Fiche de mathématiques

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Géométrie

exercice 1

La figure ci dessous est un cube ABCDEFGH d'arête 4 cm.

sept activités géométriques - troisième : image 1

1. Indiquer sans justification la nature du quadrilatère AEGC.

2. Calculer EG.

3. Calculer la longueur de la diagonale [EC].

exercice 2

Une pyramide ABCDE est inscrite dans un pavé droit dont la base BCDE est un carré de côté 4 cm et dont la hauteur mesure 3 cm.

sept activités géométriques - troisième : image 2

1. Calculer le volume de la pyramide.

2. Calculer AE.

3. Dessiner en vraie grandeur, dans le plan de la feuille, la face AED de la pyramide.

4. Calculer la valeur exacte de AD.

exercice 3

On remplit un cône de 9 cm de hauteur et de 8 cm de diamètre de base avec de la glace.
à la vanille pour les $\dfrac{2}{3}$ de la hauteur,
au chocolat pour la partie restante.

sept activités géométriques - troisième : image 3

1. Calculer le volume de glace qu'il contient.

2. Calculer le volume de la glace à la vanille et celui de la glace au chocolat.
Par quelles fractions faut il multiplier le volume total de glace pour obtenir ces deux volumes ?
Les différents volumes seront arrondis au cm³ près.

exercice 4

Un silo à céréales à la forme d'un cylindre de révolution accolé à un cône de révolution de même base.

sept activités géométriques - troisième : image 4

Le disque de base a 10 m de diamètre et les hauteurs du cylindre et du cône sont respectivement 30 m et 10 m.
Quel est le volume exact du silo ?
Donner la valeur arrondie au m³.

exercice 5

ABCDEFGH est un cube d'arête AB = 12 cm.
I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [AE], K est le milieu du segment [AD].

sept activités géométriques - troisième : image 5

1. Quelle est l'aire du triangle AKI ?

2. Quel est le volume de la pyramide AIKJ de base AKI ?

3. Quelle fraction du volume du cube représente le volume de la pyramide AIKJ ?
Ecrire le résultat sous forme d'une fraction de numérateur 1.

exercice 6

sept activités géométriques - troisième : image 6

Un jouet "Culbuto" est constitué d'une demi-boule de rayon 4 cm surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 9 cm.
Calculer le volume en cm³ de ce jouet (arrondir le résultat au cm³).

exercice 7

L'unité de longueur est le centimètre.
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AD = DH = 4 et AB = 10. I est le milieu de [AB].

sept activités géométriques - troisième : image 7

1. a) Réprésenter en vraie grandeur la face ABCD et placer le point I.
b) Calculer DI. On donnera la valeur exacte.

2. a) Calculer l'aire du triangle DIC.
b) Calculer la valeur exacte du volume de la pyramide HDIC.
En donner ensuite une valeur approchée entière à 1 cm³ près.

Correction

exercice 1

1. AEGC est un rectangle.

2. Calculons EG :
Dans le triangle EHG rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :
EG² = EH² + GH²
EG² = 4² + 4²
EG² = 16 + 16
EG² = 32
Donc : EG = $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2}$
D'où : EG = $4\sqrt{2}$ cm.

3. Calculons EC :
Dans le triangle EGC rectangle en G, on applique le théorème de Pythagore :
EC² = EG² + GC²
EC² = 32 + 16
EC² = 48
Donc : EC = $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3}$
D'où : EC = $4\sqrt{3}$ cm.

exercice 2

1. Calculons le volume $\mathcal{V}$ de la pyramide :
$\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire de la base.
Dans notre exercice, la base est le carré BCDE de côté 4 cm et la hauteur [AB] mesure 3 cm, on a donc :
$\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \text{DC}^2 \times \text{AB}\\ \mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times 4^2 \times 3\\ \mathcal{V} = \dfrac{4^2 \times 3}{3}$
D'où : le volume de la pyramide ABCDE est de 16 cm³.

2. Calculons AE :
Dans le triangle ABE rectangle en B, on applique le théorème de Pythagore :
AE² = AB² + BE²
AE² = 3² + 4²
AE² = 9 + 16
AE² = 25
Donc AE = $\sqrt{25}$
D'où : AE = 5 cm.

