Fiche de mathématiques
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Sujet de Brevet

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Sujet donné en 2004 dans les académies de Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers et Rennes.
12 points

Activités numériques

exercice 1

Calculer les expressions suivantes. On donnera le résultat sous la forme d'un nombre entier. Les calculs intermédiaires figureront sur la copie.
A = \dfrac{96 \times 10^{-4} \times 5 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{-1} \times 2 \times 10^{-6}} \hspace{30pt} B = 11 : \left(\dfrac23 - \dfrac52\right) \hspace{30pt} C = (2\sqrt{3} - 3)(2\sqrt{3} + 3)




exercice 2

On considère l'expression D = (x - 2)2 - 2(x - 2).

1. Factoriser D.

2. Résoudre l'équation (x - 2)(x - 4) = 0.

3. Développer et réduire D.

4. Calculer D pour x = 1.



exercice 3

1. Résoudre le système suivant :
\left \lbrace \begin{array}{l} 5x + 2y  = 12 \\ x + 2y  = 8 \\ \end{array} \right.
2. Montrer que le couple (1; 3,5) est solution du système suivant :
\left \lbrace \begin{array}{l} 10x + 4y = 24 \\ 3x + 6y  = 24 \\ \end{array} \right.
3. Un artisan fabrique des perles noires et des perles dorées.
Un sac contenant 10 perles noires et 4 perles dorées est vendu 24 euros.
Un sac contenant 3 perles noires et 6 perles dorées est vendu également 24 euros.
Combien serait vendu un sac contenant 4 perles noires et 3 perles dorées ?


12 points

Activités géométriques

exercice 1

1. Construire le triangle EFG tel que EF = 12 cm, EG = 5 cm et FG = 13 cm.

2. Prouver que le triangle EFG est rectangle en E.

3. Calculer la mesure de l'angle \widehat{F}. Le résultat sera arrondi au degré près.

4. Placer le point B sur le segment [EF] tel que EB = 7 cm. Tracer la droite passant par B et parallèle au côté [FG]. Elle coupe le côté [EG] en M.

5. Calculer la valeur exacte de BM, puis en donner l'arrondi au mm près.



exercice 2

On considère la pyramide régulière OABCD. La base ABCD est un carré, H est le point d'intersection des diagonales [BD] et [AC].
On sait que la hauteur [OH] mesure 4 cm.
sujet de brevet : image 4

1. Sachant que le volume de la pyramide est égal à 24 cm3, montrer que l'aire de la base est égale à 18 cm2.

2. En déduire que le côté [AB] du carré ABCD mesure 3racine2 cm.

3. Calculer la longueur de la diagonale [AC] du carré ABCD.

4. Calculer l'aire du triangle AOC.



exercice 3

On considère un repère orthonormé (O, I, J). L'unité choisie est le centimètre.

1. Placer les points A(2; 2), B(-4; 5) et C(-4; -2).

2. a) Montrer que AC est égale à \sqrt{52} cm.
    b) Calculer BC.
    c) Le triangle ABC est-il isocèle en C ? Justifier.

3.a) Construire le milieu K du segment [AB].
    b) La droite (CK) est-elle la médiatrice du segment [AB] ? Justifier.


12 points

Problème

On considère un trapèze ABCE rectangle en B et C. On donne AB = 5 cm et BC = 6 cm.
La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur.
Le point D se trouve sur le segment [EC] de telle sorte que ABCD soit un rectangle.
sujet de brevet : image 5


Partie A

Dans cette partie, ED = 3 cm.

1. Faire une figure aux dimensions exactes.

2. Calculer l'aire du rectangle ABCD.

3. Calculer l'aire du triangle rectangle ADE.

4.Montrer que l'aire du trapèze ABCE est égale à 39 cm2.

Partie B

Dans cette partie, on ne connaît pas la longueur ED. On note ED = x (en cm). On rappelle que AB = 5 cm et BC = 6 cm.

1. Montrer que l'aire du trapèze ABCE, en cm2, peut s'écrire 3x + 30.

2. Sur le repère ci-dessous, représenter la fonction affine x \mapsto 3x + 30.

3. Par lecture graphique, trouver la valeur de x pour laquelle l'aire du trapèze ABCE est égale à 36 cm2. Faire apparaître les traits justificatifs en pointillés sur le graphique.

