Fiche de mathématiques
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Bissectrice et cercle inscrit dans un triangle

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Bissectrice d'un angle


a) Définition


La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage l'angle en deux angles de même mesure.
La bissectrice est axe de symétrie de l'angle.



b) Construction de la bissectrice


Avec le rapporteur : on utilise le rapporteur pour mesurer l'angle, ensuite on divise la mesure par 2 et on place le point correspondant à cette moitié d'angle.

Avec la règle et le compas (plus précis) :

Bissectrice et cercle inscrit dans un triangle - cours 4ème : image 1



a) On écarte le compas de quelques centimètres, on le pointe sur le sommet de l'angle et on place les points B et C sur les deux demi-droites de l'angle. (AB = AC)
b) Ensuite (on peut garder le même écartement mais ce n'est pas obligé) on pointe le compas sur le point B et on trace un arc de cercle comme sur la figure.
c) sans changer l'écartement de b), on pointe le compas sur C et on trace l'arc de cercle pour avoir une intersection avec celui tracé en b.
d) Le point d'intersection D des arcs de cercle est un point de la bissectrice. On trace la demi-droite [AD) qui est la bissectrice.


c) Propriétés



Propriété : si un point appartient à la bissectrice d'un angle, alors il est à égale distance (équidistant) des deux côtés de l'angle.



Sachant que M appartient à la bissectrice de l'angle \widehat{BAC} On déduit que M est équidistant des demi-droites [AB) et [AC)
Bissectrice et cercle inscrit dans un triangle - cours 4ème : image 2
Bissectrice et cercle inscrit dans un triangle - cours 4ème : image 3


Propriété : si un point est équidistant des deux côtés d'un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle.



Sachant que M est équidistant des demi-droites [AB) et [AC) On déduit que M appartient à la bissectrice de \widehat{BAC} , c'est-à-dire que \widehat{BAM} = \widehat{MAC}
Bissectrice et cercle inscrit dans un triangle - cours 4ème : image 4
Bissectrice et cercle inscrit dans un triangle - cours 4ème : image 5


2. Cercle inscrit dans un triangle


a) Définitions et propriétés


Pour tout triangle, les bissectrices de ses trois angles sont concourantes.
Le point de concours des bissectrices d'un triangle est le centre du cercle inscrit dans le triangle, c'est-à-dire le cercle tangent aux trois côtés du triangle.
Le centre du cercle inscrit est à égale distance des trois côtés, la distance étant le rayon du cercle inscrit.



b) Construction du cercle inscrit


1) On trace les bissectrices de deux des angles du triangle, dont le point d'intersection O est le centre du cercle inscrit.
2) On trace la perpendiculaire à un des côtés passant par le point d'intersection des bissectrices. La perpendiculaire coupe le côté du triangle en un point M qui appartient au cercle inscrit : [OM] est un rayon du cercle inscrit.
3) On pointe le compas sur O et on l'écarte jusqu'à M : on trace le cercle.

Bissectrice et cercle inscrit dans un triangle - cours 4ème : image 6


c) Ne pas confondre !


Les bissectrices d'un triangle sont concourantes au centre du cercle inscrit dans le triangle (cercle qui est tangent aux trois côtés).
Les médiatrices d'un triangle sont concourantes au centre du cercle circonscrit au triangle (cercle qui passe par les trois sommets).
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