Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Centres Étrangers II - Session Juin 2009

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La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
L'emploi des calculatrices est autorisée.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera 1 point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point.
Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse.
QuestionRéponse ARéponse BRéponse C
1.4,25 =4 + \dfrac{25}{10}\dfrac{17}{4}3 + 1 \times 0,25
2.\dfrac{82}{7} = 82,711,71411 + \dfrac{5}{7}
3.\sqrt{500} - \sqrt{45} =7\sqrt{5}\sqrt{455}15,65
4.les solutions de (3x - 2)(x + 5) = 0 sont :\dfrac{2}{3} et -5\dfrac{3}{2} et -5- \dfrac{2}{3} et 5





exercice 2

1. Comment, sans calcul, peut-on justifier que la fraction \dfrac{1 848}{2 040} n'est pas irréductible?

2. Calculer le PGCD des nombres 1 848 et 2 040 en indiquant la méthode.

3. Simplifier la fraction \dfrac{1 848}{2 040} pour la rendre irréductible.




exercice 3

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Anatole affirme :
«pour tout nombre entier naturel n, l'expression n^2 - 24n + 144 est toujours différente de zéro.»
A-t-il raison ?




exercice 4

1. Pierre a lancé dix fois un dé cubique (non truqué). À chaque fois, il a obtenu 6. Il lance ce dé une 11ème fois.
Quelle est la probabilité d'obtenir 6 au 11ème lancer ?

2. Dans une classe, un sondage a été fait auprès des élèves pour connaître leur animal préféré. Les résultats sont illustrés dans le graphique ci-dessous.
Diplôme national du brevet Centres étrangers 2 Juin 2009 - troisième : image 1
Quelle est la fréquence d'apparition de la réponse «chien» ?

3. On donne la série suivante : 3 ; 4 ; 6 ; 10 ; 13 ; 14 ; 17 ; 25 ; 26
Quelle est la médiane de cette série ?
Quel est le premier quartile de cette série ?


12 points

Activités géométriques

exercice 1

Sur la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur, le quadrilatère BREV est un rectangle avec BR = 13 cm et BV = 7,2 cm.
Le point T est sur le segment [VE] tel que VT = 9,6 cm.
N est le point d'intersection des droites (BT) et (RE).
Diplôme national du brevet Centres étrangers 2 Juin 2009 - troisième : image 2

1. Démontrer que la longueur TE est égale à 3,4 cm.

2. Calculer la longueur BT.

3. Calculer la longueur EN.




exercice 2

1. Construire un triangle équilatéral FIO de 5 cm de côté.

2. Construire le point R, symétrique de I par rapport au point O.

3. Construire le point E, symétrique de I par rapport à la droite (OF).

4. Construire le point U, symétrique de F par rapport au point O.

5. Construire le point G, symétrique de F par rapport à la droite (IO).

6. Tracer le polygone FIGURE. Quelle semble être sa nature ?




exercice 3

Dans la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur, on a :
E \in [RD], C \in [RU], RE = 3 cm, ED = 1,5 cm, RC = 2 cm et RU = 3 cm.
Diplôme national du brevet Centres étrangers 2 Juin 2009 - troisième : image 3

1. Démontrer que les droites (EC) et (DU) sont parallèles.

2. Calculer le rapport d'agrandissement permettant de passer du triangle REC au triangle RDU.

3. Montrer que l'aire du triangle RDU est égale à 2,25 fois l'aire du triangle REC.


12 points

Problème

Une lanterne, entièrement vitrée, a la forme d'une pyramide reposant sur un parallélépipède rectangle ABCDEFGH.
S est le sommet de la pyramide.
O est le centre du rectangle ABCD.
SO est la hauteur de la pyramide.
Diplôme national du brevet Centres étrangers 2 Juin 2009 - troisième : image 4


Partie 1

Dans cette partie, la hauteur SO est égale à 12 cm.

1. a) Calculer le volume du parallélépipède rectangle ABCDEFGH.
    b) Calculer le volume de la pyramide SABCD.
    c) En déduire le volume de la lanterne.

