Fiche de mathématiques
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Les Racines Carrées

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Cours de maths de 3ème

I. Carré d'un nombre

Pour tout nombre a, le carré de a est a²= a × a.
a² est le carré de a.


Exercice :
On connaît a² et on veut retrouver a.
a² = 25, alors a = 5 ou a = -5.
AB est une longueur. AB² = 13, alors AB = \sqrt{13} (AB est positif car c'est une longueur).
troncature au millième: AB \approx 3,605
arrondi au centième: AB \approx 3,61


II. Racine carrée d'un nombre positif

un cours sur les radicaux - Maths troisième : image 1

Sur la figure ci-dessus, ABCD est un rectangle avec : AB = 3 ; BC = 2.
Calculons la longueur de la diagonale du rectangle ABCD :
Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B :
AC² = AB² + BC²
AC² = 13
La valeur exacte de AC est : \sqrt{13}
Définition :
a désigne un nombre positif.
La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est égal à a.


Ce nombre est noté \sqrt{a}.
\sqrt{a} se lit "racine carrée de a". Le symbole \sqrt{} s'appelle un radical.
On a : a \geq 0, \, \left(\sqrt{a}\right)^2 = a

Exemples :
\sqrt{0} = 0\\ \sqrt{1} = 1
\sqrt{25} = 5 car 5² = 25 et 5 est un nombre positif.
\sqrt{\dfrac{16}{9}} = \dfrac{4}{3} car \left(\dfrac{4}{3}\right)^2 = \dfrac{16}{9} et \dfrac{4}{3} est un nombre positif.
Propriété :
Si a désigne un nombre positif, alors : \boxed{\sqrt{a^2} = a}

Preuve :
D'après la définition, \sqrt{a^2} est le nombre positif dont le carré est égal à a².
Or, a est le nombre positif dont le carré est a².
Donc : \sqrt{a^2} = a

Exemple :
\sqrt{12,4^2} = 12,4


III. Équation de la forme x^2 = a

Propriété :
Si a > 0,
alors l'équation x^2 = a admet deux solutions : -\sqrt{a} et \sqrt{a}
Si a = 0,
alors l'équation x^2 = a admet une seule solution : 0
Si a < 0,
alors l'équation x^2 = a n'admet pas de solution.

Preuve :
Si a > 0 :
L'équation x^2 = a s'écrit :
x^2 - a = 0 \\ x^2 - \left(\sqrt{a}\right)^2 = 0 \\ \left(x - \sqrt{a}\right) \left(x + \sqrt{a}\right) = 0 \\ x = \sqrt{a} \text{ ou } x = -\sqrt{a}
L'équation x^2 = a admet deux solutions : -\sqrt{a} et \sqrt{a}.
Si a = 0 :
L'équation x^2 = a s'écrit x^2 = 0
L'équation x^2 = a admet une seule solution : 0
Si a < 0 :
Un carré n'étant jamais négatif, l'équation x^2 = a n'admet pas de solution.

Exemples :
L'équation x^2 = 17 admet deux solutions : -\sqrt{17} et \sqrt{17}.
L'équation x^2 = -2 n'admet aucune solution.


IV. Produit et quotient de racines carrées

1. Produit de deux racines

Conjecture : Calculer :
\begin{array}{lll} \sqrt{9} \times \sqrt{4} = ... & \hspace{15pt} & \sqrt{9 \times 4} = ... \\ \sqrt{16} \times \sqrt{9} = ... & & \sqrt{16 \times 9} = ... \\ \sqrt{25} \times \sqrt{4} = ... & & \sqrt{25 \times 4} = ... \\ \end{array}
Solution :
\begin{array}{lll} \sqrt{9} \times \sqrt{4} = 3 \times 2 = 6 & \hspace{15pt} & \sqrt{9 \times 4} = \sqrt{36} = 6\\ \sqrt{16} \times \sqrt{9} = 4 \times 3 = 12 & & \sqrt{16 \times 9} = \sqrt{144} = 12 \\ \sqrt{25} \times \sqrt{4} = 5 \times 2 = 10 & & \sqrt{25 \times 4} = \sqrt{100} = 10 \\ \end{array}
On constate que :
\sqrt{9} \times \sqrt{4} = \sqrt{9 \times 4} \\ \sqrt{16} \times \sqrt{9} = \sqrt{16 \times 9} \\ \sqrt{25} \times \sqrt{4} = \sqrt{25 \times 4}
Propriété :
Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égale à la racine carrée de leur produit.
Pour tous nombres a et b (a \geq 0 et b \geq 0) : \boxed{\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}}

