Fiche de mathématiques

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Exercices maison

exercice 1

Calculer les expressions suivantes:
A = $(2-\sqrt{11})+(2+\sqrt{11})$
B = $(2-\sqrt{11})(2+\sqrt{11})$
C = $(2\sqrt{3}-1)(2\sqrt{3}+1)$
D = $\dfrac{64\times10^3}{5\times10^{-2}}$
E = $(\sqrt{5}+2)^2$
F = $\dfrac{1}{\dfrac{7}{10}-\dfrac{9}{13}}$
G = $3\sqrt{3}+3\sqrt{12}-2\sqrt{75}$
H = $4\sqrt{18}+\sqrt{72}-\sqrt{50}$

exercice 2

x étant un nombre, soit E = 16 - (2x + 3)²
1. Développer E et réduire l'expression obtenue.
2. Factoriser E.
3. Résoudre l'équation (1 - 2x)(7 + 2x) = 0.

exercice 3

1. Résoudre le système:
$\left \lbrace \begin{array}{l}x+y = 76 \\ 67x+85y = 5920\\ \end{array} \right.$

2. Un particulier achète 76 plants d'arbres fruitiers constitués de pommiers à 67 francs le pied et de poiriers à 85 francs le pied; le montant de la facture s'élève à 5920 francs.
a) Mettre le problème en équations.
b) Déterminer le nombre d'arbres fruitiers de chaque sorte.

exercice 4

Développer et réduire les expressions suivantes:
A = $(\sqrt{2}-1)^2$
B = $(\sqrt{2}-1)(3\sqrt{2}+1)$
C = $(4+5\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2}-3)(3\sqrt{2}+7)$
D = $2\sqrt{3}-\sqrt{300}+3\sqrt{12}$

Correction

exercice 1

A = 2 - $\sqrt{11}$ + 2 + $\sqrt{11}$
A = 2 + 2
A = 4

B = 2² - $\sqrt{11}$ ² (identité remarquable)
B = 4 - 11
B = -7

C = (2 $\sqrt{3}$ )² - 1² (identité remarquable)
C = 2² $\sqrt{3}$ ² - 1
C = 4×3 - 1
C = 12 - 1
C = 11

D = $\dfrac{64\times10^3}{5\times10^{-2}}$
D = $\dfrac{64}{5}\times10^{3-(-2)}$
D = $\dfrac{64}{5}\times10^{5}$
D = 12,8 × 10⁵
D = 1,28 × 10⁶

E = ( $\sqrt{5}$ + 2)²
E = $\sqrt{5}$ ² + 2 × 2 $\sqrt{5}$ + 2² (identité remarquable)
E = 5 + 4 $\sqrt{5}$ + 4
E = 9 + 4 $\sqrt{5}$

F = $\dfrac{1}{\dfrac{7}{10}-\dfrac{9}{13}}$
F = $\dfrac{1}{\dfrac{7\times13}{10\times13}-\dfrac{9\times10}{13\times10}}$ (on réduit au même dénominateur)
F = $\dfrac{1}{\dfrac{91}{130}-\dfrac{90}{130}}$
F = $\dfrac{1}{\dfrac{1}{130}}$
F = 130

G = $3\sqrt{3}+3\sqrt{12}-2\sqrt{75}$
G = 3 $\sqrt{3}$ + 3 $\sqrt{4\times3}$ - 2 $\sqrt{25\times3}$
G = 3 $\sqrt{3}$ + 2 × 3 $\sqrt{3}$ - 5 × 2 $\sqrt{3}$
G = 3 $\sqrt{3}$ + 6 $\sqrt{3}$ - 10 $\sqrt{3}$
G = - $\sqrt{3}$

