Fiche de mathématiques
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Sujet de Brevet

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Sujet donné en 2004 dans les académies de Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims et Strasbourg.

12 points

Activités numériques

Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés d'explications, le barème en tiendra compte.


exercice 1

Soient les expressions        \text{A}=\dfrac{9}{5}-\dfrac{2}{5}\times\dfrac{11}{4}        et        \text{B}=5\sqrt{3}-4\sqrt{27}+\sqrt{75}.

1. Calculer A en détaillant les étapes du calcul et écrire le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

2.Calculer et écrire B sous la forme aracineb, où a et b sont des entiers relatifs, b étant un nombre positif le plus petit possible.



exercice 2

On considère l'expression C = (2x - 1)2 + (2x - 1)(x + 5).

1. Développer et réduire l'expression C.

2.Factoriser l'expression C.

3.Résoudre l'équation (2x - 1)(3x + 4)= 0.



exercice 3

1. Les nombres 682 et 352 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.

2. Calculer le plus grand diviseur commun (PGCD) de 682 et 352.

3. Rendre irréductible la fraction \dfrac{682}{352} en indiquant clairement la méthode utilisée.



exercice 4

Le diagramme en barres ci-dessous donne la répartition des notes obtenues à un contrôle de mathématiques par les élèves d'une classe de 3eme.
sujet de brevet : image 3

1. Combien d'élèves y a-t-il dans cette classe ?

2. Quelle est la note moyenne de la classe à ce contrôle ?

3. Quelle est la note médiane ?

4. Quelle est l'étendue de cette série de notes ?

12 points

Activités géométriques

exercice 1

sujet de brevet : image 4
Les segments [OA] et [UI] se coupent en M.
On a : MO = 21, MA = 27, MU = 28, MI = 36, AI = 45        (l'unité de longueur étant le millimètre).

1. Prouver que les droites (OU) et (AI) sont parallèles.

2.Calculer la longueur OU.

3.Prouver que le triangle AMI est un triangle rectangle.

4.Déterminer, à un degré près, la mesure de l'angle AÎM.

5.Montrer que les angles MÂI et MÔU ont la même mesure.



exercice 2

On considère la figure F.
sujet de brevet : image 5
1.Construire :
    a)la figure F1, image de la figure F par la symétrie centrale de centre B (nommer E l'image de A).
    b)la figure F2, image de la figure F1 par la symétrie centrale de centre C (nommer T l'image de E).
On hachurera, sur le dessin, les figures F1 et F2 ainsi obtenues.

2.Quelle transformation permet de passer directement de la figure F à F2 ?



exercice 3

sujet de brevet : image 6
La balise ci-dessus est formée d'une demi-boule surmontée d'un cône de révolution de sommet A.
Le segment [BC] est un diamètre de la base du cône et le point O est le centre de cette base.
On donne AO = BC = 6 dm.

1. Montrer que : AB = 3\sqrt{5} dm.

2. Dans cette question, on se propose de calculer des volumes.
    a) Calculer en fonction de \pi le volume du cône (on donnera la valeur exacte de ce volume).
    b) Calculer en fonction de \pi le volume de la demi-boule (on donnera la valeur exacte de ce volume).
    c) Calculer la valeur exacte du volume de la balise, puis en donner la valeur arrondie à 0,1 dm3 près.
On rappelle que si V est le volume d'une boule de rayon R, V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times R^{3}.
On rappelle que si V est le volume d'un cône de hauteur h et de rayon r, V = \dfrac{\pi \times r^{2} \times h}{3}.

12 points

Problème


On considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 4 cm.

Partie 1

1. Construire ce triangle.

2. Placer le point M sur le segment [AB] tel que BM = 3,5 cm et tracer la droite passant par le point M et perpendiculaire à la droite (AB); elle coupe le segment [BC] en E.
    a) Calculer AM.
    b) Démontrer que les droites (AC) et (ME) sont parallèles.
    c)Calculer EM (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible).
    d) Le triangle AEM est-il un triangle isocèle en M ?

