Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Antilles-Guyane - Session Septembre 2009

L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

12 points

Activités numériques

4 points

exercice 1

QCM : Questionnaire à choix multiple.
Pour chaque ligne du tableau, 3 réponses (A, B et C) sont proposées.
Écrire dans la dernière colonne la lettre correspondant à la bonne réponse.

Énoncé	Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse
Le PGCD de 364 et 156 est :	26	78	52
L'écriture scientifique de $\dfrac{15 \times 10^8 \times 10^{-3}}{10^2}$ est :	$1,5 \times 10^4$	$1,5 \times 10^3$	$1,5 \times 10^2$
Les solutions de l'inéquation $-3x + 7 \ge 5$ sont les nombres $x$ vérifiant :	$x \ge \dfrac{2}{3}$	$x \le \dfrac{2}{3}$	$x \le -\dfrac{2}{3}$
On donne la fonction $f$ définie par : $f(x) = 3x^2 - 5$ . $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=$	$- \dfrac{11}{3}$	-1	$\dfrac{7}{9}$

6 points

exercice 2

Lors d'un contrôle, une classe de 3^ème a obtenu les notes suivantes :
8 - 7 - 8 - 4 - 13 - 13 - 13 - 10 - 4 - 17 - 18 - 4 - 13 - 11 - 9 - 15 - 5 - 7 - 11 - 18 - 6 - 9 - 2 - 19 - 12 - 12 - 6 - 15.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant en rangeant toutes les notes par ordre croissant.

Notes	2	4			...
Effectifs	1	3			...

2. Quel est l'effectif total de ce groupe ?

3. Quelle est la moyenne des notes de cette classe ? Arrondir le résultat à 0,1 près.

4. Donner la médiane de ces notes.

5. On choisit au hasard une copie.
Quelle est la probabilité pour que la note de cette copie soit supérieure ou égale à 10 ?

2 points

exercice 3

Soustraire 3 à un nombre ou le diviser par 3 donne le même résultat. Quel est ce nombre. Justifier votre réponse.

12 points

Activités géométriques

3 points

exercice 1

QCM : Questionnaire à choix multiple.
Pour chaque ligne du tableau, 3 réponses (A, B et C) sont proposées.
Écrire dans la dernière colonne la lettre correspondant à la bonne réponse.

On a une sphère S de centre O et de rayon $r$ .
Le plan P coupe la sphère en fonnant un cercle $C$ de centre H.

Énoncé	Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse
Le rayon du cercle $C$ est égal à :	$r - \text{OH}$	$\sqrt{r^2 + \text{OH}^2}$	$\sqrt{r^2 - \text{OH}^2}$
L'aire de la sphère S est :	$\dfrac{4}{3}\times \pi \times r^2$	$4 \times \pi \times r^2$	$2 \times \pi \times r$
Le volume de la boule de rayon $r$ est :	$\dfrac{4}{3}\times \pi \times r^3$	$4 \times \pi \times r^2$	$2 \times \pi \times r$

5 points

exercice 2

Diplôme national du brevet Antilles Guyane Septembre 2009 - troisième : image 1

Soit la figure suivante où :
    ABC est un triangle rectangle en B
    AC = 13 cm et BC = 12 cm
La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.

1. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ . (On arrondira au degré).

2. O désigne le milieu de [AC].
    a) Déterminer la longueur OB.
    b) Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BOA}}$ .

4 points

exercice 3

Diplôme national du brevet Antilles Guyane Septembre 2009 - troisième : image 2

On donne :
AI = 8 cm ; IB = 10 cm ; IC = 14 cm ; ID = 11,2 cm et AB = 6 cm.
La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.

1. Montrer que le triangle IAB est rectangle en A.

2. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

3. Quelle est la nature du triangle IDC ? Justifier votre réponse.

12 points

Problème

Diplôme national du brevet Antilles Guyane Septembre 2009 - troisième : image 3

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm.
M est un point de [BC].
La perpendiculaire à (AB) passant par M coupe (AB) en P.
La perpendiculaire à (AC) passant par M coupe (AC) en Q.

Partie A

Justifier que :

1. BC = 5cm

2. Le quadrilatère APMQ est un rectangle

3. $\dfrac{\text{BP}}{3} = \dfrac{\text{BM}}{5} = \dfrac{\text{PM}}{4}$ .

Partie B

On suppose dans cette partie que BM = 2 cm.

1. Calculer BP, PM puis en déduire AP.

2. Calculer l'aire du rectangle APMQ.

Partie C

On suppose dans cette partie que BM $= x$ cm avec $0 < x < 5$ .

1. En utilisant la question 3 de la Partie A, exprimer BP et PM en fonction de $x$ .

2. En déduire AP en fonction de $x$ .

3. Pour quelle valeur de $x$ , APMQ est-il un carré?

4. On note $\mathcal{A}(x)$ l'aire, en cm² du rectangle APMQ.
Justifier que $\mathcal{A}(x) = 2,4x - 0,48x^2$ .

5. On donne la représentation graphique de la fonction $\mathcal{A}$ ci-dessous:

Diplôme national du brevet Antilles Guyane Septembre 2009 - troisième : image 4

a) En s'aidant du graphique, trouver le(s) valeur(s) de $x$ pour lesquelles l'aire du rectangle APMQ est de 1 cm²
b) Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle l'aire de APMQ est maximale. Donner cette aire maximale.