3. Dessinons la face AED de la pyramide en vraie grandeur :
AED est un triangle rectangle en E avec AE = 5 cm et ED = 4 cm.

sept activités géométriques - troisième : image 8

4. Calculons la valeur exacte de AD :
Dans le triangle AED rectangle en E, on applique le théorème de Pythagore :
AD² = AE² + ED²
AD² = 5² + 4²
AD² = 25 + 16
AD² = 41
Donc : AD = $\sqrt{41}$ cm.

exercice 3

1. Calculons le volume de glace du cône :
$\mathcal{V}_{cone} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times h$ , donc :
$\mathcal{V}_{cone} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 9\\ \mathcal{V}_{cone} = 16 \times 3 \times \pi\\ \mathcal{V}_{cone} = 48\pi$
D'où : le volume du cône est de $48\pi$ cm³, soit environ 151 cm³.

2. Volume de la glace à la vanille :
La glace à la vanille correspond à un cône dont la base est un disque de rayon $4 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3}$ cm et de hauteur $9 \times \dfrac{2}{3} = 6$ cm. Donc :
$\mathcal{V}_{\text{vanille}} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times (\dfrac{8}{3})^2 \times 6 = \dfrac{128\pi}{9}$
D'où : Le volume de la glace à la vanille est de $\dfrac{128\pi}{9}$ m³, soit environ 45 cm³.

Volume de la glace au chocolat :
$\mathcal{V}_{\text{chocolat}} = \mathcal{V}_{\text{cone}} - \mathcal{V}_{\text{vanille}}\\ \mathcal{V}_{\text{chocolat}} = 48\pi - \dfrac{128\pi}{9}\\ \mathcal{V}_{\text{chocolat}} = \dfrac{432\pi}{9} - \dfrac{128\pi}{9}\\ \mathcal{V}_{\text{chocolat}} = \dfrac{304\pi}{9}$
Donc : le volume de la glace au chocolat est de $\dfrac{304\pi}{9}$ cm³, soit environ 106 cm³.

Déterminons par quelles fractions on multiplie le volume total de glace pour obtenir ces deux volumes :
On a : $\dfrac{\mathcal{V}_{\text{vanille}}}{\mathcal{V}} = \dfrac{\dfrac{128\pi}{9}}{48\pi} = \dfrac{128\pi}{9} \times \dfrac{1}{48\pi} = \dfrac{128}{9 \times 48} = \dfrac{8}{27} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3$
et $\dfrac{\mathcal{V}_{\text{chocolat}}}{\mathcal{V}} = \dfrac{\dfrac{304\pi}{9}}{48\pi} = \dfrac{304}{9 \times 48} = \dfrac{19}{27}$ .

D'où : pour obtenir le volume de vanille, il faut muliplier le volume de glace par $\dfrac{8}{27}$ et pour obtenir le volume de chocolat il faut muliplier le volume total par $\dfrac{19}{27}$ .

exercice 4

Déterminons le volume exact du silo :
$\mathcal{V}_{\text{silo}} = \mathcal{V}_{\text{cylindre}} + \mathcal{V}_{\text{cone}}\\ \mathcal{V}_{\text{silo}} = \pi \times R^2 \times h + \dfrac13 \times \pi \times R^2 \times h\\ \mathcal{V}_{\text{silo}} = \pi \times 5^2 \times 30 + \dfrac13 \times \pi \times 5^2 \times 10\\ \mathcal{V}_{\text{silo}} = 750\pi + \dfrac{250\pi}{3}\\ \mathcal{V}_{\text{silo}} = \dfrac{2\,250\pi}{3} + \dfrac{250\pi}{3}\\ \mathcal{V}_{\text{silo}} = \dfrac{2\,500 \pi}{3}$
D'où : le volume du silo à céréales est de $\dfrac{2\,500 \pi}{3}$ m³, soit environ 2 618 m³.

exercice 5

1. Calculons l'aire du triangle AKI :
AKI est un triangle rectangle en A, donc :
$\mathcal{A} = \dfrac{\text{AK} \times \text{AI}}{2} = \dfrac{\dfrac{\text{AD}}{2} \times \dfrac{\text{AB}}{2}}{2} = \dfrac{\dfrac{12}{2} \times \dfrac{12}{2}}{2} = \dfrac{6 \times 6}{3} = \dfrac{36}{2}$
D'où : l'aire du triangle AKI est de 18 cm².