Partie 2


On souhaite placer le point M sur le segment [AB] de façon à ce que le triangle AEM soit isocèle en M comme sur la figure ci-dessous que l'on ne demande pas de refaire.
On rappelle que : AB = 6 cm et AC = 4 cm.
sujet de brevet : image 9


1. On pose BM = x (on a donc : 0 \le x \le 6). Démontrer, en utilisant la propriété de Thalès, que ME = \dfrac{2}{3}x.

2. Première résolution du problème posé.
    a) Montrer que : MA = 6 - x.
    b) Calculer x pour que le triangle AME soit isocèle en M.

3. Soit un repère orthogonal avec pour unités 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.
    a) Représenter, dans ce repère, les fonctions f et g définies par : f(x) = \dfrac{2}{3}x     et     g(x) = 6 - x, pour 0 \le x \le 6.
    b) En utilisant ce graphique, retrouver le résultat de la question 2.b).



Activités numériques

exercice 1

\text{A}=\dfrac{9}{5}-\dfrac{2}{5}\times\dfrac{11}{4}
\text{A}=\dfrac{9}{5}-\dfrac{2\times11}{5\times2\times2}
\text{A}=\dfrac{9}{5}-\dfrac{11}{5\times2}
\text{A}=\dfrac{9}{5}-\dfrac{11}{10}
\text{A}=\dfrac{18}{10}-\dfrac{11}{10}
\text{A}=\dfrac{7}{10}
\text{B}=5\sqrt{3}-4\sqrt{27}+\sqrt{75}
\text{B}=5\sqrt{3}-4\sqrt{9\times3}+\sqrt{25\times3}
\text{B}=5\sqrt{3}-4\times3\sqrt{3}+5\sqrt{3}
\text{B}=5\sqrt{3}-12\sqrt{3}+5\sqrt{3}
\text{B}=-2\sqrt{3}


exercice 2

1. Développement de l'expression C :
C = (2x - 1)2 + (2x - 1)(x + 5)
C = (2x)2 - 2 ×2x ×1 + 12 + 2x ×x + 2x ×5 - 1 ×x - 1 ×5
C = 4x2 - 4x + 1 + 2x2 + 10x - x - 5
C = 6x2 + 5 x - 4

2. Factorisation de l'expression C :
C = (2x - 1)2 + (2x - 1)(x + 5)
C = (2x - 1)[(2x -1)+ (x + 5)]
C = (2x - 1)(2x - 1 + x + 5)
C = (2x - 1)(3x + 4)

3. Résolution de l'équation (2x - 1)(3x + 4) = 0
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ces facteurs est nul.
2x - 1 = 0        ou        3x + 4 = 0
2x = 1        ou        3x = -4
x = \dfrac{1}{2}        ou        x = -\dfrac{4}{3} Les solutions de l'équation sont -\dfrac{4}{3} et \dfrac{1}{2}.



exercice 3

1. Les nombres 682 et 352 sont deux nombres pairs. Ils sont donc divisibles par 2 et ne sont donc pas premiers.

2. A l'aide de l'algorithme d'Euclide :
682 = 352 ×1 + 330
352 = 330 ×1 + 22
330 = 22 ×15 + 0
Le PDCG étant le dernier reste non nul, on a : le PGCD de 682 et 352 est 22.

3. \dfrac{683}{352} = \dfrac{31\times22}{16\times22}=\dfrac{31}{16}



exercice 4

En observant le graphique :
2 élèves ont eu 8 au contrôle de mathématiques,
5 ont eu 9 au contrôle de mathématiques,
2 ont eu 10 au contrôle de mathématiques,
2 ont eu 11 au contrôle de mathématiques,
3 ont eu 12 au contrôle de mathématiques,
2 ont eu 13 au contrôle de mathématiques,
7 ont eu 14 au contrôle de mathématiques,
2 ont eu 15 au contrôle de mathématiques.