Preuve : Montrons que \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} (pour tous les nombres a et b positifs).
Calculons le carré de \sqrt{a} \times \sqrt{b} :
\left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 \times \left(\sqrt{b}\right)^2 = a \times b
Le nombre \sqrt{a} \times \sqrt{b} est le produit de deux nombres positifs. Il est donc positif et son carré est égal à \left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^2 = a \times b.
On en déduit que : \sqrt{\left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^2} = \sqrt{a \times b}, c'est-à-dire \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \imes b}

Exemples :
\sqrt{2} \times \sqrt{7} = \sqrt{2 \times 7} = \sqrt{14} \\ \sqrt{5} \times \sqrt{80} = \sqrt{5 \times 80} = \sqrt{400} = \sqrt{20^2} = 20 \\ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \imes \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \\ \sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = \sqrt{4} \times \sqrt{7} = 2 \sqrt{7}

2. Quotient de deux racines

Conjecture : Calculer :
\begin{array}{lll} \dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{25}} = ... & \hspace{15pt} & \sqrt{\dfrac{100}{25}} = ... \\ \dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{4}} = ... & & \sqrt{\dfrac{144}{4}} = ... \\ \dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{4}} = ... & & \sqrt{\dfrac{100}{4}} = ... \end{array}
Solution :
\begin{array}{lll} \dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{25}} = \dfrac{10}{5} = 2 & \hspace{15pt} & \sqrt{\dfrac{100}{25}} = \sqrt{4} = 2 \\ \dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{4}} = \dfrac{12}{2} = 6 & & \sqrt{\dfrac{144}{4}} = \sqrt{36}= 6 \\ \dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{4}} = \dfrac{10}{2} = 5 & & \sqrt{\dfrac{100}{4}} = \sqrt{25} = 5 \end{array}
On constate que :
\dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{25}} = \sqrt{\dfrac{100}{25}}\\ \dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{4}} = \sqrt{\dfrac{144}{4}}\\ \dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{4}} = \sqrt{\dfrac{100}{4}}
Propriété :
Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égale à la racine carrée de leur quotient.
Pour tous les nombres a et b positifs, on a : \boxed{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}}


Preuve : Montrons que \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} (pour tous les nombres a et b positifs).
\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \dfrac{\left(\sqrt{a}\right)^2}{\left(\sqrt{b}\right)^2} = \dfrac{a}{b}
Le nombre positif \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} a donc pour carré \dfrac{a}{b}.
Or, \sqrt{\dfrac{a}{b}} est le seul nombre positif qui a pour carré \dfrac{a}{b}.
Donc \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}

Exemples :
\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\dfrac{3}{7}} \\ \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\dfrac{49}{7}} = \sqrt{7} \\ \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \dfrac{4}{5}

3. Remarques

La somme de deux racines carrées n'est pas égale à la racine carré de la somme.
Exemple :
\sqrt{64} + \sqrt{36} = 8 + 6 = 14 \\ \text{ et } \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10
Donc : \sqrt{64} + \sqrt{36} \neq \sqrt{64 + 36}

La différence de deux racines carrées n'est pass égale à la racine carrée de la différence.
Exemple :
\sqrt{25} - \sqrt{9} = 5 - 3 = 2 \\ \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4
Donc : \sqrt{25} - \sqrt{9} \neq \sqrt{25 - 9}


V. Utilisation en géométrie

1. ABCD est un carré de côté a. Déterminons BD.
un cours sur les radicaux - Maths troisième : image 2

ABCD est un carré, donc BCD est un triangle rectangle en C. Appliquons le théorème de Pythagore dans ce triangle :
BD² = BC² + DC² = a² + a² = a² × 2
Donc \text{BD} = \sqrt{a^2 \times 2} = \sqrt{a^2} \times \sqrt{2} = a\sqrt{2}

La diagonale d'un carré de côté a mesure a \sqrt{2}.



2. ABC est un triangle équilatéral de côté a. (AH) est la hauteur issue de A. Déterminons AH.
un cours sur les radicaux - Maths troisième : image 3

(AH) est la hauteur issue de A, donc AHC est un triangle rectangle en H.
(AH) est aussi la médiane issue de A. Elle coupe donc [BC] en son milieu H. Donc \text{HC} = \dfrac{a}{2}
Dans le triangle AHC rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore.
AC² = AH² + HC²
\text{AH}^2 = \text{AC}^2 - \text{HC}^2 = a^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{4a^2}{4} - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{4}
Donc : \text{AH} = \sqrt{\dfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{\sqrt{3a^2}}{\sqrt{4}} = \dfrac{\sqrt{3} \sqrt{a^2}}{\sqrt{4}} = \dfrac{\sqrt{3} \times a}{2} = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}

La hauteur d'un triangle équilatéral de côté a mesure \dfrac{a \sqrt{3}}{2}.


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