Fiche de mathématiques
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Sujet de Brevet

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Sujet donné en 2004 dans les académies d'Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice et Toulouse.
12 points

Activités numériques

exercice 1

1. On donne \text{A}=\dfrac{3}{7}-\dfrac{15}{7}\div\dfrac{5}{24}
Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

2.On donne :
\text{B}=\sqrt{300}-4\sqrt{27}+6\sqrt{3}
\text{C}=(5+\sqrt{3})^2
\text{D}=(\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{5})
    a) Écrire B sous la forme bracine3 où b est un nombre entier.
    b) Écrire C sous la forme e + fracine3 avec e et f entiers.
    c) Montrer que D est un nombre entier.



exercice 2

On donne E = (2x - 3)(x + 2) - 5(2x - 3)

1. Développer et réduire E.

2. Factoriser E.

3. Calculer E pour x = -2.

4. Résoudre l'équation (2x - 3)(x - 3) = 0



exercice 3

Une station de ski réalise une enquête auprès de 300 skieurs qui la fréquentent. Les résultats de l'enquête sont notés dans le tableau ci-dessous et indiquent la répartiton en classe des skieurs en fonction de leur âge (en années) :
âge[0; 10[[10; 20[[20; 30[[30; 40[[40; 50[[50; 60[[60; 70[[70; 80[[80; 90[
centre de classe5........................
effectifs27454839423633246

1. Compléter le tableau ci-dessus en indiquant le centre de chaque classe d'âge.

2. Calculer l'âge moyen des skieurs fréquentant cette station.

3. Quelle est la fréquence, en pourcentage, de skieurs ayant un âge strictement inférieur à 20 ans ?


12 points

Activités géométriques

exercice 1

On considère le pavé droit ABCDEFGH représenté ci-dessous :
sujet de brevet : image 2

Observer la figure et compléter le tableau ci-dessous, sans justification.
objetnature de l'objet
triangle ABC
angle \widehat{\text{ABF}}
quadrilatère ABFE
angle \widehat{\text{ACG}}
quadrilatère ACGE




exercice 2

sujet de brevet : image 5

Dans le triangle CDE : A est un point du segment [CE]; B est un point du segment [CD].
Sur le schéma ci-dessus, les longueurs représentées ne sont pas exactes.
On donne AC = 8 cm; CE = 20 cm; BC = 6 cm; CD = 15 cm et DE = 25 cm.

1. Montrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

2. Le triangle CDE est-il rectangle ? Justifier.

3. Calculer AB.

4. Calculer la valeur arrondie au degré de l'angle \widehat{\text{CDE}}.



exercice 3

On considère un triangle MNP rectangle en M.
sujet de brevet : image 7

    a) Sur le schéma suivant, tracer l'image F1 de ce triangle MNP par la rotation de centre P et d'angle 90° dans le sens indiqué par la flèche.
    b) Tracer l'image F2 du triangle MNP dans la translation de vecteur \overrightarrow{\text{PM}}.
sujet de brevet : image 8



12 points

Problème

On donne les figures suivantes :
sujet de brevet : image 10

1. Exprimer en fonction de x l'aire AABCD du rectangle ABCD.

2. Exprimer en fonction de x l'aire AEFGH du quadrilatère EFGH.

3. Dans le repère orthonormal ci-dessous, tracer en justifiant :
la représentation graphique (d) de la fonction f définie par : x \mapsto 4x
la représentation graphique (d') de la fonction g définie par : x \mapsto 2x + 3
sujet de brevet : image 11

4. a) Calculer l'aire du rectangle ABCD pour x = 3.
    b) Retrouver ce résultat sur le graphique (on laissera les traits nécessaires).

5. a) Calculer la valeur de x pour que l'aire du quadrilatère EFGH soit égale à 15 cm2.
    b) Retrouver ce résultat sur le graphique (on laissera apparents les traits nécessaires).

6. a) Résoudre graphiquement l'équation : 4x = 2x + 3
    b) Retrouver ce résultat en résolvant l'équation : 4x = 2x + 3
    c) Comment interpréter ce résultat pour le rectangle ABCD et le quadrilatère EFGH ?



Activités numériques

exercice 1

1.
\text{A}=\dfrac{3}{7}-\dfrac{15}{7}\div\dfrac{5}{24}
\text{A}=\dfrac{3}{7}-\dfrac{15}{7}\times\dfrac{24}{5}
\text{A}=\dfrac{3}{7}-\dfrac{3\times5\times24}{7\times5}
\text{A}=\dfrac{3}{7}-\dfrac{3\times24}{7}
\text{A}=\dfrac{3}{7}-\dfrac{72}{7}
\text{A}=-\dfrac{69}{7}

2.
a) \text{B}=\sqrt{300}-4\sqrt{27}+6\sqrt{3}
\text{B}=\sqrt{3\times100}-4\sqrt{9\times3}+6\sqrt{3}
\text{B}=10\sqrt{3}-4\times3\sqrt{3}+6\sqrt{3}
\text{B}=10\sqrt{3}-12\sqrt{3}+6\sqrt{3}
\text{B}=4\sqrt{3}
b) \text{C}=(5+\sqrt{3})^2
\text{C}=5^2+2\times5\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2
\text{C}=25+10\sqrt{3}+3
\text{C}=28+10\sqrt{3}
c) \text{D}=(\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{5})
\text{D}=(\sqrt{2})^2-(\sqrt{5})^2
\text{D}=2-5
\text{D}=-3




exercice 2

1. Développement de l'expression E :
E = (2x - 3)(x + 2) - 5(2x - 3)
E = 2x2 + 4x - 3x - 6 - 10x + 15
E = 2x2 - 9x + 9

2. Factorisation de l'expression E :
E = (2x - 3)(x + 2) - 5(2x - 3)
E = (2x - 3)(x + 2 - 5)
E = (2x - 3)(x - 3)

3. E = 2x2 - 9x + 9
Pour x = -2,
E = 2 ×(- 2)2 - 9 × (- 2) + 9 = 2 × 4 + 18 + 9 = 8 + 27 = 35

4. Résolution de l'équation (2x - 3)(x - 3) = 0
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul.
2x - 3 = 0        ou        x - 3 = 0
2x = 3        ou        x = 3
x = \dfrac{3}{2}
Les solutions de l'équation sont \dfrac{3}{2} et 3.