H = $4\sqrt{18}+\sqrt{72}-\sqrt{50}$
H = $4\sqrt{9\times2}+\sqrt{9\times8}-\sqrt{25\times2}$
H = $3\times4\sqrt{2}+3\sqrt{8}-5\sqrt{2}$
H = $12\sqrt{2}+3\sqrt{4\times2}-5\sqrt{2}$
H = $12\sqrt{2}+2\times3\sqrt{2}-5\sqrt{2}$
H = $12\sqrt{2}+6\sqrt{2}-5\sqrt{2}$
H = $13\sqrt{2}$

exercice 2

1. Développons E :
E = 16 - (2x + 3)²
E = 16 - [(2x)² + 2 × 3 × 2x + 3²]
E = 16 - 4x² - 12x - 9
E = -4x² - 12x + 7

2. Factorisons E : (identité remarquable)
E = [4 - (2x + 3)][4 + (2x + 3)]
E = (1 - 2x)(7 + 2x)

3. Résolvons E = 0 :
(1 - 2x) (7 + 2x) = 0
(1 - 2x) = 0 ou(7+2x) = 0
2x = 1 ou 2x = -7
x = $\dfrac{1}{2}$ ou x = $-\dfrac{7}{2}$
Les solutions de l'équation sont $\dfrac{1}{2}$ et $-\dfrac{7}{2}$ .

exercice 3

1. Résolution du système
$\left \lbrace \begin{array}{l@{ }l}x + y = 76 & (L_1) \\ 67x + 85y = 5920 & (L_2) \\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l@{ }l}85x + 85y = 6460 & (85 L_1) \\ 67x + 85y = 5920 & (L_2)\\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l@{ }l}18x = 540 & (85 L_1 - L_2) \\ 67x + 85y = 5920 & (L_2)\\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l}x = 540/18 \\ 67x + 85y = 5920\\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l}x = 30 \\ 67x + 85y = 5920\\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l}x = 30 \\ 67×30 + 85y = 5920\\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l}x = 30 \\ 85y = 5920 - 2010\\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l}x = 30 \\ 85y = 3910\\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l}x = 30 \\ y = 3910/85\\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l}x = 30 \\ y = 46\\ \end{array} \right.$

2. Soit x le nombre de pommiers
Soit y le nombre de poiriers

Il y a 76 plants d'arbres fruitiers en tout (pommiers + poiriers)
donc x + y = 76

Un pommier coûte 67 francs donc x pommiers coûtent 67x francs
Un poirier coûte 85 francs donc y poiriers coûtent 85y francs

Le prix total des x pommiers et des y poiriers est 5920 F
Soit 67x + 85y = 5920

On obtient le système
$\left \lbrace \begin{array}{l}x + y = 76 \\ 67x + 85y = 5920\\ \end{array} \right.$

Dont les solutions sont :
$\left \lbrace \begin{array}{l}x = 30 \\ y = 46\\ \end{array} \right.$

Il y a donc 30 pommiers et 46 poiriers.

exercice 4

A = $\sqrt{2}^2-2\sqrt{2}+1$ (identité remarquable)
A = $2-2\sqrt{2}+1$
A = $3-2\sqrt{2}+1$

B = $3\sqrt{2}\sqrt{2}+\sqrt{2}-3\sqrt{2}+1$
B = $3\times2+(-2\sqrt{2})+1$
B = $5-2\sqrt{2}$

C = 4² + 2 × 4 × 5 $\sqrt{2}$ + (5 $\sqrt{2}$ )² + 2 × 3 × $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ + 7 × 2 $\sqrt{2}$ - 3 × 3 $\sqrt{2}$ - 3 × 7
C = 16 + 40 $\sqrt{2}$ + 25 × 2 + 6 × 2 + 14 $\sqrt{2}$ - 9 $\sqrt{2}$ - 21
C = 57 + 45 $\sqrt{2}$

D = 2 $\sqrt{3}$ - $\sqrt{3\times100}$ + 3 $\sqrt{4\times3}$
D = 2 $\sqrt{3}$ - 10 $\sqrt{3}$ + 3 × 2 $\sqrt{3}$
D = 2 $\sqrt{3}$ - 10 $\sqrt{3}$ + 6 $\sqrt{3}$
D = -2 $\sqrt{3}$

Publié par Tom_Pascal le 20-09-2019

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