4. Retrouver ce résultat en résolvant une équation.
sujet de brevet : image 6




Activités numériques

exercice 1

A = \dfrac{96 \times 10^{-4} \times 5 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{-1} \times 2 \times 10^{-6}}\\ A = \dfrac{96 \times 5 \times 10^{-4} \times 10^{-2}}{3 \times 2 \times 10^{-1} \times 10^{-6}}\\ A = \dfrac{16 \times 3 \times 2 \times 5 \times 10^{-4 - 2}}{3 \times 2 \times 10^{-1 - 6}}\\ A = \dfrac{16 \times 5 \times 10^{-6}}{10^{-7}}\\ A = 16 \times 5 \times 10^{-6} \times 10^7\\ A = 80 \times 10^{-6 + 7}\\ A = 80 \times 10^1\\ A = 800

B = 11 : \left(\dfrac23 - \dfrac52\right)\\ B = 11 : \left(\dfrac46 - \dfrac{15}{6}\right)\\ B = 11 : \left(-\dfrac{11}{6}\right)\\ B = -11 \times \dfrac{6}{11}\\ B = -6

C = (2\sqrt{3} - 3)(2\sqrt{3} + 3)\\ C = (2\sqrt{3})^2 - 3^2
C = 4 × 3 - 9
C = 12 - 9
C = 3



exercice 2

1. Factorisation de l'expression D :
D = (x - 2)2 - 2(x - 2)
D = (x - 2)[(x - 2) - 2]
D = (x - 2)(x - 2 - 2)
D = (x - 2)(x - 4)

2. Résolution de l'équation (x - 2)(x - 4) = 0
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul.
x - 2 = 0        ou        x - 4 = 0
x = 2        ou        x = 4

Les solutions de l'équation sont 2 et 4.

3. Développement de l'expression D :
D = (x - 2)2 - 2(x - 2)
D = x2 - 2 × x × 2 + 22 - 2 × x - 2 × (-2)
D = x2 - 4x + 4 - 2x + 4
D = x2 - 6x + 8

4. Calcul de D pour x = 1 :
D = x2 - 6x + 8
Donc, pour x = 1 :
D = 12 - 6 × 1 + 8
D = 1 - 6 + 8
D = 3



exercice 3

1. Résolution du système par la méthode de votre choix :
par la méthode de substitution :
\left \lbrace \begin{array}{l} 5x + 2y  = 12 \\ x + 2y  = 8 \\ \end{array} \right.

D'après la deuxième équation, on peut écrire x = -2y + 8.
On remplace x par cette expression dans la première équation :
5(-2y + 8) + 2y = 12
-10y + 40 + 2y = 12
-8y = - 28
y = \dfrac{-28}{-8}
y = \dfrac{7}{2}

Donc x = -2 \times \dfrac{7}{2} + 8 = -7 + 8 = 1.
Le couple (1 ; \dfrac{7}{2}) est solution du système.


par la méthode de combinaison :
\left \lbrace \begin{array}{l} 5x + 2y  = 12 \\ x + 2y  = 8 \\ \end{array} \right.

On multiplie la deuxième équation par 5 :
\left \lbrace \begin{array}{l} 5x + 2y  = 12 \\ 5x + 10y  = 40 \\ \end{array} \right.

On soustrait les deux équations membre à membre :
2y - 10y = 12 - 40
-8y = -28 [nl]y = \dfrac{-28}{-8}
y = \dfrac{7}{2}

On remplace y par \dfrac{7}{2} dans la deuxième équation :
x + 2 \times \dfrac{7}{2} = 8
x + 7 = 8
x = 8 - 7
x = 1

Le couple (1 ; \dfrac{7}{2}) est solution du système.

2. En multipliant la première équation du premier système par 2 et la deuxième équation de ce même système par 3, on obtient :
\left \lbrace \begin{array}{l} 10x + 4y = 24 \\ 3x + 6y  = 24 \\ \end{array} \right.
Les systèmes des questions 1 et 2 sont donc identiques et ils ont donc même solution.
Le couple (1 ; \dfrac{7}{2}) est solution du système, soit encore (1 ; 3,5)

3. Soit x le prix d'une perle noire et y le prix d'une perle dorée.
Un sac contenant 10 perles noires et 4 perles dorées est vendu 24 euros se traduit par : 10x + 4y = 24
Un sac contenant 3 perles noires et 6 perles dorées est 24 euros se traduit par : 3x + 6y = 24
On obtient alors le système suivant :
\left \lbrace \begin{array}{l} 10x + 4y = 24 \\ 3x + 6y  = 24 \\ \end{array} \right.
dont le couple (1; 3,5) est solution.

D'où : une perle noire coûte 1 euro et une perle dorée coûte 3,5 euros.
Un sac contenant 4 perles noires et 3 perles dorées sera vendu : 4 × 1 + 3 × 3,5 = 14,5, soit 14,5 euros.


Activités géométriques

exercice 1

1.
sujet de brevet : image 13


2. D'une part, EF2 + EG2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169        d'autre part, GF2 = 132 = 169.
Comme EF2 + EG2 = GF2, alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en E.

3. Dans le triangle EFG rectangle en E, on a :
\cos \widehat{F}=\dfrac{\text{EF}}{\text{GF}}=\dfrac{12}{13}
D'où (en utilisant la calculatrice) : \widehat{F} \approx 23° au degré près.