2. Sachant que le segment [OC] mesure 7,25 cm, calculer une valeur approchée à 0,1 degré près de la mesure de l'angle \widehat{\text{OSC}}.

Partie 2

Dans cette partie, on désigne par x la hauteur SO en cm de la pyrdmide SABCD.

1. Montrer que le volume en cm3 de la lanterne est donné par : V(x) = 1 470 + 35x.

2. Calculer ce volume pour x = 7.

3. Pour quelle valeur de x le volume de la lanterne est-il de 1 862 cm3 ?

4. Un tableur est utilisé pour calculer le volume de la lanterne, noté V(x), pour plusieurs valeurs de x, hauteur de la pyramide.
 AB
1xV(x)
2  
3  
4  
5  
Parmi les formules ci-dessous, recopier celle que l'on peut saisir dans la case B2 pour obtenir le calcul du volume de la lanterne :
\fbox{1470+35*A2}\fbox{=1470+35/A2}\fbox{=1470+35*A2}


Partie 3

On s'intéresse à la surface vitrée de la lanterne.
Le graphique ci-dessous est celui de la fonction f qui à x associe l'aire, en cm2, de cette surface vitrée.
Diplôme national du brevet Centres étrangers 2 Juin 2009 - troisième : image 5

1. La fonction f est-elle une fonction affine ?

2. Lire sur le graphique une valeur approchée de f(11).

3. Lire sur le graphique une valeur approchée de l'antécédent de 850.





Activités numériques

exercice 1

1. \fbox{\displaystyle 4,25=\frac{17}{4}}
En effet :
\displaystyle 4+\frac{25}{10}=4+2,5=6,5\neq 4,25 ;
3+1\times 0,25=3+0,25=3,25 (la multiplication est prioritaire sur l'addition) ;
Si on pose la division de 17 par 4, on obtient :
\begin{array}{ccccc|c} &1&7&&&4\\\cline{6-6} \color{red}-&\color{red}1&\color{red}6&\color{magenta}\downarrow&&{\color{red}4}{\color{magenta},}{\color{blue}2} {\color{green}5}\\\cline{2-3} &&1&\color{magenta}0&&\\ &\color{blue}-&&\color{blue}8&\downarrow&\\\cline{3-4} &&&2&0&\\ &&\color{green}-&\color{green}2&\color{green}0&\\\cline{4-5} &&&&0&\\\end{array}


2. \fbox{\displaystyle \frac{82}{7}=11+\frac{5}{7}}
En effet, en mettant au même dénominateur, on a : \displaystyle 11+\frac{5}{7}=\frac{7\times11+5}{7}=\frac{77+5}{7}=\frac{82}{7}.
Attention : 11,714 est une valeur approchée de 82/7. En réalité, l'écriture décimale de 82/7 contient une infinité de chiffres après la virgule.

3. \fbox{\displaystyle \sqrt{500}-\sqrt{45}=7\sqrt{5}}

En effet : \sqrt{500}-\sqrt{45}=\sqrt{5\times 100}-\sqrt{5\times 9}=\sqrt{5\times 10^2}-\sqrt{5\times3^2}=10\sqrt{5}-3\sqrt{5}=7\sqrt{5}.

4. Les solutions de (3x-2)(x+5)=0 sont \dfrac{2}{3} et -5.
En effet, un produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul, et réciproquement.
\begin{array}{ccc} 3x - 2 = 0 & \text{ ou } & x + 5 = 0 \\ 3 x = 2 && x = -5 \\ x = \dfrac{2}{3} && \\ \end{array}




exercice 2

1. Le numérateur de la fraction (1848) se termine par le chiffre 8, donc le numérateur est divisible par 2.
De même, le dénominateur de la fraction (2040) se termine par le chiffre 0, et est donc un multiple de 2.
Autrement dit : 1848 et 2040 ne sont pas premiers entre eux, d'où la fraction n'est pas irréductible.

