $d$ la longueur de la diagonale, on a alors d'après le théorème de Pythagore :
$d^2 = L^2 + l^2\\ d^2 = 32^2+18^2\\ d^2 = 1348\\ d = \sqrt{1348}\quad{\rm car\,d\,est\,positif}\\ \fbox{\math d\simeq 36,7}\quad{\rm soit\,36,7\,mm}$

2. Plus généralement, pour un écran au format $\dfrac{16}{9}$ , sachant que $L=\dfrac{16}{9}l$ , on a d'après le théorème de Pythagore :
$d^2 = L^2 + l^2\\ d^2 = \left(\dfrac{16}{9}l\right)^2 + l^2\\ d^2 = \dfrac{256}{81}l^2 + \dfrac{81}{81}l^2\\ d^2 = \dfrac{337}{81}l^2\\ d = \sqrt{\dfrac{337}{81}}l\quad{\rm car\,d\,est\,positif}\\ d\simeq2,039l$
Pour un écran au format $\bf \dfrac{16}{9}$ , la longueur de la diagonale peut donc être considérée comme le double de la largeur.

Publié par TP/ correction Porcepic vérifiée le 05-12-2015

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