4. Voir schéma.

5. Les droites (BF) et (MG) sont sécantes en E. Comme les droites (BM) et (FG) sont parallèles, d'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{\text{EB}}{\text{EF}}=\dfrac{\text{EM}}{\text{EG}}=\dfrac{\text{BM}}{\text{GF}}
En particulier, \dfrac{\text{EB}}{\text{EF}}=\dfrac{\text{BM}}{\text{GF}}
Donc : \dfrac{7}{12}=\dfrac{\text{BM}}{13}
Donc : \text{BM}=\dfrac{7\times13}{12}

D'où : BM = \dfrac{91}{12} cm (valeur exacte) BM \approx 7,6 cm (au millimètre près).



exercice 2

1. Le volume d'une pyramide est donnée par : V = \dfrac{1}{3} × aire de la base × hauteur.
Comme le volume de la pyramide est égal à 24 cm3 et que la hauteur OH mesure 4 cm, alors on a (on note A l'aire de la base):
24 = \dfrac{1}{3} × A × 4
24 = \dfrac{4}{3} × A
Soit \text{A}=\dfrac{24}{\frac{4}{3}}
\text{A}=\dfrac{24\times3}{4}
\text{A}=\dfrac{6\times4\times3}{4}
\text{A}=6 \times 3
Conclusion : l'aire de la base est égale à 18 cm2.

2. La base de la pyramide est un carré ABCD. De plus, on sait que son aire est égale à 18 cm2, on obtient donc :
AB2 = 18
Donc : AB = \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}
Conclusion : AB = 3\sqrt{2} cm.

3. Comme ABCD est un carré, alors sa diagonale AC mesure AB\sqrt{2}, c'est-à-dire :
AC = 3\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 3 \times 2
Donc : AC = 6 cm.
remarque : si la formule précédente avait été oubliée, on pouvait toujours appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B.

4. Aire du triangle AOC :
AAOC = \dfrac{\text{AC}\times\text{OH}}{2} = \dfrac{6\times4}{2} = \dfrac{3\times2\times4}{2} = 3 × 4 = 12
L'aire du triangle AOC est de 12 cm2.



exercice 3

1.
sujet de brevet : image 24


2. a) Distance AC :
AC2 = (xC - xA)2 + (yC - yA)2
AC2 = (-4 - 2)2 + (-2 - 2)2
AC2 = (-6)2 + (-4)2
AC2 = 36 + 16
AC2 = 52
D'où : AC = \sqrt{52} cm.

    b) Distance BC :
BC2 = (xC - xB)2 + (yC - yB)2
BC2 = (-4 - (-4))2 + (-2 - 5)2
BC2 = (0)2 + (-7)2
BC2 = 49
D'où : BC = 7 cm.

    c) Comme AC \neq BC, alors le triangle ABC n'est pas isocèle en C.

3. a) Voir graphique

    b) Comme AC \neq BC, alors le point C n'appartient pas à la médiatrice du segment [AB]. La droite (CK) ne peut donc pas être la médiatrice du segment [AB].
remarque : la droite (CK) est la médiane issue de C du triangle ABC.


Problème

Partie A

1.
sujet de brevet : image 5

2. Aire du rectangle ABCD :
AABCD = AB × BC = 5 × 6 = 30
L'aire du rectangle ABCD est égale à 30 cm2.

3. Aire du triangle ADE :
AADE = \dfrac{\text{ED}\times\text{AD}}{2} = \dfrac{3\times6}{2} = 3 × 3 = 9
L'aire du triangle ADE est égale à 9 cm2.

4. Aire du trapèze ABCE :
AABDE = AADE + AABCD = 9 + 30 = 39
L'aire du trapèze ABCE est égale à 39 cm2.

Partie B

1. Aire du trapèze ABCE :
AABCE = AADE + AABCD = \dfrac{\text{ED}\times\text{AD}}{2}+30 = \dfrac{x\times6}{2}+30  = 3x + 30
L'aire du trapèze ABCE est égale à 3x + 30 cm2.

2. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite ne passant pas par l'origine.
De plus, pour x = 1, 3 × 1 + 30 = 3 + 30 = 33
et pour x = 6, 3 × 6 + 30 = 18 + 30 = 48.
La droite passe donc par les points de coordonnées (1; 33) et (6; 48).
sujet de brevet : image 27


3. Par lecture graphique (cf pointillés), pour x = 2 cm, l'aire du trapèze ABCE est égale à 36 cm2.

4. Retrouvons par le calcul le résultat précédent :
On a vu (question 1.) que l'aire du trapèze ABCE est égale à 3x + 30. On obtient donc :
3x + 30 = 36
3x = 36 - 30
3x = 6
x = 6/3
x = 2
D'où : pour x = 2 cm, l'aire du trapèze ABCE est égale à 36 cm2 (on a retrouvé par le calcul le résultat de la question 3.).
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