2. On applique l'algorithme d'Euclide, en effectuant des divisions euclidiennes successives.
2040 = 1 \times 1848 + 192\\ 1848 = 9 \times 192 + 120\\ 192 = 1 \times 120 + 72\\ 120 = 1 \times 72 + 48\\ 72 = 1 \times 48 + {\color{red}\fbox{24}}\\ 48 = 2 \times 24 + 0
Le PGCD est le dernier reste non nul : donc PGCD(2040;1848) = 24.

3. Pour rendre la fraction irréductible, on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD (que l'on a calculé à la question précédentes !).
On a donc : \displaystyle \frac{1848}{2040}=\frac{77\times24}{85\times24}=\fbox{\displaystyle\frac{77}{85}}
Remarque : On peut vérifier que la fraction est irréductible en calculant PGCD(77;85) et en vérifiant qu'on obtient 1... mais c'est inutile ! La définition du pgcd nous l'assure déjà...




exercice 3

On constate que : n^2-24n+144=n^2-2\times12\times n+12^2=(n-12)^2. (cf. identités remarquables)

Autrement dit, Anatole a tort : l'expression \mathbf{n^2-24n+144} peut être égale à 0 (c'est le cas pour n=12).




exercice 4

1. Chaque lancer est indépendant.
Autrement dit, à chaque lancer, la probabilité que Pierre obtienne 6 est toujours la même.
De plus, le dé est cubique, donc possède 6 faces, et est non truqué, donc chaque issue est équiprobable.
Ainsi, la probabilité d'obtenir 6 au 11ème lancer est : \fbox{\displaystyle\frac{1}{6}}.

2. L'effectif de la classe est de 6 + 5 + 3 + 2 + 1 + 3 = 20 élèves.
La réponse « chien » a été donnée par 6 élèves.
D'où la fréquence d'apparition de la réponse « chien » est \fbox{\displaystyle\frac{6}{20}=\frac{3}{10}=30\%}.

3. La série est composée de 9 valeurs (nombre impair).
Sa médiane est donc la valeur de rang 5 (une fois les termes classés dans l'ordre croissant, mais c'est déjà le cas ici), soit 13.
Son premier quartile est par définition la plus petite valeur telle qu'au moins 25% des termes de la série soient inférieurs à cette valeur, autrement dit la 3ème valeur, soit 6.



Activités géométriques

exercice 1

1. Le quadrilatère BREV étant un rectangle, ses côtés opposés sont en particulier de même longueur.
Ainsi, on a : BR = VE = 13 cm.
De plus, les points V, T et E étant alignés, on a TE = VE - VT = 13 - 9,6 = 3,4 soit 3,4 cm.

2. Le quadrilatère BREV étant un rectangle, l'angle \widehat{BVE} est un angle droit.
Autrement dit, le triangle BVT est un triangle rectangle en V, donc d'après le théorème de Pythagore, on a :
\displaystyle BT^2 = BV^2 + VT^2\\ BT^2 = (7,2)^2 + (9,6)^2\\ BT^2 = 144\\ BT = \sqrt{144} \quad\quad {\rm car}\,BT\,{\rm positif}\\ \fbox{\displaystyle BT = 12}\quad{\rm soit}\,12\,{\rm cm.}

3. Les points B, T, N et V, T, E sont respectivement alignés, dans cet ordre.
Ainsi, d'après le théorème de Thalès, on peut écrire : \displaystyle \frac{BT}{TN}=\frac{VT}{TE}=\frac{BV}{EN}.
Puisqu'on ne connaît pas la longueur TN, on travaille uniquement sur la dernière égalité :
\displaystyle \frac{VT}{TE}=\frac{BV}{EN}\\ VT\times EN = BV\times TE\\ EN = \frac{BV\times TE}{VT}\\ EN = \frac{7,2\times3,4}{9,6}\\ \fbox{\displaystyle EN = 2,55}\quad{\rm soit}\,2,55\,{\rm cm.}




exercice 2

On obtient la figure suivante :
Diplôme national du brevet Centres étrangers 2 Juin 2009 - troisième : image 6

Le polygone FIGURE semble être un hexagone (régulier).




exercice 3

1. Les points R, E, D et R, C, U sont respectivement alignés sur cet ordre.
On calcule alors :
\displaystyle \left\lbrace\begin{array}{l}\displaystyle\frac{RE}{RD}=\frac{3}{3+1,5}=\frac{3}{4,5}=\frac{2}{3}\\\displaystyle\frac{RC}{RU}=\frac{2}{3}\end{array}\right.
Ainsi, on a \displaystyle\frac{RE}{RD}=\frac{RC}{RU}, d'où d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EC) et (DU) sont parallèles.

