Fiche de mathématiques
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Racines Carrées

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Fiche relue en 2016.
Exercices d'application


exercice 1

Mettre sous forme a + b \sqrt{6}, avec a et b des entiers relatifs, le nombre suivant :
C = 3\sqrt{2} ( \sqrt{3} + 1) - ( \sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 2)


exercice 2

Déterminer les nombres réels x tels que :
 x^2 = \dfrac{325}{1053}


exercice 3

Ecrire sous le forme  a+b\sqrt{c} , où a et b sont des rationnels et c un entier naturel le plus petit possible.

A =\left (\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 + 3

B = \dfrac{\sqrt{75}\sqrt{10}}{\sqrt{8}}




exercice 1

C = 3\sqrt{2} ( \sqrt{3} + 1) - ( \sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 2) (Développement)
C = 3\sqrt{2}\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - (2 + 2\sqrt{2} + \sqrt{2} + 2) (Calcul de  3\sqrt{2}\sqrt{3} et retrait de la parenthèse)
C = 3\sqrt{6} + 3\sqrt{2} - 2 - 2\sqrt{2} - \sqrt{2} - 2 (On remarque que  3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0 )
C = 3\sqrt{6} - 4
(Mise en forme pour répondre à la question)
C = -4 + 3\sqrt{6}
Donc a = -4 et b = 3

exercice 2

 x^2 = \dfrac{325}{1053}

Remarque :  \dfrac{325}{1053}=\dfrac{25\times 13}{81\times 13}=\dfrac{25}{81}

L'équation proposée peut donc s'écrire :
 x^2 - \dfrac{25}{81}= 0
On reconnaît la différence de deux carrés que l'on factorise.

\left(x-\dfrac{5}{9}\right)\left(x+\dfrac{5}{9}\right)= 0

Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul, ce qui donne :

 x =  \dfrac {5}{9} ou x =  -\dfrac {5}{9}
D'où l'ensemble solution peut s'écrire :  $\mathcal{S}$ = \left\lbrace - \dfrac {5}{9} ; \dfrac {5}{9}  \right\rbrace


exercice 3

A = \left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 + 3

A = \dfrac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} + 3 (Calcul du carré grâce à l'identité remarquable : (a+b)² = a² + 2ab + b²)

A = \dfrac{1}{4}(1 + 2\sqrt{5} + 5) + \dfrac{1}{4} \times 12 (Recherche d'un dénominateur commun)

A = \dfrac{1}{4}(1 + 2\sqrt{5} + 5 + 12)

A = \dfrac{1}{4}(18 + 2\sqrt{5})

A = \dfrac{18}{4} + \dfrac{2}{4}\sqrt{5} (Simplification)

A = \dfrac{9}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{5} (Simplification)

D'où  a = \dfrac{9}{2}, b = \dfrac{1}{2} , c = 5


B = \dfrac{\sqrt{75}\sqrt{10}}{\sqrt{8}}

750 = 25 x 30 (25 étant le plus grand carré divisant 750)

8 = 4 x 2 (4 étant le plus grand carré divisant 8)

\sqrt{8} = \sqrt{4\times2} = \sqrt{4}\sqrt{2}  = 2\sqrt{2}

\sqrt{75}\sqrt{10} = \sqrt{750} = \sqrt{25}\sqrt{30}  = 5\sqrt{30}  = 5\sqrt{15}\sqrt{2}

D'où B = \dfrac{5\sqrt{15}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}

B = \dfrac{5\sqrt{15}}{2}

B = \dfrac{5}{2}\sqrt{15}

D'où  a = 0, b = \frac{5}{2} , c = 15
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