Fiche de mathématiques
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Sphère et géométrie dans l'espace

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exercice

Sur la figure ci-dessous, SABCD est une pyramide à base carrée de hauteur SA telle que AB=9 cm et SA=12 cm.
Sphère et géométrie dans l'espace, Exercice d'application : image 2
Le triangle SAB est rectangle en A.

Partie A
EFGH est la section de la pyramide SABCD par le plan parallèle à la base et telle que SE=3 cm.
1.a Calculer EF.
\quadb. Calculer SB.

2.a Calculer le volume de la pyramide SABCD.
\quadb. En déduire le volume de SEFGH. On donnera une valeur arrondie à l'unité.

Partie B
Soit M un point de SA tel que SM=x cm, où x est comprise entre 0 et 12.
On appelle MNPQ la section de la pyramide SABCD par le plan parallèle à la base passant par M.
Sphère et géométrie dans l'espace, Exercice d'application : image 1
1. Montrer que MN=0,75x.
2. Soit A(x) l'aire du carré MNPQ en fonction de x.
Montrer que A(x)=0,5625x^2.
3. Pour quelle valeur de x l'aire A(x) est-elle égale à l'aire d'une sphère de rayon 1,5 cm.


Voir le cours sur la géométrie dans l'espace.




Partie A
1.a. EFGH est la section de la pyramide SABCD par le plan parallèle à la base et telle que SE=3 cm. Par conséquent la pyramide SEFGH est une réduction de la pyramide SABCD de rapport k=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}.
Donc EF=\dfrac{1}{4}AB = 2,25 cm.
b. Dans le triangle SAB est rectangle en A.
D'après le théorème de Pythagore on a SB^2=SA^2+AB^2.
Donc SB^2=144+81=225 et SA=\sqrt{225}=15.

2.a. Le volume de SABCD est \mathscr{V}=\dfrac{AB^2\times SA}{3}=324 cm ^3.
b. Le volume de la pyramide SEFGH est donc :
\mathscr{V}' = \left(\dfrac{1}{4}\right)^3\mathscr{V} = \dfrac{81}{16} \approx 5 cm^3.

Partie B
1. La pyramide SMNPQ est une réduction de rapport k=\dfrac{x}{12} de la pyramide SABCD.
Par conséquent MN=\dfrac{x}{12}\times AB=0,75x.

2. Ainsi MNPQ est un carré et son aire est A(x)=(0,75x)^2=0,5625x^2.

3. L'aire de la sphère de rayon 1,5 cm est A'=4\pi\times 1,5^2=9\pi cm^2.
On veut donc résoudre 0,5625x^2=9\pi soit x^2=\dfrac{9\pi}{0,5625}=16\pi.
Puisque x\ge 0 on a x=4\sqrt{\pi} cm.

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