2. Le rapport d'agrandissement vaut par exemple \fbox{\displaystyle\frac{RU}{RC}=\frac{3}{2}=1,5}.

3. On utilise le rapport d'agrandissement calculé à la question précédente. On a :
\displaystyle\mathcal{A}(RDU)=\left(\frac{3}{2}\right)^2\times\mathcal{A}(REC)=\left(\frac{9}{4}\right)\times\mathcal{A}(REC)=\fbox{\displaystyle 2,25\times\mathcal{A}(REC)}.



Problème

Partie 1

1. a) \mathcal{V}(ABCD EFGH) = EF\times FG\times GC=10\times 10,5\times 14=1470 soit 1470 cm³ (soit encore 1,47 dm³ ou 1,47 L).
    b) \mathcal{V}(SABCD)=\frac{1}{3}\times AB\times AC\times SO=\frac{1}{3}\times10\times10,5\times12=420 soit 420 cm³.

    c) Le volume de la lanterne est la somme du volume du parallélépipède et de celui de la pyramide.
Le volume de la lanterne est donc égal à 1890 cm³ (soit encore 1,89 dm³ ou 1,89 L).

2. Dans le triangle OSC rectangle en O, on a : \displaystyle\tan\left(\widehat{OSC}\right)=\frac{OC}{SO}.
D'où : \displaystyle\widehat{OSC}\right=\tan^{-1}\left(\frac{OC}{SO}\right)=\tan^{-1}\left(\frac{7,25}{12}\right)\simeq \fbox{\displaystyle31,1^\circ} à 0,1 degré près.

Partie 2

1. Le volume de la lanterne est toujours la somme des volumes de la pyramide et du parallélépipède, où le volume de ce dernier reste inchangé par rapport à la première partie.
Le volume de la pyramide est quant à lui : \mathcal{V}(SABCD)=\frac{1}{3}\times AB\times AC\times SO=\frac{1}{3}\times10\times10,5\times x=\frac{105}{3}x=35x.

D'où finalement le volume de la lanterne est donné par : \fbox{\displaystyle V(x)=1470+35x}.

2. Pour x=7, on a : V(x)=1470+35\times 7=1470+245 = 1715 soit 1715 cm³.

3. Il s'agit dans cette question de résoudre l'équation V(x)=1862.
1470+35x=1862\\ 35x = 1862 - 1470\\ 35x = 392\\ \boxed{x=\dfrac{392}{35}=11,2}
Le volume de la lanterne est égale à 1862 cm³ pour x = 11,2 \text{ cm}}.

4. Dans la case A2, on inscrit la valeur de x.
D'après l'expression trouvée à la question 1., il faudra donc inscrire en B2 la formule :
\fbox{=1470+35*A2}

Remarque : Pour qu'une expression soit interprétée comme une formule mathématique par le tableur (et non comme du simple texte), il faut impérativement la faire précéder du symbole « = » !

Partie 3

Diplôme national du brevet Centres étrangers 2 Juin 2009 - troisième : image 7


1. La courbe représentative de la fonction f n'est pas une droite donc la fonction f n'est pas affine.

2. Pour lire la valeur de f(11), on repère 11 sur l'axe des abscisses, on « remonte » jusqu'à la courbe puis on lit l'ordonnée du point de la courbe sur lequel on arrive (d'abscisse 11).
On lit : f(11) \approx 928 \text{ cm}^2}.

3. Pour trouver l'antécédent de 850 graphiquement, on repère 850 sur l'axe des ordonnées, puis on « avance » jusqu'à arriver sur un point de la courbe (d'ordonnée 850). On lit alors l'abscisse de ce point.
On lit que l'antécédent de 850 est x \approx 6,6 \text{ cm}}.
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