Voir la correction

Activités numériques

exercice 1

1. $\fbox{PGCD(364;156)=52}$

En effet, en appliquant l'algorithme d'Euclide (divisions successives), on a :
$364 = 2\times156+{\color{red}\fbox{52}}\\ 156=52\times3+0$
Or, le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD(364;156)=52.

2. $\fbox{\displaystyle {\rm L'écriture\,scientifique\,de}\,\frac{15\times10^8\times10^{-3}}{10^2}\, {\rm est}\,1,5\times10^4.}$

En effet : $\displaystyle\frac{15\times10^8\times10^{-3}}{10^2}=15\times10^{8+(-3)-2}=15\times10^3=1,5\times10^4$ .

3. $\fbox{\displaystyle {\rm Les\,solutions\,de\,l'inéquation}\,-3x+7\geq5\,{\rm\,sont\,les\,nombres}\,x\,{\rm vérifiant}\,:\,\,x\leq\frac{2}{3}.}$

En effet :
$-3x+7\geq 5\\ -3x\geq -2\\ x\leq \dfrac{-2}{-3}=\dfrac{2}{3}\quad\quad(-3<0)$

4. $\fbox{\displaystyle f\left(\frac{2}{3}\right)=-\frac{11}{3}}$

$\displaystyle f\left(\frac{2}{3}\right)=3\times\left(\frac{2}{3}\right)^2-5=3\times\frac{4}{9}-5=\frac{4}{3}-\frac{15}{3}=-\frac{11}{3}$

exercice 2

1. On a le tableau suivant :
$\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \rm Notes & 2 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 15 & 17 & 18 & 19\\\hline \rm Effectifs & 1 & 3 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 2 & 2 & 4 & 2 & 1 & 2 & 1\\\hline\end{tabular}$

2. L'effectif total de ce groupe est de 28 élèves.

3. $\displaystyle m=\frac{2+3\times4+5+2\times6+2\times7+2\times8+2\times9+10+2\times11+2\times12+4\times13+2\times15+17+2\times18+19}{28}=\frac{289}{28}\simeq \fbox{10,3}$ (arrondi à 0,1 près).

4. L'effectif du groupe étant de 28 élèves (nombre pair), la médiane est la moyenne de la 14^ème et de la 15^ème note (classées dans l'ordre croissant).
La médiane est donc : $\dfrac{10+11}{2}=\fbox{10,5}$ .

5. Chaque issue est équiprobable.
La probabilité $p$ d'obtenir une note supérieure ou égale à 10 est donc le quotient du nombre de notes supérieures ou égales à 10 par le nombre total de notes.
D'où : $\fbox{\displaystyle\math p=\frac{15}{28}}$ .

exercice 3

Soit $x$ le nombre cherché.
quand on soustrait 3 à ce nombre, on obtient $x-3$ ;
quand on divise par 3 ce nombre, on obtient $\dfrac{x}{3}$ .

Or, par hypothèse, ces deux nombres sont égaux, d'où l'équation :
$\displaystyle x-3=\frac{x}{3}\\ x = 3(x-3)\\ x = 3x - 9\\ 2x = 9\\ \fbox{\displaystyle x=\frac{9}{2}=4,5}$
Le nombre cherché est donc 4,5.

Activités géométriques

exercice 1

1. Le rayon du cercle est égal à $\sqrt{r^2-OH^2}$ d'après le théorème de Pythagore.

2. L'aire de la sphère S est $4\times\pi\times r^2$ (formule du cours).

3. Le volume de la boule de rayon $r$ est $\dfrac{4}{3}\times\pi\times r^2$ (formule du cours).

exercice 2

1. Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : $\sin\left(\widehat{BAC}\right)=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{12}{13}$ .
D'où $\widehat{BAC}\simeq67,3\dots$ soit 67° environ (arrondi au degré).

2. a) O étant le milieu de l'hypoténuse du triangle rectangle ABC, c'est en fait le centre de son cercle circonscrit.
Autrement dit : $\fbox{OB = OA = OC = AC/2 = 6,5}$ soit 6,5 cm.

b) Le triangle BOA est donc un triangle isocèle en O.
Ainsi, ses angles à la base sont égaux, d'où : $\widehat{BAO}=\widehat{ABO}\left(=\widehat{BAC}\right)=67^\circ$ .
De plus, dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°, d'où finalement :

$\displaystyle\widehat{BOA}=180^\circ-2\times67^\circ=180^\circ-134^\circ=\fbox{46^\circ}$ .
NB : Ici, le triangle BOA n'est pas rectangle... il est hors de question d'essayer d'utiliser des formules de trigonométrie !

exercice 3

1. On a : AI = 8 cm ; IB = 10 cm ; AB = 6 cm. Autrement dit : AB < AI < IB.
Le triangle IAB ne peut donc être rectangle qu'en A. Calculons séparément :

$\displaystyle \begin{array}l IB^2=10^2\\IB^2=100\end{array} \quad\quad\quad\quad \begin{array}l AI^2+AB^2=8^2+6^2\\AI^2+AB^2=64+36\\AI^2+AB^2=100\end{array}$
Ainsi, $AI^2+AB^2=IB^2$ : d'où d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IAB est rectangle en A.

