Fiche de mathématiques
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Sphère et géométrie dans l'espace

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Prérequis :
Tu as déjà étudié, les années précédentes, quelques solides de l'espace. Tu pourras donc avoir besoin de réutiliser certaines notions les concernant en particulier les formules de volumes et d'aires. A l'intérieur de ces solides tu utiliseras souvent des propriétés de géométrie plane comme le théorème de Thalès ou celui de Pythagore. Tu dois donc maîtriser toutes ces propriétés et la façon de les utiliser pour pouvoir mettre en application ce que tu verras dans ce chapitre.

Enjeu :
Ce chapitre complète le cours que tu as eu jusqu'à présent sur la géométrie dans l'espace. De nouvelles notions de géométrie dans l'espace seront ensuite étudiées en seconde et en terminale S. Il est donc important d'avoir bien compris ce chapitre en troisième pour pouvoir ensuite aborder sereinement les classes de lycée.

I. Sphère

Définition :
On appelle sphère de centre O et de rayon R l'ensemble des points M de l'espace tels que OM=R.

Sphère et géométrie dans l'espace : image 2
Définition :
On appelle boule de centre O et de rayon R l'ensemble des points M de l'espace tels que OM \leqslant R.


Remarque : Une sphère est donc l'enveloppe extérieure d'une boule. Il s'agit, dans l'espace, de la même différence qui existe entre un cercle et un disque, dans le plan.
Propriété :
Le volume d'une boule de rayon R est \mathscr{V}=\dfrac{4}{3}\pi R^3.
L'aire d'une sphère de rayon R est \mathscr{A}=4\pi R^2.

Exemple : Si R = 2 cm alors :
\bullet le volume de la boule est \mathscr{V}=\dfrac{4}{3}\times \pi \times 2^3 = \dfrac{32\pi}{3} cm^3
\bullet l'aire de la sphère est \mathscr{A}=4\times \pi \times 2^2 = 16\pi cm^2

II. Section d'une sphère par un plan

Définition :
On appelle section d'un solide par un plan, l'intersection de ce solide et du plan.

Propriété :
La section d'un sphère par un plan est un cercle.

Sphère et géométrie dans l'espace : image 11
Remarque : Il existe deux cas extrêmes:
le cercle est réduit à un point. On dit alors que le cercle est tangent à la sphère.
le plan passe par le centre de la sphère. La section est alors un grand cercle de la sphère. Il partage la sphère en deux demi-sphères. Dans le cas, du globe terrestre, cela correspond par exemple à l'équateur.
Sphère et géométrie dans l'espace : image 9
Si on appelle O' le centre du cercle de section et O le centre de la sphère, alors la droite (OO') est perpendiculaire au plan de section.
Le point M étant un point de la sphère, la distance OM est égale au rayon du cercle. On peut ainsi appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle OO'M si on connaît une deuxième longueur pour calculer la longueur manquante.
En géographie, on repère les points sur le globe terrestre à l'aide de parallèles et de méridiens.
Sphère et géométrie dans l'espace : image 8


III. Section de solides par un plan

Propriété :
La section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face ou à une arête est un rectangle.

le plan est parallèle à l'une des faces
Sphère et géométrie dans l'espace : image 1
Sphère et géométrie dans l'espace : image 12
Sphère et géométrie dans l'espace : image 3
le plan est parallèle à une arête.
Sphère et géométrie dans l'espace : image 6
Propriété :
La section d'un cylindre de révolution de rayon R par un plan perpendiculaire à l'axe de révolution est un disque de rayon R et dont le centre appartient à l'axe de révolution du cylindre.

Sphère et géométrie dans l'espace : image 5
Propriété :
La section d'un cylindre de révolution par un plan parallèle à l'axe de révolution est un rectangle.

Sphère et géométrie dans l'espace : image 7
Propriété :
La section d'un cône de révolution par un plan parallèle au disque de base est est un disque . Ce disque est une réduction du disque de base du cône.

Sphère et géométrie dans l'espace : image 10
Propriété :
La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est polygone. Ce polygone est une réduction du polygone de base.

Sphère et géométrie dans l'espace : image 4
Remarque : Ces deux dernières propriétés nous permettent d'utiliser le théorème de Thalès. Tous les rapports seront égaux au coefficient de réduction.
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