1. Nombre d'élèves dans la classe :
2 + 5 + 2 + 2 + 3 + 2 + 7 + 2 = 25
Il y a 25 élèves dans cette classe.

2. Note moyenne de la classe à ce contrôle :
\dfrac{2\times8+5\times9+2\times10+2\times11+3\times12+2\times13+7\times14+2\times15}{25}\\=\dfrac{16+45+20+22+36+26+98+30}{25}=\dfrac{293}{25}=11,72
La note moyenne de la classe est 11,72.

3. La note médiane est 12.

4. L'étendue de cette série de notes est 15 - 8 = 7.

Activités géométriques

exercice 1

1. D'une part, \dfrac{\text{MU}}{\text{MI}} = \dfrac{28}{36} = \dfrac{7}{9},        d'autre part, \dfrac{\text{MO}}{\text{MA}} = \dfrac{21}{27} = \dfrac{7}{9}.
Les droites (UI) et (OA) sont sécantes en M, les points U, M, I et O, M, A sont alignés dans le même ordre.
Comme \dfrac{\text{MU}}{\text{MI}} = \dfrac{\text{MO}}{\text{MA}}, alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (OU) et (AI) sont parallèles.

2.Les droites (UI) et (OA) sont sécantes en M. Comme les droites (UI) et (OA) sont parallèles, d'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{\text{MU}}{\text{MI}} = \dfrac{\text{MO}}{\text{MA}} = \dfrac{\text{OU}}{\text{AI}}
En particulier : \dfrac{\text{MO}}{\text{MA}} = \dfrac{\text{OU}}{\text{AI}}        Donc : \dfrac{21}{27} = \dfrac{\text{OU}}{45}        soit \dfrac{7}{9} = \dfrac{\text{OU}}{45}
Donc : \text{OU} = \dfrac{7\times45}{9}{9} = \dfrac{7\times9\times5}{9} = 35
D'où : OU = 35 mm

3.D'une part, MA2 + MI2 = 272 + 362 = 729 + 1 296 = 2 025,
d'autre part, AI2 = 452 = 2 025.
Comme MA2 + MI2 = AI2, alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMI est rectangle en M.

4.Dans le triangle AMI rectangle en M, on a :
cos AÎM = \dfrac{\text{MI}}{\text{AI}} = \dfrac{36}{45} = \dfrac{4}{5}
D'où (à l'aide de la calculatrice) : AÎM \approx 37°

5. La droite (OA) coupent les droites (AI) et (OU). Les angles MÂI et MÔU sont donc des angles alternes-internes.
De plus, les droites (OU) et (AI) sont parallèles. Les angles MÂI et MÔU sont donc de même mesure.



exercice 2

sujet de brevet : image 25
1. a) la figure F1 est hachurée en rouge sur le dessin.
1. b)la figure F2 est hachurée en bleu sur le dessin.

2. La translation de vecteur 2\overrightarrow{BC} permet de passer directement de la figure F à F2.



exercice 3

1.Dans le triangle ABO rectangle en O, j'applique le théorème de Pythagore :
AB2 = AO2 + BO2 = AO2 + (BC/2)2 = 62 + 32 = 36 + 9 = 45
Donc : AB = \sqrt{45} = \sqrt{9\times5} = 3\sqrt{5}
D'où : AB = 3\sqrt{5} dm.

2. a) Volume du cône :
Vcône = (1/3) × aire de la base × hauteur = (1/3) × \pi × R2 × h
= (1/3) × \pi × BO2 × AO = (1/3) × \pi × 32 × 6
= 3 ×6 × \pi = 18 \pi
D'où : le volume du cône est de 18\pi dm3.