exercice 3

1.
âge[0; 10[[10; 20[[20; 30[[30; 40[[40; 50[[50; 60[[60; 70[[70; 80[[80; 90[
centre de classe51525354555657585
effectifs27454839423633246


2. Age moyen des skieurs fréquentant cette station :
\dfrac{5\times27+15\times45+25\times48+35\times39+45\times42+55\times36+65\times33+75\times24+85\times6}{300}
=\dfrac{135+675+1200+1365+1890+1980+2145+1800+510}{300}
=\dfrac{11700}{300}
=39
En moyenne, les skieurs fréquentant cette station ont 39 ans.

3. Il y a 27 + 45 = 72 skieurs âgés de moins de 20 ans (strictement).
La fréquence, en pourcentage, des skieurs ayant un âge strictement inférieur à 20 ans est donc de :
\dfrac{72\times100}{300} = \dfrac{24\times3}{3} = 24

soit 24 %.


Activités géométriques

exercice 1

objetnature de l'objet
triangle ABCtriangle rectangle en B
angle \widehat{\text{ABF}}angle droit
quadrilatère ABFErectangle
angle \widehat{\text{ACG}}angle droit
quadrilatère ACGErectangle




exercice 2

1. D'une part, \dfrac{\text{AC}}{\text{CE}}=\dfrac{8}{20}=\dfrac{4\times2}{4\times5}=\dfrac{2}{5}        d'autre part, \dfrac{\text{BC}}{\text{CD}}=\dfrac{6}{15}=\dfrac{2\times3}{5\times3}=\dfrac{2}{5}
Les droites (BD) et (AE) sont sécantes en C, les points C, B, D et C, A, E sont alignés dans le même ordre.
Comme \dfrac{\text{AC}}{\text{CE}}=\dfrac{\text{BC}}{\text{CD}}, alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

2.D'une part, CE2 + CD2 = 202 + 152 = 400 + 225 = 625        d'autre part, DE2 = 252 = 625.
Comme CE2 + CD2 = DE2, alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CDE est rectangle en C.

3. Comme le triangle CDE est rectangle en C, alors les droites (CE) et (CD) sont perpendiculaires.
A appartient au segment [CE], B appartient au segment [CD], le triangle ABC est donc rectangle en C.
Dans le triange ABC rectangle en C, j'applique le théorème de Pythagore :
AB2 = AC2 + BC2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100
D'où : AB = 10 cm.

4. Dans le triangle CDE rectangle en C, on a :
\cos \widehat{\text{CDE}} = \dfrac{\text{CD}}{\text{CE}} = \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}
D'où (à l'aide de la calculatrice) : \widehat{\text{CDE}} \approx 53°



exercice 3

    a) en rouge sur le schéma
    b) en bleu sur le schéma
sujet de brevet : image 20



Problème

1.Aire du rectangle ABCD : AABCD = BC ×AB = 4x
L'aire du rectangle ABCD est de 4x cm2.

2.Aire du quadrilatère EFGH : AEFGH = AEFIH + AFIG
Aire du rectangle AFIH : AEFIH = EH ×HI = 2x
Aire du triangle FIG rectangle en I : AFIG = \dfrac{\text{IG}\times\text{IF}}{2}=\dfrac{3\times2}{2} = 3
Donc : AEFGH = 2x + 3 cm2.

3. f est une fonction linéaire, sa représentation graphique (en rouge sur le graphique) est une droite passant par l'origine.
De plus, f(3)= 4 ×3 = 12.
La représentation graphique de f passe également par le point de coordonnées (3; 12).

g est une fonction affine. Sa représentation graphique (en bleu sur le graphique) est une droite ne passant pas par l'origine.
De plus, g(1) = 2 × 1 + 3 = 2 + 3 = 5        et        g(4) = 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11
La représentation graphique de g passe par les points de coordonnées (1; 5) et (4; 11).
sujet de brevet : image 22


4. a) Pour x = 3, l'aire du rectangle ABCD est de : 4 × 3 = 12 cm2

    b) voir graphique (pointillés verts)

5. a) Valeur de x pour que l'aire du quadrilatère EFGH soit égale à 15 cm2 :
AEFGH = 15        équivaut à :        2x + 3 = 15
2x = 15 - 3
x = 12/2
x = 6
D'où : pour x = 6 cm, l'aire du quadrilatère EFGH est égale à 15 cm2.

    b) voir graphique (pointillés noirs)

6. a) voir graphique (pointillés roses)
La solution de l'équation est 1,5.

    b) 4x = 2x + 3
4x - 2x = 3
2x = 3
x = \dfrac{3}{2}
x = 1,5
La solution de l'équation est 1,5.

c) Lorsque x vaut 1,5 cm, l'aire du rectangle ABCD et l'aire du quadrilatère EFGH sont égales.
(Leur aire vaut alors 6 cm2)
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