2. Les points B,I,C et A,I,D sont alignés dans cet ordre.
Calculons séparément :
$\displaystyle\left\lbrace\begin{array}l \displaystyle \frac{AI}{ID}=\frac{8}{11,2}=\frac{5}{7}\\ \displaystyle \frac{IB}{IC}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}\end{array}\right.$
D'où d'après la réciproque du théorème de Thalès : les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

3. Le triangle IDC est un triangle rectangle (en D).
En effet, on a montré que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. De plus, le triangle IAB étant rectangle en A, les droites (IA) et (AB) sont perpendiculaires.
Or, si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre, d'où (CD) et (IA) sont perpendiculaires (et donc (CD) et (DI) également puisque (IA) et (DI) sont confondues).

Problème

Partie A

1. Dans le triangle ABC rectangle en A, on a d'après le théorème de Pythagore :
$BC^2=AB^2+BC^2\\ BC^2=3^2+4^2\\ BC^2=9+16\\ BC^2=25\\ BC=\sqrt{25}\quad{\rm car}\,BC\,{\rm positif}\\ \fbox{BC=5}\quad{\rm\bf soit}\,\bf{5}\,{\rm\bf cm}$

2. Le triangle ABC est rectangle en A donc (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
De plus, par construction, les droites (AB) et (PM) sont perpendiculaires, et idem (AC) et (MQ) sont perpendiculaires.
Or, un quadrilatère ayant 3 angles droits est un rectangle, d'où : APMQ est un rectangle.

3. On a vu que les droites (PM) et (AQ) étaient toutes deux perpendiculaires à la droite (AB).
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles. D'où (PM)//(AQ).
Dès lors, on a d'après le théorème de Thalès :

$\displaystyle\frac{BP}{BA}=\frac{BM}{BC}=\frac{PM}{AC}\quad\Longleftrightarrow\quad\fbox{\displaystyle\frac{BP}{3}=\frac{BM}{5}=\frac{PM}{4}}$

Partie B

1. D'après la question 3. de la partie précédente, on a :
$\displaystyle\left\lbrace\begin{array}l \displaystyle BP=\frac{3BM}{5}=\frac{3\times2}{5}=\frac{6}{5}=\fbox{1,2}\,\,\,{\rm soit}\,1,2\,{\rm cm}\\\\ \displaystyle PM=\frac{4BM}{5}=\frac{4\times2}{5}=\frac{8}{5}=\fbox{1,6}\,\,\,{\rm soit}\,1,6\,{\rm cm}\end{array}$

Finalement : $AB=AP+BP$ , d'où $AP=AB-BP=3-1,2=1,8$ soit 1,8 cm.

2. $\mathcal{A}(APMQ)=AP\times PM=1,8\times1,6=2,88$ soit 2,88 cm².

Partie C

1. De même qu'à la question 1. de la partie précédente, on obtient :
${\fbox{\displaystyle\left\lbrace\begin{array}l \displaystyle BP=\frac{3BM}{5}=\frac{3x}{5}\\\\ \displaystyle PM=\frac{4BM}{5}=\frac{4x}{5}\end{array}}$

2. $\fbox{\displaystyle AP=AB-BP=3-\frac{3x}{5}}$ .

3. APMQ est un carré si et seulement si AP=PM. D'où l'équation :
$\displaystyle 3-\frac{3x}{5}=\frac{4x}{5}\\ \frac{7x}{5}=3\\ x=\frac{15}{7}$
APMQ est un carré pour $\mathbf{x=\dfrac{15}{7}}$ .

4. On a :
$\begin{array}{r@{\quad=\quad}l}\mathcal{A}(x) &AP\times PM\\ & \displaystyle \left(3-\frac{3x}{5}\right)\times\frac{4x}{5}\\ & \displaystyle \frac{12x}{5}-\frac{12x^2}{25}\\ & \displaystyle \fbox{\math 2,4x - 0,48x^2}\end{array}$
D'où la formule annoncée.

5. a) Il s'agit de tracer la droite horizontale d'équation y=1 et de repérer l'abscisse des points d'intersection avec la courbe de $\mathcal{A}$ .
On détermine ainsi graphiquement que l'aire de APMQ est de 1 cm² pour x=0,45 cm ou x=4,55 cm environ.

b) On repère le point sur le sommet de la courbe.
L'abscisse de ce point nous donne pour quelle valeur de $x$ l'aire de APMQ est maximale : $\fbox{x=2,5\,{\rm cm}}$ ;
L'ordonnée de ce point donne la valeur de ce maximum : l'aire maximale vaut 3 cm².

Publié par TP/Porcepic le 23-05-2013

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