2. Calculons le volume de la pyramide AIKJ de base AKI :
$\mathcal{V}_{\text{AIKJ}} = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire de la base.
$\mathcal{V}_{\text{AIKJ}} = \dfrac13 \times \mathcal{A}_{\text{AKI}} \times h\\ \mathcal{V}_{\text{AIKJ}} = \dfrac13 \times \mathcal{A}_{\text{AKI}} \times AJ\\ \mathcal{V}_{\text{AIKJ}} = \dfrac13 \times \mathcal{A}_{\text{AKI}} \times \dfrac{\text{AE}}{2}\\ \mathcal{V}_{\text{AIKJ}} = \dfrac13 \times 18 \times 6\\ \mathcal{V}_{\text{AIKJ}} = 36$
D'où : le volume de la pyramide AIKJ de base AKI est de 36 cm³.

3. Fraction du volume du cube représentant le volume de la pyramide AIKJ :
$\dfrac{\mathcal{V}_{\text{AIKJ}}}{\mathcal{V}_{\text{cube}}} = \dfrac{36}{\text{AB}^3} = \dfrac{36}{12^3} = \dfrac{36}{1\,728} = \dfrac{36}{36 \times 48} = \dfrac{1}{48}$
D'où : le volume de la pyralide AIKJ représente les $\dfrac{1}{48}$ du volume du cube.

exercice 6

Calculons le volume du jouet :
$\mathcal{V}_{\text{jouet}} = \mathcal{V}_{\text{demi-boule}} + \mathcal{V}_{\text{cone}}\\ \mathcal{V}_{\text{jouet}} = \dfrac{\dfrac43 \pi R^3}{2} + \dfrac13 \pi R^2 \times h\\ \mathcal{V}_{\text{jouet}} = \dfrac{4\pi R^3}{6} + \dfrac13 \pi R^2 \times h\\ \mathcal{V}_{\text{jouet}} = \dfrac{2\pi R^3}{3} + \dfrac13 \pi R^2 \times h\\ \mathcal{V}_{\text{jouet}} = \dfrac{2 \pi \times 4^3}{3} + \dfrac13 \times \pi \times 4^2 \times 9\\ \mathcal{V}_{\text{jouet}} = \dfrac{128\pi}{3} + \dfrac{144\pi}{3}\\ \mathcal{V}_{\text{jouet}} = \dfrac{272\pi}{3}$
D'où : le volume du jouet est de $\dfrac{272\pi}{3}$ cm³, soit eniron 285 cm³.

exercice 7

1. a) Représentation en vraie grandeur de la face ABCD :
ABCD est un rectangle de longueur AB = 10 cm et de largeur AD = 4 cm. I est le milieu du segment [AB].

sept activités géométriques - troisième : image 9

1. b) Calculons DI :
Dans le triangle ADI rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :
DI² = DA² + AI²
DI² = 4² + 5²
DI² = 16 + 25
DI² = 41
Donc : DI = $\sqrt{41}$ cm.

2. a) Aire du triangle DIC :
$\mathcal{A}_{\text{DIC}} = \dfrac{b \times h}{2} = \dfrac{\text{DC} \times \text{AD}}{2} = \dfrac{10 \times 4}{2}$
D'où : l'aire du triangle DIC est de 20 cm².

2. b) Calculons le volume de la pyramide HDIC :
$\mathcal{V}_{\text{HDIC}} = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire de la base de la pyramide
$\mathcal{V}_{\text{HDIC}} = \dfrac13 \times \mathcal{A}_{\text{DIC}} \times \text{DH}\\ \mathcal{V}_{\text{HDIC}} = \dfrac13 \times 20 \times 4\\ \mathcal{V}_{\text{HDIC}} = \dfrac{80}{3}$
Donc : le volume de la pyramide HDIC est de $\dfrac{80}{3}$ cm³, soit environ 27 cm³.

Publié par Tom_Pascal le 20-09-2019

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