Fiche de mathématiques
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DNB Métropole 2014

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exercice 1

1.

2. Montrons que les points D, O et H sont alignés :
ABCDEFGH est un octogone régulier de centre O, donc \widehat{AOH} = \dfrac{360}{8} = 45°
On a donc : \widehat{DOH} = 4 \times \widehat{AOH} = 4 \times 45 = 180°
Donc les points D, O et H sont alignés. Le segment [DH] est un diamètre du cercle.
On sait que le point A appartient au cercle de diamètre [DH].
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle.
Donc le triangle DAH est rectangle en H.

3. On a : \widehat{BOH} = 2 \times \widehat{AOH} = 2 \times 45 = 90°
L'angle au centre \widehat{BOH} et l'angle inscrit \widehat{BEH} interceptent le même arc de cercle \wideparen{BH}.
Donc : \widehat{BEH} = \dfrac{1}{2} \times \widehat{BOH} = \dfrac{1}{2} \times 90 = 45°
D'où : \fbox{\widehat{BEH} = 45°}




exercice 2

Soit x le prix d'un cahier.

1. Dans les magasins A et B, Léa devra dépenser x euros pour l'achat d'un cahier.
Dans le magasin C, elle bénéficie de 30 % de réduction sur le cahier. Elle le paiera : \left( 1 - \dfrac{30}{100} \right) x = 0,7 x

2. a)
MagasinABC
2 cahiers2 xx + 0,5 x = 1,5 x0,7 x \times 2 = 1,4 x

Or, 1,4 x < 1,5 x < 2 x, donc si Léa veut acheter 2 cahiers, elle devra choisir le magasin C.

2. b)
MagasinABC
3 cahiers2 xx + 0,5 x + x = 2,5 x0,7 x \times 3 = 2,1 x

Or, 2 x < 2,1 x < 2,5 x, donc si Léa veut acheter 3 cahiers, elle devra choisir le magasin A.

3. Un cahier après réduction coûte 0,7 x. Elle obtient une réduction supplémentaire de 10 % : 0,7 x \times \left( 1 - \dfrac{10}{100} \right) = 0,63 x
Or, 1 - 0,63 = 0,37, donc la réduction totale est de 37 %.




exercice 3

1. Si on choisit 8 comme nombre de départ :
- Soustraire 6 : 8 - 6 = 2
- Soustraire 2 : 8 - 2 = 6
- Multiplier les deux nombres obtenus : 2 × 6 = 12
On obtient 12.

2. Proposition 1 : VRAIE
Si on choisit 5 comme nombre de départ :
- Soustraire 6 : 5 - 6 = - 1
- Soustraire 2 : 5 - 2 = 3
- Multiplier les deux nombres obtenus : (-1) × 3 = -3
Donc : Le programme peut donner un résultat négatif. La proposition 1 est vraie.

Proposition 2 : VRAIE
Si on choisit \dfrac{1}{2} comme nombre de départ :
- Soustraire 6 : \dfrac{1}{2} - 6 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{12}{2} = -\dfrac{11}{2}
- Soustraire 2 : \dfrac{1}{2} - 2 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{2} = -\dfrac{3}{2}
- Multiplier les deux nombres obtenus : -\dfrac{11}{2} \times \left(-\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{33}{4}

Proposition 3 : VRAIE
Si on choisit x comme nombre de départ :
- Soustraire 6 : x - 6
- Soustraire 2 : x - 2
- Multiplier les deux nombres obtenus : (x - 6)(x - 2)
Le programme donne 0, on a donc : (x - 6)(x - 2) = 0
Or, si un produit de facteurs est nul, alors au moins l'un de ses facteurs est nul.
x - 6 = 0\\x = 6 ou x - 2 = 0 \\x = 2
Le programme donne 0 pour exactement deux nombres : 2 et 6. La proposition 3 est donc VRAIE.

Proposition 4 : FAUSSE
On a : (x - 6)(x - 2) = x \times x + x \times (-2) - 6 \times x - 6 \times (-2) = x^2 - 2 x - 6 x + 12 = x^2 - 8 x + 12
La fonction qui, au nombre choisi au départ, associe le résultat du programme n'est pas une fonction linéaire. La proposition 4 est fausse.




exercice 4

1. a) La couleur la plus présente dans le sac est jaune.