2. b)Volume de la demi-boule :
Vdemi-boule = \dfrac{1}{2} × \dfrac{4}{3} × \pi × R3 =
sujet de brevet : image 10
× \pi× BO3
= \dfrac{2}{3} × \pi × 33 = 2 × 32 × \pi
= 18 \pi
D'où : le volume de la demi-boule est de 18\pi dm3.

2. c)Volume de la balise :
Vbalise = Vcône + Vdemi-boule = 18\pi+ 18\pi = 36\pi
D'où : le volume de la balise est de 36\pi dm3, soit environ 113,1 dm3.

Problème

Partie 1

1.
sujet de brevet : image 27

2. a) M appartient au segment [AB]. On a donc : AM = AB - BM = 6 - 3,5 = 2,5.
D'où : AM = 2,5 cm.

2. b) Comme ABC est un triangle rectangle en A, alors les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Comme les droites (EM) et (AB) sont perpendiculaires et que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, alors les droites (AC) et (EM) sont parallèles.
(lorsque deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles)

2. c) M est un point du segment [AB], E un point du segment [BC]. Comme les droites (AC) et (EM) sont parallèles, alors d'après le théorème de Thalès :
\dfrac{\text{BM}}{\text{BA}} = \dfrac{\text{BE}}{\text{BC}} = \dfrac{\text{EM}}{\text{CA}}

En particulier : \dfrac{\text{BM}}{\text{BA}} = \dfrac{\text{EM}}{\text{CA}}        Donc : \dfrac{3,5}{6} = \dfrac{\text{EM}}{4}
D'où : \text{EM} = \dfrac{4\times3,5}{6} = \dfrac{2\times2\times3,5}{2\times3} = \dfrac{7}{3}
\text{EM} = \dfrac{7}{3} cm

2. d) On a : AM = 2,5 cm et EM = \dfrac{7}{3} cm.
Comme AM \ne EM, alors le triangle AEM n'est pas isocèle en M.

Partie 2

1. M est un point du segment [AB], E un point du segment [BC]. Comme les droites (AC) et (EM) sont parallèles, alors d'après le théorème de Thalès :
\dfrac{\text{BM}}{\text{BA}} = \dfrac{\text{BE}}{\text{BC}} = \dfrac{\text{EM}}{\text{CA}}
En particulier : \dfrac{\text{BM}}{\text{BA}} = \dfrac{\text{EM}}{\text{CA}}        Donc : \dfrac{x}{6} = \dfrac{\text{EM}}{4}
D'où : \text{EM} = \dfrac{4 \times x}{6} = \dfrac{2\times2 \times x}{2\times3} = \dfrac{2}{3}x
\text{EM} = \dfrac{2}{3}x cm

2. a) M appartient au segment [AB]. On a donc : MA = AB - BM = 6 - x.

2. b) Pour que le triangle AME soit isocèle en M, il faut que AM = ME, c'est-à-dire :
6 - x = \dfrac{2}{3}x, ce qui équivaut successivement à :
- x -\dfrac{2}{3}x = -6
\dfrac{5}{3}x=6
Soit x=6\times\dfrac{3}{5}
x=\dfrac{18}{5}=3,6
Le triangle AME est isolèle en M pour x = 3,6 cm.

3. a) f est une fonction linéaire. Sa représentation graphique (en rouge sur le graphique) est une droite passant par l'origine.
De plus, f(3) = \frac{2}{3} × 3 = 2.
La représentation graphique de f passe également par le point de coordonnées (3; 2).

g est une fonction affine. Sa représentation graphique (en bleu sur le graphique) est une droite ne passant pas par l'origine.
De plus, g(6) = 6 - 6 = 0        et        g(2) = 6 - 2 = 4.
La représentation graphique de g passe par les points de coordonnées (6; 0) et (2; 4).
sujet de brevet : image 38


3. b) Par lecture graphique (voir pointillés), le triangle AME est isolèle en M pour x = 3,6 cm.
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