Fiche de mathématiques

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Sphère et géométrie dans l'espace

exercice

Sur la figure ci-dessous, $SABCD$ est une pyramide à base carrée de hauteur $SA$ telle que $AB=9$ cm et $SA=12$ cm.

Le triangle $SAB$ est rectangle en $A$ .

Partie A

$EFGH$ est la section de la pyramide $SABCD$ par le plan parallèle à la base et telle que $SE=3$ cm.
1.a Calculer $EF$ .
$\quad$ b. Calculer $SB$ .

2.a Calculer le volume de la pyramide $SABCD$ .
$\quad$ b. En déduire le volume de $SEFGH$ . On donnera une valeur arrondie à l'unité.

Partie B
Soit $M$ un point de $SA$ tel que $SM=x$ cm, où $x$ est comprise entre $0$ et $12$ .
On appelle $MNPQ$ la section de la pyramide $SABCD$ par le plan parallèle à la base passant par $M$ .

Sphère et géométrie dans l'espace, Exercice d'application : image 1

1. Montrer que $MN=0,75x$ .
2. Soit $A(x)$ l'aire du carré $MNPQ$ en fonction de $x$ .
Montrer que $A(x)=0,5625x^2$ .
3. Pour quelle valeur de $x$ l'aire $A(x)$ est-elle égale à l'aire d'une sphère de rayon $1,5$ cm.

Voir le cours sur la géométrie dans l'espace.

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Partie A
1.a. $EFGH$ est la section de la pyramide $SABCD$ par le plan parallèle à la base et telle que $SE=3$ cm. Par conséquent la pyramide $SEFGH$ est une réduction de la pyramide $SABCD$ de rapport $k=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$ .
Donc $EF=\dfrac{1}{4}AB = 2,25$ cm.
b. Dans le triangle $SAB$ est rectangle en $A$ .
D'après le théorème de Pythagore on a $SB^2=SA^2+AB^2$ .
Donc $SB^2=144+81=225$ et $SA=\sqrt{225}=15$ .

2.a. Le volume de $SABCD$ est $\mathscr{V}=\dfrac{AB^2\times SA}{3}=324$ cm $^3$ .
b. Le volume de la pyramide $SEFGH$ est donc :
$\mathscr{V}' = \left(\dfrac{1}{4}\right)^3\mathscr{V} = \dfrac{81}{16} \approx 5$ cm $^3$ .

Partie B
1. La pyramide $SMNPQ$ est une réduction de rapport $k=\dfrac{x}{12}$ de la pyramide $SABCD$ .
Par conséquent $MN=\dfrac{x}{12}\times AB=0,75x$ .

2. Ainsi $MNPQ$ est un carré et son aire est $A(x)=(0,75x)^2=0,5625x^2$ .

3. L'aire de la sphère de rayon $1,5$ cm est $A'=4\pi\times 1,5^2=9\pi$ cm $^2$ .
On veut donc résoudre $0,5625x^2=9\pi$ soit $x^2=\dfrac{9\pi}{0,5625}=16\pi$ .
Puisque $x\ge 0$ on a $x=4\sqrt{\pi}$ cm.

Publié par Prof digiSchool le 08-04-2020

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