1. b) La formule saisie dans la cellule C2 est : =B2/A2

2. On a : \dfrac{1}{5} = \dfrac{1 \times 4}{5 \times 4} = \dfrac{4}{20}
Il y a donc 4 jetons rouges dans le sac.




exercice 5

1. Réponse d) 8
car : Quand on double le rayon d'une boule, son volume est multiplié par : 23 = 8

2. Réponse a) 10 m.s-1
car : \dfrac{36 \text{ km}}{1 \text{ h}} = \dfrac{36 000 \text{ m}}{3 600 \text{ s}} = 10 \text{ m.s}^{-1}

3. Réponse c) \sqrt{21}
car : \dfrac{\sqrt{525}}{5} = \dfrac{\sqrt{25 \times 21}}{5} = \dfrac{\sqrt{25} \times \sqrt{21}}{5} = \dfrac{\sqrt{25} \times \sqrt{21}}{5} = \dfrac{5 \times \sqrt{21}}{5} = \sqrt{21}

4. Réponse a) 25 dossiers
car : 1,5 To = 1,5 × 1012 octets     et     60 Go = 60 × 109 octets
\dfrac{1,5 \times 10^{12}}{60 \times 10^9} = \dfrac{1,5}{60} \times 10^3 = 0,025 \times 10^3 = 25
Le nombre de dossiers obtenus est égal à 25.




exercice 6


1. Le point K appartient au segment [QC], donc : QK = QC - KC = 0,65 - 0,58 = 0,07 m.
On a donc : \dfrac{\text{QK}}{\text{QP}} = \dfrac{0,07}{5} = 0,014
Les feux de croisement de Pauline sont réglés avec une inclinaison égale à 0,014.

2. Dans le triangle QPK rectangle en Q, on a :
\tan \widehat{QPK} = \dfrac{\text{QK}}{\text{PQ}} = \dfrac{0,07}{5}
Donc \widehat{QPK} = \tan^{-1} \left( \dfrac{0,07}{5} \right) \approx 0,8
L'angle \widehat{QPK} mesure environ 0,8° (valeur arrondie au dixième de degré).

3. On sait que les droites (AP) et (KC) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (AC).
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles.
Donc les droites (AP) et (KC) sont parallèles.

Les droites (PK) et (AC) sont sécantes en S. Les droites (AP) et (KC) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{SC}{SA} = \dfrac{SK}{SP} = \dfrac{KC}{AP}
\dfrac{SC}{SC + 5} = \dfrac{KC}{AP} = \dfrac{0,58}{0,65}
De \dfrac{SC}{SC + 5} = \dfrac{0,58}{0,65}, on déduit :
SC \times 0,65 = 0,58 \times (SC + 5)
0,65 SC = 0,58 SC + 2,9
0,07 SC = 2,9
SC = \dfrac{2,9}{0,09}
SC \approx 41 \text{ m}
D'où : SA = SC + CA \approx 41 + 5 \approx 46
La distance AS d'éclairage des feux est d'environ 46 m (valeur arrondie au mètre).




exercice 7



1. On commence par calculer le volume de la botte : 90\times 45\times 35=141750\text{ cm}^3= 0,141750\text{ m}^3
En utilisant l'information 3, on trouve la masse de la botte : 0,141750\times 90=12,7575\text{ kg}=0,0127575\text{ t}
Le prix est alors : 0,0127575\times 40=0,5103\text{ euro}\approx 0,51\text{ euro (arrondi au centime) }

2.a) Pour savoir le nombre de bottes nécessaire, il faut connaître l'aire de la surface grisée :
Sachant que l'aire d'un rectangle est égale au produit de sa longueur par sa largeur, et que la longueur FG=BC=15,3\text{ m}, il faut juste trouver la largeur JF

D'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle IFJ rectangle en I, on a : IJ^2+IF^2=JF^2
De plus, on a : IJ=AJ-AI=7,7-5=2,7\text{ m} et IF=3,6\text{ m}
Donc, JF^2=(2,7)^2+(3,6)^2=20,25
On en déduit que : JF=\sqrt{20,25}=4,5\text{ m} \text{ (On ne prend que la valeur positive puisqu'il s'agit d'une distance) }
L'aire de la partie grisée est donc : GF\times JF=15,3\times 4,5=68,85\text{ m}^2
L'aire de la base d'une botte est : 90\times 45= 4050\text{ cm}^2=0,405\text{ m}^2
Le nombre de bottes nécessaire est donc : \dfrac{68,85}{0,405}=170

2.b) D'après 1. , le prix d'une botte est 0,51 \text{ euro }
Donc le prix nécessaire pour isoler le toit est : 170\times 0,51=86,7\text{ euros}
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